Prof. Roberto Fantini
Liceo Scientifico “A. Righi” di Cesena
SIMMETRIE e TRASLAZIONI
Simmetrie
Ad ogni simmetria delle Natura corrisponde una quantità conservata (Emmy Noether).
Simmetria centrale
DEF. Sia P ( x, y ) un punto del piano cartesiano e sia C ( x0 , y0 ) il centro di simmetria.
Il punto P '( x ', y ') è per definizione il simmetrico di P rispetto al centro C se e solo se
C è il punto medio del segmento PP’.
Determiniamo le equazioni di trasformazione di una simmetria centrale. La
condizione che lega le coordinate di P a quelle di P’ è dunque che il centro di
simmetria C sia il punto medio del segmento PP’. Le coordinate del punto medio di
x x'
y y'
; y0
un segmento sono le ben note: x0
. Risolvendo queste ultime
2
2
rispetto a x’ e y’ si ottengono le seguenti:
x ' x 2 x0
S
y ' y 2 y0
ES. Trovare il simmetrico del punto P(4, 5) rispetto al centro C(1, 3).
Sol. Utilizzando le si ottiene rapidamente: P’(–2, 1). Verifichiamo che effettivamente
4 2 5 1
,
C è il punto medio M del segmento PP’. M
1,3 =C.
2
2
IMPORTANTE
ES. Verificare che applicando 2 volte la simmetria centrale ad un punto P, si ottiene
P’’ = P.
Sol. Al primo passaggio si ottiene: P ' x 2 x0 , y 2 y0 ora a P’ devo applicare
un’altra volta la simmetria centrale ossia cambiare di segno la sua x e
aggiungere 2x0 e cambiare di segno la sua y e aggiungere 2y0 . Otteniamo:
P '' ( x 2 x0 ) 2 x0 , ( y 2 y0 ) 2 y0 P x, y
Le simmetrie centrali sono trasformazioni particolari: applicate 2 volte riportano ogni
punto alla posizione iniziale.
La trasformazione inversa di ogni simmetria centrale si ottiene pertanto applicando di
nuovo la simmetria stessa.
Le formule di una simmetria e della sua inversa coincidono: S-1 = S.
La simmetria centrale è INVOLUTORIA
ES. Trovare l’equazione della retta r’ simmetrica di r: y = x + 1 rispetto al centro
C(1,- 1). Verificare che applicando 2 volte la simmetria assiale a r si ottiene r’’≡ r.
1
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Sol. Per ricavarci l’equazione della retta r’ dobbiamo invertire le rispetto alle vecchie
coordinate x e y in modo poi da sostituirle nell’equazione di r.
Si avrà dunque:
x x ' 2 x0
S 1
y y ' 2 y0
Sostituendo queste coordinate nell’equazione di r si ottiene: y ' 2 x ' 2 1 =>
y ' x ' 5 . La retta trasformata è sempre parallela a quella data. Verifichiamo
che il punto C è anche equidistante dalle rette r ed r’:
|1 1 1|
3
dC r
2
2
|1 1 5 |
3
dC r '
2
2
Se trasformo di nuovo la r’ ottengo r’’: y '' 2 x '' 2 5 => y '' x '' 1 ≡ r !!
Riassumiamo i risultati ottenuti in un grafico.
Ricerca dei punti uniti e delle rette unite
i) Punti uniti
DEF. Un punto del piano P si dice UNITO rispetto ad una trasformazione T se e solo
se coincide con il suo trasformato P’.
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SIMMETRIE e TRASLAZIONI
Andiamo allora alla ricerca dei PUNTI UNITI di una simmetria centrale imponendo
ciò che dice la definizione ossia x’=x e y’=y. Ciò ci conduce alla risoluzione del
sistema:
x x 2 x0
y y 2 y0
La soluzione di questo sistema permette di trovare i punti uniti di una simmetria centrale.
La soluzione si trova facilmente. L’unico punto unito è il centro C ( x0 , y0 ) come c’era
da immaginarsi visto che se cerchiamo il simmetrico di C rispetto a se stesso
otteniamo ancora C.
ii) Rette unite
DEF. Una retta r del piano si dice UNITA rispetto ad una trasformazione T se e solo
se coincide con la sua trasformata r’.
Prima di trovare le rette unite proviamo ad utilizzare l’intuito. Quali sono quelle rette
che a seguito di una riflessione rispetto al centro C non cambiano? Non è difficile
convincersi del fatto che sono tutte e sole quelle che passano per C stesso ossia tutte
le rette del fascio proprio di centro C.
Per dimostrarlo facciamo i calcoli. Applichiamo una trasformazione di simmetria
centrale alla retta r e otteniamo r’, poi imponiamo che r’ coincida con r.
Sim .Centrale
r : y mx q
r ' : y ' m ' x ' q '
C ( x0 , y0 )
r r'
Procediamo come nell’esempio precedente sostituendo al posto di x e y di r le loro
espressioni derivate dalle . Si ottiene:
r ' : y ' 2 y0 m( x ' 2 x0 ) q
Imponendo che r’ = r troviamo la condizione su q: q mx0 y0 e quindi
sostituendolo nella retta r otteniamo:
y y0 m( x x0 )
Che è proprio il fascio di rette di centro C come avevamo previsto.
Ogni retta del fascio proprio di centro C è RETTA UNITA rispetto ad una
simmetria centrale di centro C. In conclusione possiamo dire che:
Ogni simmetria CENTRALE ha 1 solo punto unito, il centro C, ed infinite
rette unite, tutte quelle del fascio proprio di centro C.
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x ' x 2
ES. Trovare i punti uniti e le rette unite della trasformazione T:
.
y
'
y
4
Disegnare la retta r’ simmetrica di r: y = – x – 1.
Sol. La trasformazione T è una simmetria centrale di centro C(–1,2) per cui esiste un
unico punto unito C(–1,2) mentre le rette unite sono quelle del fascio proprio
ossia di equazione y – 2 = m(x + 1).
La trasformata di r è dopo facili calcoli r’: y’ = – x’ + 3. Riassumiamo tutto in un
grafico.
Simmetria centrale rispetto all’origine O(0,0). Se prendiamo come centro di
simmetria l’origine degli assi O(0,0) si ottengono allora le seguenti semplici
equazioni di trasformazione:
x ' x
y' y
ES. Il simmetrico rispetto all’origine del punto P(3, 2) è P’(–3, –2).
La retta simmetrica di r: y=3x–2 si ottiene semplicemente cambiando i segni di x e y;
r’: – y’ = – 3x’ – 2 => y’ = 3x’ + 2.
Diamo ora un’ultima definizione.
DEF. Una curva del piano cartesiano si dice DISPARI se essa è simmetrica rispetto
all’origine degli assi. In altre parole essa non deve cambiare se la sua equazione viene
trasformata secondo le .
Per quanto già detto, le rette del fascio di centro l’origine di equazione y = mx sono
rette unite (ossia proprio quelle che non cambiano sotto la simmetria ) e quindi sono
tutte DISPARI. Infatti per le trasformate si ottiene: –y = m(–x) => y = mx che
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sono uguali alle originali. Tutte le curve rappresentabili con polinomi di grado
dispari, es. y 4 x 5 x 3 2 x , sono DISPARI. Infatti per la trasformata si ottiene:
y ' 4( x ')5 ( x ')3 2( x) che è uguale all’originale.
Un esempio di 3 curve dispari
INVARIANTI di una simmetria CENTRALE
Altro tema di grande importanza è la ricerca degli invarianti di una trasformazione
geometrica ossia di quelle quantità numeriche o proprietà geometriche degli oggetti
(punti, rette, figure piane, ecc. ) che non mutano a seguito della trasformazione.
Quali sono gli invarianti di una simmetria centrale?
1° Invariante. L’angolo fra rette.
Dagli esempi fatti in precedenza, abbiamo visto che la trasformata di una retta r è una
retta r’ parallela ad essa. Detto in altri termini se trasformiamo una retta qualunque
otteniamo sempre un’altra retta parallela a quella di partenza. Da questo si deduce
che se due rette r ed s formano un certo angolo allora anche le loro trasformate r’
ed s’ formano lo stesso angolo . Questa proprietà viene riassunta nella frase:
Ogni simmetria CENTRALE conserva gli angoli
Dimostriamo tale affermazione.
Prendiamo una retta generica di equazione r: ax + by + c = 0 e applichiamo una
simmetria centrale le cui equazioni sono le . Otteniamo la trasformata:
r’: a( x ' 2 x0 ) b( y ' 2 y0 ) c 0 Notiamo che i coefficienti di x’ e y’
sono stavolta –a e –b che possono essere trasformati in positivo moltiplicando tutto
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per –1. Dunque anche la retta r’ è parallela alla retta r perché ha lo stesso coefficiente
angolare dato da: m = –a/b.
ES. Trovare le trasformate di r: y = 2x – 3 e s: y = – x + 1 rispetto ad una
simmetria centrale di centro C(1, 2) e disegnarle. Verificare anche graficamente che
l’angolo formato dalla coppia di rette r ed s è uguale all’angolo ' formato dalle
rette trasformate r’ ed s’.
Sol. Come al solito applichiamo le (inverse delle ) e troviamo:
r’: y’ = 2x’ + 3
s’: y’ = –x’ + 5
L’angolo ' = perché r//r’ ed s//s’.
Disegniamo le due coppie di rette r, s; r’, s’. Come si può vedere i due angoli
indicati entrambi con sono uguali.
2° Invariante. La distanza fra punti.
L’altro importante invariante è la distanza fra punti. Siano P x1 , y1 , Q x2 , y2 due
punti del piano cartesiano e P ' x '1 , y '1 , Q ' x '2 , y '2 i due punti trasformati secondo
la simmetria centrale . Vediamo se e come cambia la loro distanza:
P 'Q '
x
'
2
x1' y2' y1'
2
x2 2 x0 x1 2 x0
2
2
y2 2 y0 y1 2 y0
2
x2 x1
2
y2 y1 PQ
2
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Quindi la distanza fra due punti è un invariante sotto questa particolare
trasformazione. Questa proprietà viene riassunta nella frase:
Ogni simmetria CENTRALE conserva le distanze
Come conseguenza diretta di ciò abbiamo che la simmetria centrale trasforma le
figure geometriche (triangoli, quadrati, rettangoli, parallelogrammi, trapezi ecc.)
in figure geometriche congruenti!
Una trasformazione che lasci invariata la distanza fra punti si chiama ISOMETRIA
(dal greco iso=stessa metria=distanza).
La simmetria centrale è una ISOMETRIA (diretta).
A
B
C
X
1
3
4
Y
1
3
9
A'
B'
C'
-1
-3
-4
-1
-3
-9
Riflessione rispetto all'origine
10
5
Esempio di un triangolo di vertici
A(1,1), B(3,3) e C(4,9) ed il suo
simmetrico rispetto all’origine. Si
può notare che sono congruenti.
Y
0
-6
-4
-2
0
2
4
6
-5
-10
X
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Simmetria assiale
DEF. Due punti P e P’ sono simmetrici rispetto alla retta r, detta asse di simmetria, se
e solo se la retta r è l’asse del segmento PP’.
In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, si vogliono determinare le
equazioni di trasformazione di una simmetria assiale. Sia r: y=mx+q la retta asse di
simmetria e sia P ( x0 , y0 ) il punto di cui si vuole determinare il simmetrico P '( x0' , y0' )
rispetto a tale retta. Secondo la definizione, P’ è il simmetrico di P rispetto alla retta
y=mx+q se essa è l’asse del segmento PP’. Il punto P’ deve stare quindi sulla retta s
passante per P e perpendicolare ad r; inoltre il punto H d’incontro fra la retta r ed s
x0 x0' y0 y0'
,
deve essere il punto medio del segmento PP’, ossia H
.
2
2
Procediamo dunque a determinare la retta s che passa per P ed è perpendicolare a r.
Essa avrà equazione:
1
s : y y0 ( x x0 )
m
Intersechiamo ora la retta r con la retta s per trovare le coordinate di H. Avremo:
y mx q
H
1
y
y
( x x0 )
0
m
x0 my0 mq
x
H
1 m2
H
2
y mx0 m y0 q
H
1 m2
Come già detto, P’ deve appartenere alla retta s, ed H deve essere il punto medio del
segmento PP’ . Si avranno così le equazioni implicite di trasformazione
rispetto ad una simmetria assiale.
x0 my0 mq x0 x0'
1 m2
2
y' y 1 ( x' x )
0
0
0
0
m
Risolte rispetto a x0' e y0' , dopo facili calcoli, si ottiene:
' x0 (1 m 2 ) 2my0 2mq
x0
1 m2
2
y ' y0 (m 1) 2mx0 2q
0
1 m2
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Essendo P ( x0 , y0 ) un punto qualunque del piano, possiamo togliere l’indice “0” ed
otteniamo le formule generali per una simmetria assiale rispetto alla retta y=mx+q:
(1 m2 ) x 2my 2mq
x'
1 m2
2
y ' 2mx (1 m ) y 2q
1 m2
ESEMPIO
Vediamo ora come poter trovare le equazioni di trasformazione di una simmetria
assiale in un caso concreto senza doverci ricordare le formule .
Prendiamo come asse di simmetria la retta r: y= x+1 e siano P ( x0 , y0 ) e P '( x '0 , y '0 )
il punto originale ed il suo trasformato.
I° Metodo. Operiamo nel modo seguente:
a. Imponiamo che il punto medio di PP’ appartenga alla retta r.
b. Imponiamo che la retta passante per PP’ sia perpendicolare a r.
c. Risolviamo il sistema determinato dalle due condizioni a. e b.
y y '0 x0 x '0
1
a. 0
2
2
y '0 y0
1
b.
x '0 x0
y0 y '0 x0 x '0
1
2
2
c.
la cui soluzione è:
y '0 y0
1
x '0 x0
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II° Metodo. Operiamo nel modo seguente:
d. Scriviamo la retta s perpendicolare a r e passante per P.
e. Intersechiamo s con r e determiniamo H.
f. Imponiamo che H sia il punto medio di PP’.
a. y – y0 = –(x–x0)
b. r ∩ s ==>
c. ==> la cui soluzione è:
III° Metodo. Operiamo nel modo seguente:
a. Imponiamo che la retta PP’ sia perpendicolare a r.
b. Imponiamo che la distanza di P da r sia = alla distanza di P’ da r (asse).
c. Risolviamo il sistema con le 2 condizioni precedenti.
a.
b.
c. ==>
Il sistema c. si spezza in due.
Quello che si ottiene non cambiando i segni della 2° equazione è banale perché
fornisce come trasformato di P, P stesso e quindi va scartato.
Si può dimostrare che se prendiamo come asse di simmetria la retta r: y = mx+q allora la trasformata di s: y = cx + k è:
Questo dimostra che una coppia di rette parallele (stesso c) viene trasformata in un’altra coppia di rette parallele.
ES. Determinare il simmetrico di P(3, 1) e della retta s: y = –2x – 1 rispetto alla retta
(asse di simmetria) r: y= x+1.
Sol. Utilizzando le equazioni appena calcolate:
. Troviamo subito: P’(0, 4) mentre per s’: x’+1=–2(y’–1) –1=> y’= –x’/2.
Disegniamo i risultati ottenuti.
ES. Determinare le equazioni della simmetria assiale di asse r: y=2x–1.
Sol. Procediamo come nel caso precedente.
a. retta s : y – y0 = –1/2(x–x0)
b. =>
c.
Uguagliando le due espressioni di H ricavate in b. e c. si ottiene:
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IMPORTANTE 1
ES. Verificare che applicando 2 volte la simmetria assiale rispetto alla retta r:y=x+1
ad un punto P, si ottiene P’’ = P.
Sol. Al primo passaggio si ottiene: . Adesso a P’ devo applicare un’altra volta la
simmetria assiale ossia: la nuova ascissa è la vecchia ordinata diminuita di 1; la
nuova ordinata è la vecchia ascissa aumentata di 1. Otteniamo perciò:
Questa proprietà è caratteristica di tutte le simmetrie assiali.
Le simmetrie assiali (come quelle centrali) sono trasformazioni particolari: applicate
2 volte riportano ogni punto o ogni retta nella situazione iniziale.
La trasformazione inversa di ogni simmetria assiale si ottiene pertanto applicando di
nuovo la simmetria stessa.
Le formule di una simmetria e della sua inversa coincidono: S-1 = S.
La simmetria assiale è INVOLUTORIA
IMPORTANTE 2
ES. Verificare che applicando 2 simmetrie assiali rispetto a rette perpendicolari
si ottiene una simmetria centrale con centro il punto d’incontro degli assi di
simmetria (Questa dimostrazione è stata fatta in appendice 1 con DERIVE).
Siano per esempio gli assi a1: y = 3x – 4 e a2: y = –1/3 x + 1 e sia P(3, 2) il punto
da trasformare rispetto agli assi.
Sol. Per prima cosa scriviamo le equazioni di trasformazione rispetto ad a1 ed a2.
,
ed applichiamo le simmetrie:
, . Il punto d’incontro fra gli assi è C( 3/2, 1/2). Scriviamo la simmetria centrale
rispetto a C:
e quindi il simmetrico di P rispetto al centro di simmetria C è:
≡ P’’ come si voleva dimostrare
Ricerca dei punti uniti e delle rette unite
Per ricercare i PUNTI UNITI di una simmetria assiale generale risolviamo il sistema:
Facilmente si trova che il sistema si riduce a 2 equazioni identiche: . Possiamo
concludere che esistono infiniti punti uniti, tutti quelli appartenenti all’asse di
simmetria. Essa prende il nome di RETTA DEI PUNTI UNITI. In conclusione:
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SIMMETRIE e TRASLAZIONI
Ogni simmetria ASSIALE ha 1 sola retta dei punti uniti: l’asse di simmetria.
INVARIANTI di una simmetria ASSIALE
Quali sono gli invarianti di una simmetria ASSIALE?
1° Invariante. L’angolo fra rette.
Dagli esempi fatti in precedenza, abbiamo visto che la trasformata di una retta r è una
retta r’ NON parallela ad essa. Ma se prendo due rette r ed s che formano un certo
angolo , e le trasformo con una simmetria assiale in r’ ed s’, allora anche l’angolo fra
r’ ed s’ è ancora . La dimostrazione generale può essere fatta in modo semplice
utilizzando la geometria euclidea. Questa proprietà viene riassunta nella frase:
Ogni simmetria ASSIALE conserva gli angoli
2° Invariante. La distanza fra punti.
L’altro importante invariante è la distanza fra punti. Siano , due punti del piano
cartesiano e , i due punti trasformati secondo la simmetria assiale . Vediamo se e
come cambia la loro distanza.
I trasformati di P e Q sono i punti e . Dunque:
Quanto abbiamo visto in questo esempio particolare può essere generalizzato ad ogni
simmetria assiale: la distanza fra due punti è un invariante. Questa proprietà
viene riassunta nella frase:
Ogni simmetria ASSIALE conserva le distanze
Come conseguenza diretta di ciò abbiamo che la simmetria assiale trasforma le figure
geometriche (triangoli, quadrati, rettangoli, parallelogrammi, trapezi ecc.) in
figure geometriche congruenti! Cambia solo il verso di percorrenza dei vertici:
se i vertici ABC di un triangolo sono in ordine sinistrorso (orario) i vertici
A’B’C’ del triangolo simmetrico sono in ordine destrorso (antiorario) come in
uno specchio. Per questo motivo le simmetrie assiali sono dette anche speculari,
come se al posto dell’asse di simmetria ci fosse uno specchio.
La simmetria assiale è una ISOMETRIA (inversa)
A
B
C
X
1
3
4
Y
1
3
9
A'
B'
C'
-1
-3
-4
1
3
9
Esempio di un triangolo di vertici
A(1,1), B(3,3) e C(4,9) ed il suo
simmetrico rispetto all’asse Y. Si
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SIMMETRIE e TRASLAZIONI
può notare che sono congruenti.
Consideriamo infine qualche semplice caso ma di particolare interesse
1) Asse x . Poniamo nella m=0 e q=0. Si ottengono le equazioni di trasformazione
per la simmetria rispetto all’asse x.
ES. Il simmetrico rispetto all’asse x del punto P(3, 2) è P’(3, –2), mentre la
simmetrica di r: y = 3x – 2 è r’: y = –3x + 2
La retta unita è l’asse x stesso.
1 bis) Retta parallela all’asse x. Sia ora m=0 e q=y0. Si ottengono le seguenti
equazioni di trasformazione per la simmetria rispetto alla retta di equazione y= y0.
ES. Il simmetrico rispetto alla retta y = –2 del punto P(6, –1) è P’(6, –3).
2) Asse y. Se y0 = 0 si ottengono le equazioni di trasformazione per la simmetria
rispetto alla retta di equazione x=0.
ES. Il simmetrico rispetto all’asse y del punto P(3, 2) è P’(–3, 2), mentre la
simmetrica di r: y = 3x – 2 è r’: y = –3x – 2
La retta unita è l’asse y stesso.
2 bis) Retta parallela all’asse y. Si ottengono le seguenti equazioni di
trasformazione per la simmetria rispetto alla retta di equazione x=x0 .
ES. Il simmetrico rispetto alla retta x=3 del punto P(5,1) è P’(1,1).
La retta unita è l’asse stesso ossia x=0.
IMPORTANTE
3) Bisettrice I-III quadrante m=1 e q=0. Si ottengono le equazioni di
trasformazione per la simmetria rispetto alla retta di equazione y=x.
ES. Il simmetrico rispetto alla bisettrice I-III quad. del punto P(3,2) è P’(2,3) mentre
la simmetrica di r: y = 3x – 2 è r’: x = 3y – 2.
La retta unita è l’asse stesso ossia y=x.
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SIMMETRIE e TRASLAZIONI
Notare che la simmetria rispetto alla bisettrice si riduce a scambiare x con y e
viceversa. Ciò sarà molto importante quando cercheremo di determinare il grafico
delle funzioni inverse.
4) Bisettrice II-IV quadrante m=–1 e q=0. Si ottengono le equazioni di
trasformazione per la simmetria rispetto alla retta di equazione y=-x.
ES. Il simmetrico rispetto alla bisettrice II-IV quad. del punto P(3,2) è P’(-2,-3).
La retta unita è l’asse stesso ossia y=-x.
CURVE PARI
DEF. Una curva del piano cartesiano si dice PARI se essa è simmetrica rispetto
all’asse y. In altre parole essa non deve cambiare se la sua equazione viene
trasformata secondo le .
Tutte le curve rappresentabili con polinomi di grado pari (es. ) sono PARI. Infatti per
le trasformate si ottiene: che sono uguali alle originali.
Due esempi di curve pari
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SIMMETRIE e TRASLAZIONI
Traslazioni
Le traslazioni non sono simmetrie ma sono le più semplici trasformazioni che si
possono operare in un piano cartesiano. Traslare un punto P(x,y) significa
semplicemente spostarlo lungo x di una quantità e lungo y di un’altra quantità .
Le equazioni di trasformazione di una traslazione di “vettore” è data da:
ES. Del punto P(–2, 3) determinare le coordinate del punto P’ traslato di P del vettore
V(1, 2). In secondo luogo determinare la retta r’ traslata di r: y = –2x + 3.
Sol. Per P’ si ha: P’(–2+1, 3+2) => P’(–1, 5). Per ricavarci r’ invertiamo le
sostituendo le coordinate accentate in r.
Per r’ si avrà dunque: y’–2 = –2(x’ – 1) + 3 => y’ = –2x’ + 7.
Come si può ben capire la traslazione non è involutoria in quanto applicando 2
volte la stessa trasformazione si ottiene un punto traslato di una quantità doppia
rispetto all’originale.
ES. Traslare il fascio di rette proprio F: y=mx del vettore .
Sol. Per trovare F’ applichiamo le . Si ottiene:
F’:
che è la ben nota equazione del fascio proprio di centro . Esso non è altro che il
traslato dell’origine O(0, 0) ossia il vecchio centro del fascio y=mx.
i) Punti uniti
A parte la traslazione banale di vettore V(0,0), la traslazione non ha punti uniti
perché appunto tutti i punti vengono spostati di una certa quantità lungo x e/o lungo
y. Infatti risolvendo l’ormai noto sistema:
Ricerca dei punti uniti in una traslazione
L’unica soluzione sarebbe quella banale V(0,0), ossia non traslare.
ii) Rette unite
Andiamo ora alla ricerca delle rette unite. Come al solito determiniamo la nuova retta
r’ trasformata di r: y = mx + q e imponiamo che siano uguali. Utilizzeremo
ovviamente le .
=> (r’ ≡ r) => => .
Come interpretare questa soluzione? E’ abbastanza semplice rendersi conto che tutte
le rette unite di una traslazione di vettore sono solo quelle il cui coefficiente
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SIMMETRIE e TRASLAZIONI
angolare è ossia proprio quelle che hanno la stessa direzione (m) del vettore . Infatti
se trasliamo una retta lungo la sua direzione, essa non viene alterata. In sintesi:
Ogni TRASLAZIONE non ha punti uniti ma ha infinite rette unite, tutte
quelle del fascio improprio di rette parallele alla direzione individuata
dalla traslazione
Le rette unite sono tutte quelle parallele alla retta OV, dove O è l’origine e V il vettore della traslaz.
INVARIANTI di una TRASLAZIONE
1° Invariante. L’angolo fra rette.
Dagli esempi fatti in precedenza, risulta chiaro che la trasformata di una retta r è una
retta r’ parallela ad essa. Da questo si deduce che se due rette r ed s formano un certo
angolo allora anche le loro trasformate r’ ed s’ formano lo stesso angolo . Questa
proprietà viene riassunta nella frase:
Ogni TRASLAZIONE conserva gli angoli
2° Invariante. La distanza fra punti.
Siano , due punti del piano cartesiano e , i due punti trasformati secondo la
traslazione . Vediamo che la loro distanza non cambia:
Anche le traslazioni lasciarono la distanza fra punti invariata. D’altro canto nessuno
si è mai meravigliato che la nostra auto sia lunga uguale se misurata nel nostro
parcheggio di casa o in quello presente in piazza.
Ogni TRASLAZIONE conserva le distanze
La simmetria centrale è una ISOMETRIA (diretta)
ES. Dato il triangolo di vertici A(1,2) B(4,1) e C(-2, -3), si determinino le coordinate
dei vertici A’, B’ e C’ traslati di A,B,C del vettore V(-5, 2). Trovare area e perimetro
dei due triangoli e confrontare i risultati. Verificare che il baricentro G’ di A’B’C’ è il
traslato di G, baricentro di ABC.
IMPORTANTE
ES. Verificare che applicando in sequenza 2 simmetrie CENTRALI di centri
rispettivamente C0(x0, y0) e C1(x1, y1) si ottiene una TRASLAZIONE di vettore
V(2[x1–x0], 2[y1 –y0]).
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Sol. Sia P(x, y) il punto da trasformare.
Alla prima simmetria si ottiene: P’(–x+2x0 , –y+2y0) . Alla seconda simmetria si
ottiene: P’’(–(–x+2x0) + 2x1 , –(–y+2y0)+2y1) = P’’( x+2(x1 –x0), y+2(y1 – y0) )
Che è proprio il traslato rispetto di P di un vettore V(2[x1–x0], 2[y1 –y0]).
DEF. Si definisce GLISSOSIMMETRIA (o antitraslazione) la composizione di una
simmetria assiale di asse r con una traslazione di vettore V parallelo a r.
Teorema. La GLISSOSIMMETRIA è una isometria inversa.
Teorema. La composizione di due isometrie:
a) dirette è una isometria diretta;
b) inverse è una isometria diretta;
c) una diretta e l’altra inversa è una isometria inversa.
Trasformazione
Isometrica
Equazione
Punti
uniti
Rette
unite
Invarianti
Ogni
Il centro retta del
della
fascio di
simmetria centro
C(x0, y0)
1) L’angolo
fra rette
Simmetria
2) La
CENTRALE
distanza fra
(Diretta)
punti
1) L’angolo
L’asse
di
fra rette
Simmetria
NESSUNO simmetria 2) La
ASSIALE
y=mx+q distanza fra
(Inversa)
punti
1) L’angolo
Ogni
fra rette
retta // al
Traslazione
NESSUNO
2) La
vettore
(Diretta)
distanza fra
V(x0, y0)
punti
Tabella riassuntiva semplificata sulle simmetrie centrali, assiali e traslazioni
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Appendice 1
Applicando 2 simmetrie assiali PERPENDICOLARI ad un punto P, si ottiene una
simmetria centrale con centro il punto d'incontro degli assi
Le equazioni #1 e #2 sono quelle di una simmetria rispetto all'asse y = mx + q
Le equazioni #3 e #4 sono quelle di una Simmetria rispetto all'asse y = -1/m x + k perpendicolare all'asse
precedente. Sostituendo x_1 e y_1 nelle #3 e #4 si ottengono le seguenti:
Come si vede le #5 e #6 sono le coordinate di una simmetria centrale di centro dato dalla #8 che
rappresenta il punto d'intersezione fra gli assi y = mx + q
e
y = -1/m x + k
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