metodi matematici

Metodi matematici utilizzati per lo studio dei sistemi
di controllo
Modello matematico di un sistema continuo
Def. Un Sistema dinamico è un insieme di elementi interagenti che
concorrono a stabilire una relazione ben precisa tra ingressi e uscite.
Un suo modello matematico è una equazione del tipo
anu
Sistema
dinamico
dinamico
n  t   a u n  1 t   .......  a ut   a ut  
n 1
1
0
i mt   b i m  1t   .......  b it   b it 
b
m
m 1
1
0
cioè una equazione differenziale lineare e a coefficienti costanti se:
1. Il sistema è “studiato nel continuo”, cioè se l’insieme dei tempi
(insieme di tutti i possibili istanti di osservazione del sistema) è un
intervallo continuo. La funzione incognita u(t) compare sotto
l’operatore di derivata in quanto il modello deve essere in grado di
rappresentare tutte le variazioni istantanee di u(t), e di conseguenza
l’equazione è differenziale
2. L’equazione è lineare in quanto la funzione incognita compare elevata
solo al primo grado: essa rappresenta un sistema lineare cioè un
sistema per cui vale il “Principio di sovrapposizione degli effetti” in
cui si afferma che: “Se si sollecita un sistema con un ingresso dato
dalla combinazione lineare di più ingressi, l’uscita sarà combinazione
lineare delle uscite corrispondenti ai singoli ingressi componenti.”
3. Il sistema è invariante cioè vale per esso il cosiddetto “Principio delle
prove ripetute" in esso si afferma che: “Se sollecito un sistema
invariante con lo stesso ingresso in istanti di tempo diversi e a partire
dalle stesse condizioni iniziali, la risposta sarà sempre la stessa”.
Conseguentemente un sistema invariante non altera la sua struttura nel
tempo e quindi i parametri restano invariati. Nel modello matematico
sopra riportato, i valori dei parametri sono rappresentati dai
coefficienti, che di conseguenza sono costanti.
4. Il sistema è di ordine n, cioè il sistema è caratterizzato da n variabili di
stato. Si può dimostrare che l’ordine dell’equazione differenziale,
modello matematico di un sistema studiato nel continuo, ( cioè l’ordine
massimo di derivazione della funzione incognita ), coincide con
l’ordine del sistema.
1
Sistema
continuo
continuoinam
ico dinamico
Sistema
lineare
dinamico
Sistema
invariante
dinamico
Soluzioni
Riprendiamo l’equazione differenziale:
an u
n t   a
 bmi
n  1u
mt   b
n  1t   .......
m  1i
 a1u t   a0u t  
m  1t   .......  b it   b t 
1
0
risolverla vuol dire trovare l’espressione della funzione incognita u(t) a
partire da determinate condizioni iniziali; come è noto dai procedimenti
matematici atti a risolvere questo tipo di equazione, la sua soluzione (detta
integrale) sarà data dalla somma di due termini :
 Integrale generale dell’omogenea associata
 Un integrale particolare
Per omogenea associata si intende l’equazione
n 
n  1t   .......  a ut   a ut   0
a u t   a
u
n
n 1
1
0
Soluzioni
Omogenea
ottenuta considerando la funzione di ingresso, insieme alle sue derivate,
identicamente nullo. In essa, effettuando la sostituzione u(t)=et si ottiene
l’equazione caratteristica:
an n  an 1n 1  .......  a1  a0  0
in cui all’operatore di derivata n-ma della funzione u(t) corrisponde
l’elevamento all’ennesima potenza della variabile incognita .
Caratteristica
Questa equazione ammette nel campo complesso n soluzioni ognuna delle
quali porta un contributo alla composizione dell’integrale generale.
In particolare si ha che:
 Ad ogni radice reale e di molteplicità 1 corrisponde un termine del tipo


ce t
Ad ogni radice reale e di molteplicità h corrisponde un termine del tipo
c1e t  c 2 te t  .........  c h t h 1e t
Ad ogni coppia di soluzioni complesse coniugate del tipo   j
corrisponde un termine del tipo
et c1 cost   c 2 sen t 
Se ad esempio n=2 l’equazione caratteristica diventa:
a 2  b  c  0
e dette 1 e 2 le sue radici, l’integrale generale u(t) dell’omogenea
associata sarà del tipo:


ut   c1e 1t  c 2 e 2t
ut   c1e 1t  c 2 te 1t
se le radici sono reali e distinte
se le radici sono reali e coincidenti
se le radici sono complesse
ut   et c1 cost   c2 sen t 
coniugate
A questo punto resta da calcolare l’integrale particolare: un metodo
generale per la sua risoluzione è quello di Lagrange che risulta però spesso
di non semplice applicazione. Un metodo più semplice consiste
nell’ipotizzare, in base all’analisi del termine noto (ingresso i(t) ), la forma
Secondo
ordine
Sistema dinamico
dinamico

2
Integrale
particolare
dell’integrale particolare e, imponendo che esso sia soluzione
dell’equazione completa, determinare la sua esatta espressione.
Nel tipo di studio che stiamo effettuando, facendo riferimento ai più
frequenti ingressi, si procederà ipotizzando i seguenti tipi di integrali
particolari:
 se i(t) è di tipo polinomiale, detto m il grado di i(t) e q l’ordine della
più piccola derivata dell’equazione differenziale omogenea,
l’integrale particolare sarà un polinomio di grado m+q.


se i(t) è di tipo esponenziale, cioè it   be kt , allora u t   ce kt se k
non è soluzione dell’equazione caratteristica (soluzione di
molteplicità 0), se invece k è soluzione di molteplicità p, l’integrale
particolare sarà del tipo u t   ct p e kt
se l’ingresso è del tipo it   a senkt  b coskt ,allora se k è
soluzione dell’equazione caratteristica di molteplicità p, l’integrale
particolare sarà del tipo: ut   t p c1 sen kt  c 2 coskt
In un modello matematico del tipo appena trattato, risolvere l’equazione
differenziale che lo rappresenta significa trovare l’andamento della
risposta in funzione del tempo; essa sarà individuata quindi dalla somma
di due termini: risposta libera e risposta forzata.
La risposta libera è data dall’integrale dell’omogenea associata in quanto
il termine noto, e cioè l’ingresso, è qui considerato identicamente nullo. La
sua espressione quindi rappresenta la risposta di un sistema libero da
sollecitazioni esterne.
La risposta forzata è data dall’integrale particolare, che essendo calcolato
a partire dal termine noto e quindi dall’ingresso, rappresenta la risposta del
sistema sottoposto ad una particolare sollecitazione di ingresso.
3
Risposta del
sistema
Trasformata di Laplace
I procedimenti matematici sin ora trattati per la risoluzione di una equazione
differenziale prevedono calcoli spesso onerosi e non sempre facilmente
affrontabili. Si può risolvere il problema facendo ricorso alla trasformata di
Laplace.
Definizione
Una funzione f(t), della variabile reale t, definita e continua a tratti
nell’intervallo [0,+[ , è trasformabile secondo Laplace se esiste il seguente
integrale improprio, detto integrale di Laplace:
F s  

e
 st
f t dt
Trasformata
0
che risulta essere funzione della variabile complessa s =  + j
La trasformata di Laplace si indica col simbolo L per cui L [ f(t) ] = F(s).
Questa operazione permette di stabilire una corrispondenza biunivoca tra
l’insieme dei numeri reali R, dominio della variabile t, e quello dei numeri
complessi C, dominio della variabile s.; risulta quindi possibile effettuare la
trasformazione inversa, cioè risalire alla f(t) una volta nota la F(s), con la
seguente operazione:
f t  
 
e
st
F s ds
Antitrasformata
 
detta antitrasformata di Laplace e permette il passaggio dal dominio
complesso C a quello reale R.. L’antitrasformata di Laplace si indica col
simbolo L-1 per cui L-1[ F(s) ] = f(t).
Non tutte le funzioni sono trasformabili secondo Laplace, ma se ci
limitiamo allo studio di sistemi lineari invarianti e a segnali di ingresso
fisicamente realizzabili (cioè definiti solo per t0), le condizioni di
trasformabilità sono sempre verificate.
Le trasformate delle funzioni più frequentemente usate nello studio dei
sistemi sono:
L k  
k
s
L e
 1  e  k t 
1
L


 k  s  (s  k )
1
  s k
t2  1
L   3
2 s
1
L t   2
s
 
 k t
n
Ltn 
s
L t  e  k t  
* Vedi
glossario
L[impulso di Dirac] = 1*
n 1
L sen  t  

s  2
L cos  t  
s
s  2
2
2
L e  k t  sen   t   

(s  k ) 2   2
s k
L e  k t  cos   t   
(s  k )2   2
4
1
(s  k )2
Diamo ora un breve elenco di alcune delle proprietà delle trasformate di
Laplace in cui viene indicata con F(s) la trasformata di f(t) e con G(s) la
trasformata di G(t):

Linearità:
Linearità
Laf t   bg t   aF s   bGs 

Derivazione nel tempo:
L f t   sF s   f 0
Derivazione
ed ancora:
L f t   s 2 F s   sf 0  f 0
in generale per la derivata di ordine n si ha:


L f n  t   s n F s   s n1 f 0  .......  sf n2 0  f n1 0
Nota bene che se:
f 0  f 0  .......  f n1 0  0
le formule di trasformazione delle derivate si semplificano e si ha:
L f t   sF s 
L f t   s 2 F s 
:


L f n  t   s n F s 

Trasformata dell’integrale:
x
 1
L  f t dt   F s 

 s
0


Integrazione
Teorema del valore iniziale:
Valore
Iniziale
f 0  lim sF s 
s 

Teorema del valore finale:
Valore
Finale
lim f t   lim sF s 
t 
s0
L’utilità della trasformazione di Laplace risiede nel fatto che le equazioni
integro-differenziali fra le grandezze nel dominio del tempo, corrispondono
nel dominio complesso ad equazioni di tipo algebrico, le quali sono di
risoluzione decisamente più semplice.
Dunque il metodo per risolvere una equazione differenziale con le
trasformate di Laplace è il seguente:
5
Risoluzione

Si trasformano secondo Laplace ambo i membri dell’equazione
differenziale.

Si calcola l’espressione di F(s) dall’equazione algebrica così ottenuta.

Si effettua l’antitrasformata di F(s) e si ottiene l’espressione della f(t)
che rappresenta la soluzione dell’equazione differenziale.
La soluzione ottenuta con questo procedimento è un integrale particolare in
quanto tiene conto delle condizioni iniziali.
Per effettuare il calcolo delle trasformate e delle antitrasformate di Laplace,
si fa uso delle tabelle di trasformazione per le quali si rimanda appositi testi
matematici.
6
Le analogie
Si dice che si stabilisce una analogia tra due sistemi di natura fisica diversa
quando le equazioni che descrivono il loro comportamento sono identiche.
analogie
E’ quindi possibile dare la seguente definizione:
Def: Due sistemi sono analoghi quando sono rappresentati dallo stesso
modello matematico.
Le analogie costituiscono un comodo strumento per la risoluzione di
modelli matematici molto complessi. Si può ad esempio realizzare un
circuito elettrico analogo ad un determinato sistema, governato da equazioni
differenziali molto complesse, e una volta individuato sperimentalmente il
comportamento del circuito, è possibile riportare i risultati così ottenuti al
sistema in questione.
Consideriamo ad esempio i seguenti sistemi ed i loro modelli matematici:
Sistemi elettrici
Resistenza
Induttore
Sistemi meccanici
V t   Ri t 
Smorzatore
dit 
dt
Massa
1
V t    it dt
C
Molla
V t   L
F t   fvt 
F t   m
t
Condensatore
t
0
F t   k  vt dt
0
Dove V(t) rappresenta la tensione, i(t) rappresenta la corrente, F(t) la forza e
v(t) la velocità. I parametri R, L, C dei sistemi elettrici rappresentano
rispettivamente resistenza, induttanza e capacità mentre i parametri f, m, k
dei sistemi meccanici, rappresentano rispettivamente forza, massa e
coefficiente di elasticità.
E’ possibile notare che se si fanno corrispondere le tensioni con le forze e le
correnti con le velocità, si ottengono equazioni praticamente identiche. E’
possibile quindi affermare che in base all’analogia tra i sistemi elettrici e
quelli meccanici riportati in tabella, al resistore equivale lo smorzatore,
all’induttore equivale la massa e al condensatore equivale la molla.
7
dvt 
dt
Glossario
Sistema dinamico
sistema che evolve il suo stato in funzione del tempo
Sistema continuo
sistema in cui tutte le variabili in gioco sono funzioni continue; il
modello matematico di un sistema continuo è una equazione
differenziale.
Sistema lineare
sistema per cui vale il principio di sovrapposizione degli effetti; il
modello matematico di un sistema lineare continuo è una equazione
differenziale lineare.
Sistema invariante sistema che non altera la sua struttura nel tempo: i suoi parametri sono
costanti e sono i coefficienti dell’equazione che rappresenta il suo
modello matematico
Ordine
per ordine di un sistema si intende il numero delle variabili di stato
che lo caratterizzano; esso coincide con l’ordine dell’equazione
differenziale che rappresenta il suo modello matematico
Omogenea
per omogenea associata ad un equazione differenziale si intende
l’equazione ottenuta considerando nullo il termine noto.
Caratteristica
equazione caratteristica dell’omogenea associata ad una equazione
differenziale è l’equazione algebrica che si ottiene con la sostituzione
u(t)=et.
Risposta
la risposta del sistema coincide con la soluzione dell’equazione
differenziale che lo rappresenta, essa è data dalla somma di due
termini:
risposta libera che corrisponde all’integrale dell’omogenea associata
risposta forzata che corrisponde ad un integrale particolare che tiene
conto dell’ingresso in gioco.
Trasformata
applicazione matematica che stabilisce una corrispondenza biunivoca
tra l’insieme di origine e quello delle trasformate; per questo motivo è
possibile effettuare la trasformazione inversa.
Impulso di Dirac
è un segnale teorico detto anche segnale impulsivo, che risulta più
noto come funzione di Dirac o funzione delta. Essa viene definita
come la funzione :  t   0 per t  0 .
Analogia
equivalenza funzionale tra due sistemi che, pur essendo di natura
fisica diversa, hanno lo stesso modello matematico.
.
8
Test
1
La trasformata di Laplace è :
un operatore matematico che permette il passaggio dal dominio complesso a
quello reale
una corrispondenza geometrica tra una figura reale f(t) ed una figura complessa
F(s).
un operatore matematico che permette il passaggio dal dominio reale e quello
complesso.
2
L’ordine di un sistema è dato da:
il numero delle variabili di ingresso da cui viene sollecitato.
Il numero dei parametri che lo caratterizzano.
Il numero delle variabili di stato che lo caratterizzano.
3
Un sistema si dice invariante se:
il suo stato non si evolve nel tempo.
Vale il “Principio delle prove ripetute”.
Vale il “Principio di sovrapposizione degli effetti”.
4
Per risposta libera di un sistema si intende:
La risposta del sistema ad ingresso nullo.
La risposta del sistema a condizioni iniziali nulle.
La risposta di un sistema i cui parametri possono essere variati liberamente.
5
Un sistema si dice lineare se:
Vale il “Principio di sovrapposizione degli effetti”.
La connessione tra ingresso e uscita segue un percorso unidirezionale.
Se le grandezze in esame sono inizialmente nulle con tutte le loro derivate.
6
In una equazione differenziale lineare e a coefficienti costanti, l’integrale
generale è dato:
Dalla somma di due termini ottenuti considerando due diversi ingressi.
Dalla somma dell’integrale dell’omogenea associata e di un integrale
particolare calcolato a partire dall’ingresso.
Dall’integrale che si calcola a partire da un ingresso nullo.
7
Quando due o più sistemi si dicono analoghi?
Quando, pur utilizzando grandezze differenti, sono rappresentabili con lo
stesso modello matematico.
Quando tutte le grandezze in gioco sono variabili continue.
Quando l’uscita di un sistema è compatibile con l’ingresso del sistema
successivo.
9
8
Sia a 2  b  c  0 l’equazione caratteristica dell’omogenea associata ad una
equazione differenziale lineare e a coefficienti costanti del secondo ordine, e
siano 1e 2 le sue soluzioni. Se 1  2 l’integrale generale è del tipo:
y  c1e 1t  c 2 e 2t .
y  c1e 1t  c 2 1e 2t .
y  c1e 1t  c 2 te 2t .
9
Il sistema massa molla è equivalente al sistema:
Resistenza - Condensatore..
Resistenza - Induttore.
Induttore - Condensatore.
10 Il modello matematico di un circuito composto da una resistenza R, da un
induttore L e da un generatore di tensione V, posti in serie, è: V t   Ri t   Li t 
dove it  è l’intensità di corrente che circola nel circuito. Posto i(0)=0 la sua
trasformata di Laplace è:
V s   RI s   LsI s  .
V s   RI s   Ls I s   sI s  .
V s   RI s   LI s  .
11 Il circuito “RLC” è equivalente al sistema “Massa –Molla – Smorzatore” ?
No.
Si, la Resistenza equivale allo Smorzatore, l’Induttore alla Massa, il
Condensatore alla Molla.
Si, la Resistenza equivale alla Massa, l’Induttore alla Molla, il Condensatore
allo Smorzatore.
12 Il circuito “RL” è equivalente al sistema :
Smorzatore - Massa.
Massa – Molla..
Smorzatore – Molla.
10
Soluzioni
1
Risposta esatta: c)
Questa operazione permette di stabilire una corrispondenza biunivoca tra l’insieme
dei numeri reali R, dominio della variabile t, e quello dei numeri complessi C,
dominio della variabile s.
2
Risposta esatta: c)
L’ordine di un sistema è individuato dal numero di variabili di stato che lo
caratterizzano: esso coincide con l’ordine dell’equazione differenziale che ne
costituisce il modello matematico.
3
Risposta esatta: b)
Un sistema è invariante se vale il “Principio delle prove ripetute" in cui si afferma
che: “Se sollecito un sistema invariante con lo stesso ingresso in istanti di tempo
diversi e a partire dalle stesse condizioni iniziali, la risposta sarà sempre la stessa”.
4
Risposta esatta: a)
La risposta libera di un sistema è il modo in cui risponde un sistema nel momento in
cui vengono eliminate tutte le sollecitazioni di ingresso. Essa coincide con l’integrale
dell’omogenea associata all’equazione differenziale che rappresenta il sistema.
5
Risposta esatta: a)
Un sistema è lineare se per esso vale il “Principio di sovrapposizione degli effetti”,
ovvero se presi, ad esempio, due segnali di ingresso i1(t) e i2(t) ai quali
corrispondono i segnali di uscita u1(t) e u2(t) ,al segnale di ingresso
it   ai1 t   bi2 t  corrisponde l’uscita ut   au1 t   bu 2 t  .
6
Risposta esatta: b)
L’integrale generale, corrispondente alla risposta del sistema, è dato dalla somma
dell’integrale dell’omogenea associata, corrispondente alla risposta libera, e di un
integrale particolare dell’equazione non omogenea, corrispondente alla risposta
forzata.
7
Risposta esatta: a)
Infatti, per definizione, Due sistemi sono analoghi quando sono rappresentati dallo
stesso modello matematico .
11
8
Risposta esatta: c)
Infatti solo in questo caso i due termini dell’integrale risultano linearmente
indipendenti.
Due integrali y1 e y2 sono linearmente indipendenti se il loro rapporto non è costante,
cioè se
9
y1 c1e 1t

.
y 2 c2 e  2 t
Risposta esatta: c)
Infatti il modello del sistema induttore – condensatore è: V t   L
dit  1
  it dt
dt
C
t
0
dvt 
F t   m
 k  vt dt .
dt
t
Mentre il modello del sistema massa – molla è:
0
10 Risposta esatta: a)
00
trasformata
di
Laplace
è
un
operatore
lineare,
00 La
00 LRi t   Li t   LRi t   LLi t  e ricordando che Li t   sI s   i0
01 i0  0 si ha: V s   RI s   LsI s  .
0
11 Risposta esatta: b)
0
Infatti il modello del sistema resistenza - induttore – condensatore è:
dit  1
V t   Ri t   L
  it dt
dt
C
t
0
Mentre il modello del sistema massa – molla smorzatore è:
F t   cfvt   m
dvt 
 k  vt dt
dt
t
0
dove cf è il coefficiente di attrito viscoso dello smorzatore.
12 Risposta esatta: a)
Infatti il modello del sistema resistenza - induttore è:
V t   Ri t   L
dit 
dt
Mentre il modello del sistema massa – smorzatore è: F t   cfvt   m
12
dvt 
dt
quindi
essendo