m1 m2 T1 T2 - Politecnico di Torino

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Esercizio
(tratto dal Problema 45 del Mazzoldi)
Ad una carrucola di raggio R e massa m sono sospese due masse m1 e m2 , con m1 > m2 . Il momento
d’inerzia della carrucola rispetto all’asse passante per il suo centro e ortogonale al piano verticale in
cui giace, vale I. Si suppone che il filo non slitti e che non ci sia attrito sull’asse. Calcolare
1. l’accelerazione delle due masse;
2. le tensioni del filo;
3. la reazione sull’asse della carrucola.
T1
T2
m1
m2
Fabrizio Dolcini (http://staff.polito.it/fabrizio.dolcini/)
Dipartimento di Scienza Applicata e Tecnologia, Politecnico di Torino - Esercitazioni di Fisica I
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SOLUZIONE
Scegliamo anzitutto un verso convenzionale per il moto. Siccome il testo dice che m1 > m2 , sembra
naturale (anche se non è obbligatorio) scegliere il verso mostrato in figura 1 Scriviamo ora le equazioni
N
T1
T2
mg
T1
m1
T2
m2
m2 g
m1 g
Figure 1:
del moto in base a tale verso convenzionale
• equazione per il corpo m1
m1 g − T1 = m1 a
(1)
− m2 g + T2 = m2 a
(2)
• equazione per il corpo m2
• equazioni per la carrucola
Come prima cosa elenchiamo tutte le forze che agiscono sulla carrucola:
– le tensioni T1 e T2 dei fili applicati alla carrucola (si noti che ciascuna parte di filo, a destra
e a sinistra della carrucola, ha massa nulla, e dunque le tensioni ai capi di ciascuna parte
di filo sono uguali ed opposte);
– la forza peso dovuta alla massa m del disco della carrucola;
– la reazione vincolare N del perno della carrucola.
Osserviamo ora che, siccome la carrucola è un corpo rigido, la sua dinamica – a differenza di
quella dei punti materiali m1 e m2 – è descritta da due equazioni: una per il moto traslatorio del
centro di massa (che in questo caso è fermo), e l’altro per il moto rotatorio attorno al centro di
massa.
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– Moto traslatorio del C.M.
In questo caso il centro di massa è fermo, e dunque
−T1 − T2 − mg + N =
|
{z
}
P
F ext
0
|{z}
(3)
M aCM
→ N = mg + T1 + T2
(4)
ossia la reazione vincolare N del perno compensa la forza peso e le due tensioni, impedendo
al C.M. del disco di muoversi.
– Moto rotatorio attorno al C.M.
È descritto dall’equazione
~
dL
~
=M
dt
(5)
~ è il momento angolare e M
~ è il momento delle forze esterne, calcolati rispetto al
dove L
polo = centro del disco.
~ osserviamo che la carrucola ruota attorno all’asse di rotazione perpen∗ Per calcolare L
dicolare al foglio. Indicando con k̂ il versore uscente, abbiamo
~ = I~
L
ω
con ω
~ = ω k̂
~ = Iω k̂
L
⇒
(6)
dove I è il momento d’inerzia calcolato rispetto all’asse passante per il centro del disco.
~ delle varie forze, rispetto al polo=centro del disco. Mentre
∗ Calcoliamo ora i momenti M
la forza peso mg e la reazione vincolare N del perno danno momento nullo (perché sono
~ T = T1 Rk̂
applicate proprio al polo), la tensione T1 applicata al disco dà un momento M
1
~ T = −T2 Rk̂
diretto lungo k̂, mentre la tensione T2 applicata al disco dà un momento M
2
diretto nel verso entrante (opposto a k̂). Quindi il momento totale è
~ = (T1 − T2 ) R k̂
M
(7)
∗ Inserendo la (6) e la (7) nella (5) otteniamo
I
dω
k̂ = (T1 − T2 ) R k̂
dt
ossia
Iα = (T1 − T2 ) R
α=
(8)
dω
dt
(9)
– Condizione di puro rotolamento
Utilizziamo ora il fatto che il filo non slitta: siccome la carrucola ruota senza strisciare
contro il filo, l’accelerazione angolare α e l’accelerazione longitudinale a dei corpi connessi
al filo sono legati dalla relazione
a
α=
(10)
R
Sostituendo (10) in (9) otteniamo
a
I
= T1 − T2
R2
(11)
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Quindi le tre equazioni (1), (2) e (11)

m1 g − T1 = m1 a






−m2 g + T2 = m2 a





I
 T −T
= a 2
1
2
R
(12)
costituiscono un sistema di tre equazioni in tre incognite a, T1 e T2 . Sommando le tre equazioni si
ottiene
I
(m1 − m2 )g = (m1 + m2 + 2 ) a
(13)
R
da cui
m1 − m2
a=g
(14)
m1 + m2 + RI2
Dalla prima equazione di (12) ricaviamo ora che
T1 = m1 (g − a) =
m1 − m2
= m1 g 1 −
m1 + m2 + RI2
= m1 g
2m2 +
!
=
I
R2
m1 + m2 +
(15)
I
R2
e dunque
T1 = m1 g
2m2 +
I
R2
m1 + m2 +
(16)
I
R2
Dalla seconda equazione di (12) ricaviamo ora che
T2 = m2 (g + a) =
m1 − m2
= m2 g 1 +
m1 + m2 + RI2
= m2 g
2m2 +
!
=
I
R2
m1 + m2 +
(17)
I
R2
e dunque
T2 = m2 g
2m1 +
I
R2
m1 + m2 +
(18)
I
R2
La reazione vincolare si calcola allora dalla (3)
N
= T1 + T2 + mg =
2m2 + RI2
2m1 + RI2
= m1 g
+ m2 g
+ mg =
m1 + m2 + RI2
m1 + m2 + RI2
= g
= g
I
) + m(m1 + m2
R2
m1 + m2 + RI2
m(m1 + m2 ) + RI2 (m + m1 + m2 )
m1 + m2 + RI2
m1 (2m2 +
4m1 m2 +
I
)
R2
+ m2 (2m1 +
+
I
)
R2
=
(19)
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