Un condensatore a facce piane e parallele viene caricato
collegandolo ad un generatore di corrente di modo che
Ic
+Q
R
durante la carica del condensatore la corrente
d
di conduzione Ic sia costante .
Le armature del condensatore hanno superficie A
= π R2
−Q
Ic
sono poste a distanza d e sono nel vuoto. Trascurando gli effetti di bordo
- determinare il modulo della densita’ di corrente di spostamento Js e il valore
della corrente di spostamento Is
- determinare il modulo del campo magnetico tra le armature del condensatore
- determinare la direzione del vettore di Poynting sulla superficie esterna
delle armature del condensatore
- dimostrare che il ritmo con cui l’energia entra nel volume racchiuso
dall’intercapedine e’ uguale al ritmo con cui aumenta l’energia elettrostatica
immagazzinata nel condensatore
Risoluzione :
collegando il condensatore ad un generatore di corrente ( cosa sara’ mai ? )
durante la carica del condensatore la corrente di conduzione Ic sara’ costante
quindi si avra’ :
carica sulle armature
Q (t ) = I c t
Q (t ) I c t
densita’ di carica σ=
(t ) =
A
A
σ (t ) I c t
campo elettrico tra le armature
E=
(t ) E=
(t ) =
ε0
ε0 A
Teorema di Ampere Maxwell :
∂
) µ0 I c + µ0ε 0 ( ∫Σ E ⋅ d Σ)
µ0 ( I c + I s=
µ=
∫Γ B ⋅ dl =
0 I Tot
∂t
da notare che l’integrale su B e’ calcolato lungo un percorso chiuso Γ, mentre
l’ integrale su
E
e’ calcolato lungo una superficie aperta Σ concatenata con
il percorso Γ
∂E
J s = ε0
Js e’ la “densita’ di corrente di spostamento” di
∂t
I=
∫Σ J s ⋅ d Σ Is e’ la “corrente di spostamento”
s
in questo caso, dato che
Ic t
σ (t )
E (t ) =
=
ε0
ε0 A
si ha
Maxwell
ε0
J=
J=
S
S
e poiche’
∂E
d Ic t
∂ Ic t
Ic
)=
) = ε0 (
= ε0 (
dt ε 0 A
∂t ε 0 A
∂t
A
I=
∫Σ J s ⋅ d Σ
s
integrando sulla superficie
A delle armature
si ottiene
Ic
=
A Ic
I s = J=
sA
A
dunque il modulo del vettore densita’ di corrente di spostamento vale
J=
J=
S
S
e la corrente di spostamento risulta
Ic
A
Is ≡ Ic
Tabella riassuntiva
Corrente di
conduzione
Corrente di
spostamento
Corrente
totale
dentro i fili del
circuito elettrico
Ic
0
Ic
nell’intercapedine
del condensatore
0
Ic
Ic
quindi la corrente totale e’ continua ovunque !
il campo E avra’ direzione dalla armatura caricata positivamente a quella
caricata negativamente e tale sara’ la direzione del vettore
Ic
+Q
R
Js
densita’ di corrente di spostamento le armature del
−Q
condensatore sono due piatti circolari di raggio R, e area A = π R2
E
vista dall’alto
se si trascurano gli effetti di bordo
x x
x x x x x
x x x x x x
per considerazioni di simmetria
Bx
E
x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x x x
il campo magnetico sara’ circolare
utilizzando il teorema di Ampere
il campo elettrico E tra le armature del
condensatore e’ entrante nel foglio ed
e’ crescente nel tempo
e prendendo come percorso Γ di integrazione un circuito circolare piano
concentrico al filo
∫Γ B ⋅ dl= µ0 ( I c + I s )
si hanno due possibilita’ : r > R e r > R
per r > R
se il circuito Γ ’’ inanella ’’ i fili
B 2=
π r µ0 ( I c + I s )
∫Γ B ⋅ dl =
µ0 I c
≡ µ0 I c ⇒ B =
2π r
per r > R
Ic
r
Jc
se il circuito Γ ’’ inanella ‘’ il condensatore
B 2=
π r µ0 ( I c + I s )
∫Γ B ⋅ dl =
= µ0 I s ≡ µ0 I c
⇒
µ0 I c
B=
2π r
R
Γ
Ic
R
Γ
Jc
r
in conclusione:
per r > R
il campo magnetico e’ lo stesso
di quello generato da un filo rettilineo indefinito
quindi all’esterno del condensatore l’interruzione dovuta
al condensatore non appare grazie alla presenza della corrente di spostamento
per r < R :
Ic
B=
2π r µ0 ITot ≡ µ0 I s
∫Γ B ⋅ dl =
⇒
J sπ r
B 2π r = µ0 ( J sπ r ) ⇒ B = µ0
2π r
R
Γ
2
Jc
r
2
J sr
quindi in questo caso B = µ0
e dato che
2
Ic
Ic
JS ≡ JS =
=
A π R2
⇒
Ic r
B = µ0
2π R 2
- in conclusione la risposta alla seconda domanda e’ che il
il modulo del campo magnetico tra le armature vale
Icr
B = µ0
2
2π R
in sintesi il modulo del campo magnetico tra le armature del condensatore
per r < R
vale
mentre per r > R
Icr
B ( r ) = µ0
2
2π R
vale
µ0 I c
B( r ) =
2π r
da notare come per r = R si abbia continuita’ nel campo magnetico
in quanto usando entrambe le formule risulta sempre :
Ic
B ( R ) = µ0
2π R
densita’ di energia elettrostatica
1
ε E = ε0E 2
2
energia elettrostatica immagazzinata nel volume dell’ intercapedine
1
2
Ad
E
=
ε
U = εE V
0
2
ritmo con cui aumenta l’energia elettrostatica nell’intercapedine
dU
dt
1
dU d
1
d
1
dE
2
2
= ( Ad ε 0 E ) = ε 0 Ad
( E ) = ε 0 Ad 2 E
dt dt
2
2
dt
2
dt
dU
dE
= ε 0 Ad E
dt
dt
da
Ic t
E (t ) =
ε0 A
2
⇒
2
I ct I ct
dU
= ε 0 Ad 2 2 =
d
dt
ε 0A
ε0 A
in conclusione
indicando con il simbolo P il vettore di Poynting
1
per definizione si ha : =
P
E×B
µ0
considerato il verso di E e di B se ne
deduce che P
deve essere entrante
dU I 2 c t
=
d
dt
ε0 A
Ic
+Q
B
P
P
R
Jc
−Q
P
P
E
attraverso la superficie laterale dell’intercapedine vista la simmetria del problema
il modulo di P
sara’ costante sulla superfice laterale del condensatore
il flusso del vettore di Poynting sulla superficie laterale dell’intercapedine sara’
= S 2π Rd
∫Σ P ⋅ d Σ=
1
=
EB 2π Rd
µ0
2
I ct
1 Ic t
Ic
d
)( µ0
)2π Rd =
= (
2π R
µ0 ε 0 A
ε0 A
2
dU I c t
=
d
risultato che confrontato con
dt
ε0 A
dU
dimostra che ∫Σ P ⋅ d Σ =
dt
questo significa che l’energia immagazzinata
nel condensatore non entra dai fili
ma attraverso lo spazio attorno ai fili ed
alle armature del condensatore
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