Teoremi sui limiti
Ricorrendo alle definizioni di limite, si dimostrano importanti risultati.
Vedremo:
• che, se esiste, il limite lim f (x) può dare informazioni locali (= che valgono nell’intorno
x<c
di c) sulla limitatezza e sul segno di f
• regole di calcolo per il limite di una funzione ottenuta operando algebricamente su
funzioni dai limiti noti (ad esempio su funzioni elementari)
• come calcolare il limite di una composta a partire dai limiti delle funzioni componenti
• come calcolare il limite di una funzione che si possa confrontare con altre dai limiti noti
• che la monotonia locale assicura l’esistenza del limite.
Rileggeremo poi alcuni risultati in termini di continuità.
Avvertenze
Premettiamo alcuni fatti, che vanno tenuti presente nell’utilizzo dei teoremi che seguono.
• Conveniamo che sia 4 < ogni numero reale < +4.
• c indicherà sempre uno dei simboli x0 , x±
0 , ±4 e I (c) , I (c) , J (c) , ... suoi intorni.
Analogamente per = y0 , y0± , ±4.
• Se f : dom f R $ R è definita in un intorno J W (c) (J W (x0 ) completo se c = x0 ,
allora lim f (x) = significa che:
J W x±
unilaterale se c = x±
0
0)
x<c
per ogni intorno I (), esiste I (c) tale che ;x 5 I W (c) risulta f (x) 5 I ()
(la richiesta x 5 dom f è sempre inutile, perché si può supporre I W (c) J W (c) dom f ,
eventualmente rimpicciolendo I (c) stesso).
Limitatezza locale e permanenza del segno
Se lim f (x) esiste, il valore del limite dà informazioni locali sulla limitatezza di f .
x<c
Teorema (di limitatezza locale). Sia f definita in un J W (c) e sia lim f (x) = .
x<c
Allora <I (c) sul quale f risulta: limitata se 5 R, inferiormente limitata se = +4,
W
superiormente limitata se = 4.
Dimostrazione, per 5 R.
Preso ad esempio 0 = 1 nella definizione di lim f (x) = 5 R, risulta che <I (c) tale che
x<c
;x 5 I W (c) ,
1 < f (x) < + 1.
Ciò prova la limitatezza di f su I W (c).
Se c = x0 , x±
0 ed f è definita anche in x0 , allora la tesi del teorema vale su tutto I (c).
Se lim f (x) 9= 0, il segno del limite dà informazioni locali sul segno di f .
x<c
Teorema (della permanenza del segno). Sia f definita in un J W (c) e sia lim f (x) = .
x<c
Se > 0 (anche +4), allora <I (c) tale che f (x) > 0 in I W (c). Analogamente se < 0.
Dimostrazione, per < 0.
Essendo < 0, posso fissare un intorno bersaglio I () tutto contenuto in (4, 0).
Allora, per definizione di limite, in dipendenza di I () esiste un I (c) tale che
x 5 I W (c) , f (x) 5 I () , f (x) < 0.
Osservazione. Se = 0, non posso concludere nulla sul segno locale di f .
sin x
è tale che
x
lim f (x) = 0 ed f cambia segno
Ad esempio f (x) =
x<+"
in ogni intorno di c = +4.
Corollario. Sia lim f (x) = .
x<c
Se <I (c) tale che f (x) 0 in I W (c), allora 0 (ev. +4). Analogamente se f (x) 0.
Dimostrazione, per f (x) 0. Se fosse < 0, per permanenza del segno esisterebbe
I (c) tale che f (x) < 0 per ogni x 5 I W (c). Allora ;x 5 I W (c) _ I W (c) (9= B) si avrebbe
0 f (x)
ipotesi
<
perm.del segno
assurdo (0 < 0).
0:
Osservazione. Anche supponendo f (x) > 0, potrebbe comunque essere = 0.
1
Ad esempio f (x) = ex e g (x) = e3 |x|
0.8
140
120
sono strettamente positive ovunque,
80
0.4
60
ma lim f (x) = 0 e lim g (x) = 0.
x<3"
0.6
100
40
x<0
0.2
20
-4
-2
00
2 x
4
-4
-2
00
2 x
4
Algebra dei limiti
Il teorema seguente fornisce regole di calcolo per i limiti di funzioni ottenute operando
algebricamente su funzioni dai limiti noti (ad esempio funzioni elementari).
Teorema. Siano f, g definite in uno stesso J W (c) e siano lim f (x) = 1 e lim g (x) = 2 .
x<c
x<c
Allora
lim (f (x) + g (x)) = 1 + 2 ,
x<c
lim f (x) g (x) = 1 2 ,
x<c
f (x)
1
=
x<c g (x)
2
lim
dove per l’ultimo limite si richiede che sia g (x) 9= 0, ;x 5 J W (c) e dove, se le operazioni
tra 1 ed 2 non sono definite in R, valgono le seguenti convenzioni algebriche:
+4 + = +4
per ogni 9= 4
4 + = 4 per ogni 9= +4
il segno dell’4 a 2 membro può determinarsi
tramite permanenza del segno,
<
A
· 4 = 4 per ogni 9= 0
oppure con l’usuale regola dei segni:
A
A
A
@ in questo contesto, sono da considerarsi
= 4 per ogni 9= 0
A
0
positivi +4, 0+ e ogni y0 , y0+ , y03 con y0 > 0,
A
A
A
4
= 4 per ogni 9= ±4 > negativi 4, 03 e ogni y0 , y0+ , y03 con y0 < 0
= 0 per ogni 9= ±4
4
0 4
,
,
0 4
in cui può accadere qualsiasi cosa (il limite può non esistere o avere un valore finito o
• Restano scoperti i casi delle cosiddette forme indeterminate: +4 4, 0 · 4,
infinito, non prevedibile in generale) e che vanno studiati caso per caso.
• La regola dei segni vale anche per decidere se il risultato sia 0+ o 03 nei casi
= 0 ( 9= ±4),
4
· 0± = 0 ( 9= ±4),
0±
= 0 ( 9= 0).
• Dierenza e combinazione lineare si riconducono alle operazioni di somma e prodotto
considerate dal teorema, mediante l’utilizzo di funzioni costanti; ad esempio
f (x) g (x) = f (x) + (1) g (x) = f (x) + k (x) g (x)
con k (x) funzione costantemente uguale a 1.
Esempio. Calcolare
1
cos x
e lim x
.
x<+" 2 arctan x log x
x<0 e 1
lim
Dimostrazione, per 1 + 2 con 1 , 2 finiti.
Sia 0 > 0 fissato. Devo mostrare che la disuguaglianza |f (x) + g (x) 1 2 | < 0
è verificata in un intorno I W (c) (almeno).
• Poiché lim f (x) = 1 ,
x<c
esiste I (c) tale che |f (x) 1 | <
0
per ogni x 5 I W (c) .
2
• Poiché lim g (x) = 2 ,
x<c
esiste I (c) tale che |g (x) 2 | <
0
per ogni x 5 I W (c) .
2
Allora per ogni x 5 I W (c) _ I W (c) si ha
|f (x) + g (x) 1 2 |
disug.triang.
|f (x) 1 | + |g (x) 2 | <
0 0
+ = 0,
2 2
per cui basta prendere I W (c) = I W (c) _ I W (c) (che è un intorno bucato di c).
Dimostrazione, per
0+
con > 0 finito.
Sia M > 0 fissato. Devo mostrare che
• Prendendo 0 =
2
f (x)
g(x)
> M è verificata in un intorno I W (c) (almeno).
> 0 nella definizione di lim f (x) = (posso perché > 0), si ha che
x<c
esiste I (c) tale che in I W (c) risulta f (x) > 2
= 2 .
• Essendo lim g (x) = 0+ con g (x) 9= 0 in J W (c), si ha che
x<c
;0 > 0, esiste I (c) tale che in I W (c) risulta 0 < g (x) < 0.
Allora per ogni x 5 I W (c) _ I W (c) si ha
1
1
>
g (x)
0
per cui basta scegliere 0 tale che
poi I W (c) = I W (c) _ I W (c).
e quindi
20
f (x)
f (x)
>
> ,
g (x)
0
20
= M, cioè 0 =
2M
(posso perché
2M
> 0), e prendere
Teorema di sostituzione
Il teorema seguente lega il limite di funzione composta ai limiti delle funzioni componenti.
Teorema. Supponiamo lim f (x) = e sia g una funzione definita in un intorno bucato
x<c
di (anche solo unilaterale se = y0± ). Supponiamo inoltre che:
i) esista lim g (y) (finito o infinito)
y<
ii) g sia continua in (anche solo da un lato se = y0± )
oppure esista I (c) tale che f (x) 9= , ;x 5 I W (c).
(# automatica se = ±4)
Allora
lim g (f (x)) = lim g (y) .
x<c
y<
–––––––––––
Formalmente: nel primo limite si è operata la sostituzione y = f (x) $ .
log (4 x2 )
Esempio. Calcolare lim3
.
x<2
x2
Esempi generali di applicazione. Applicando il teorema a funzioni g notevoli, si
possono ottenere risultati generali del tipo:
(1) se lim f (x) = (finito o infinito), allora
x<c
lim ef (x) = lim ey
lim |f (x)| = lim |y| e
x<c
x<c
y<
y<
s
s
(2) se lim f (x) = > 0 (finito o +4) oppure lim f (x) = 0 , allora lim f (x) = lim y
+
x<c
x<c
x<c
y<
(3) se lim f (x) = > 0 (finito o +4) oppure lim f (x) = 0+ con f (x) > 0 in un I W (c),
x<c
x<c
allora lim log f (x) = lim log y
x<c
y<
ecc.
s
e3x x2 x
1
.
Esempio. Calcolare lim
x<+"
1 x 2
Osservazione. L’ipotesi (ii) è essenziale alla validità del teorema (nel senso che la tesi
può non valere se l’ipotesi (ii) non vale). Ad esempio, si studi il limite lim g (f (x)) con
x<+"
+
x se x 9= 0
sin x
f (x) =
e g (x) =
.
x
1 se x = 0
Osservazione. Supponiamo di dover calcolare un limite del tipo lim f (x)g(x) .
x<c
Ricordando che per definizione si ha dom (f g ) = {x 5 dom f _ dom g : f (x) > 0}, risulta
f (x)g(x) > 0 sempre e quindi vale l’identità
g(x)
f (x)g(x) = elog f (x)
= eg(x) log f (x) .
Di conseguenza (essendo exp (·) continua su R):
esiste lim g (x) log f (x) = , esiste lim f (x)g(x) = lim eg(x) log f (x) = lim ey .
x<c
x<c
x<c
y<
Ne derivano le cosiddette forme indeterminate di tipo esponenziale: 00 , 40 , 1" ,
perché il primo limite presenta indecisione se e solo se è del tipo 0·log 0, 0·log 4, 4·log 1.
Teoremi del confronto
Il primo teorema è un’immediata conseguenza del corollario del teorema della permanenza
del segno.
Teorema (1o teorema di confronto). Siano lim f (x) = 1 e lim g (x) = 2 finiti.
x<c
x<c
Se f (x) g (x) in un intorno I (c), allora 1 2 .
W
Dimostrazione. Si ha f (x) g (x) 0 in I W (c) e quindi, applicando il corollario del
teorema della permanenza del segno alla funzione f (x) g (x), risulta
lim (f (x) g (x))
x<c
=
algebra dei lim
1 2
0.
corollario perm. del segno
A dierenza del precedente, i due teoremi che seguono consentono di dedurre sia esistenza
che valore del limite di una funzione, dal suo confronto con altre funzioni.
Teorema (2o teorema di confronto, caso finito). Supponiamo f1 (x) f (x) f2 (x)
in un intorno I W (c). Allora lim f1 (x) = lim f2 (x) = 5 R , lim f (x) = .
x<c
1
|x| , ;x 9= 0
x
1
, lim x sin = 0
x<0
x
|x| x sin
x<c
x<c
sin x
1
1
, ;x > 0
x
x
x
sin x
=0
, lim
x<+" x
Dimostrazione. Sia 0 > 0 fissato .
Poiché lim f1 (x) = 5 R, esiste I (c) tale che f1 (x) > 0 per ogni x 5 I W (c) .
x<c
Poiché lim f2 (x) = 5 R, esiste I (c) tale che f2 (x) < + 0 per ogni x 5 I W (c) .
x<c
Allora per ogni x 5 I W (c) := I W (c) _ I W (c) _ I W (c) si ha
0 < f1 (x) f (x) f2 (x) < + 0,
ipotesi
ipotesi
da cui |f (x) | < 0 .
Corollario. Siano f, g definite in uno stesso I W (c).
Se f è limitata in I W (c) e lim g (x) = 0, allora lim f (x) g (x) = 0.
x<c
x<c
Dimostrazione. Per ogni x 5 I W (c) si ha |f (x)| (cost.) e quindi
0 |f (x) g (x)| = |f (x)| |g (x)| (cost.) |g (x)| .
~}
~}
&
&
0
0
Segue lim |f (x) g (x)| = 0, cioè lim f (x) g (x) = 0 (v. proprietà sul limite nullo).
x<c
x<c
In sintesi: il prodotto di una funzione limitata per una infinitesima è infinitesimo.
Teorema (2o teorema di confronto, caso infinito). Supponiamo f (x) g (x) in
un intorno I W (c). Allora
lim f (x) = +4 , lim g (x) = +4 e lim g (x) = 4 , lim f (x) = 4.
x<c
x<c
x<c
x<c
Dimostrazione. Analoga a quella del caso finito.
0
400
0
-1
300
-2
0.1
0.2
x
0.3
0.4
0.5
-3
200
-4
100
-5
-6
0
2
4
6
8
10
x
12
14
16
18
20
g (x) = x2 + sin x x2 1, ;x 5 R
, lim g (x) = +4
x<+"
1
ln x + 1, ;x > 0
x
, lim+ f (x) = 4
f (x) = ln x + sin
x<0
Osservazione. Attenzione a non fare deduzioni illecite: sapendo solo che f (x) g (x)
in un intorno I W (c), allora
• se lim g (x) = 2 finito, lim f (x) può non esistere oppure valere 1 2 (anche 1 = 4)
x<c
x<c
• se lim f (x) = 1 finito, lim g (x) può non esistere oppure valere 2 1 (anche 2 = +4)
x<c
x<c
• se lim f (x) = 4 oppure lim g (x) = +4, nulla si può concludere sull’altro limite
x<c
x<c
(trovare controesempi per esercizio).
Limiti di funzioni monotone
La monotonia nell’intorno di c garantisce l’esistenza del limite per x $ c.
Teorema (limiti di funzioni monotone). Sia c = x3
0 oppure c = +4 e supponiamo
che f sia monotona in un intorno I W (c). Allora lim f (x) esiste (finito o infinito) e si ha
x<c
lim f (x) =
x<c
;
A
? sup f (x) se f crescente in I W (c)
xMI W (c)
A
=
f (x) se f decrescente in I W (c) .
inf
W
xMI (c)
Analogamente, se f è monotona in un intorno I W (c) di c = x+
0 oppure c = 4, allora
lim f (x) =
x<c
;
A
?
inf
f (x) se f crescente in I W (c)
W
xMI (c)
A
f (x) se f decrescente in I W (c) .
= sup
W
xMI (c)
Dimostrazione, per f crescente su I = I (+4) e S = sup f (x) < +4.
Devo mostrare che lim f (x) = S. Sia 0 > 0 fissato.
xMI
x<+"
Poiché S è un maggiorante di f (I), ;x 5 I si ha f (x) S.
()
Poiché S 0 non è più un maggiorante di f (I), <x0 5 I tale che f (x0 ) > S 0.
Allora, essendo f crescente su I, per ogni x 5 I si ha
x > x0
, S0
<
(WW)
f (x0 )
crescenza
f (x) S < S + 0.
Dunque x 5 Ix0 (+4) implica S 0 < f (x) < S + 0.
(W)
()
