Tutorato di Complementi di Analisi Matematica e Statistica Formulario essenziale di Probabilità e Statistica • Probabilità - formule utili: – P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) – P (A ∩ B) = P (B|A)P (A) = P (A|B)P (B), se A e B indipendenti : P (A ∩ B) = P (A)P (B). – Se eventi Bk , k = 1..n esauriscono lo spazio campionario e Bi ∩ Bj = ∅ (i 6= j) allora: X P (A) = P (A|Bi )P (Bi ) i P (A|Bk )P (Bk ) P (Bk |A) = P i P (A|Bi )P (Bi ) (Teorema di Bayes) • Distribuzioni discrete notevoli: – Binomiale (x successi in n tentativi indipendenti con probabilità p di successo): b(x; p, n) = n! px (1 − p)n−x ; x!(n − x)! Media: np. Varianza: np(1 − p). – Poissoniana (x eventi con numero medio di eventi µ): µ −µ e ; x! b(x; µ) = Media: µ. Varianza: µ. • Distribuzioni continue notevoli: – Uniforme: u(x) = 1 , ∆ 0 ≤ x ≤ ∆; – Gaussiana: g(x; µ, σ) = √ Media: ∆/2. Varianza: ∆2 /12. (x−µ)2 1 e− 2σ2 ; 2πσ Media: µ. Varianza: σ 2 . • Parametri di distribuzioni: – Media o valore di aspettazione (µ, E[X], hXi): µ= X Z xi p(xi ); µ= x p(x)dx. i – Varianza (σ 2 , Var[X]): σ2 = X (xi − µ)2 p(xi ); σ2 = Z (x − µ)2 p(x)dx. i Formula utile per il calcolo: Var[X] = hX 2 i − hXi2 . – Covarianza (σXY , Cov[X, Y ]): Cov[X, Y ] = h(X − hXi)(Y − hY i)i = hXY i − hXihY i. • Combinazioni lineari e non di variabili aleatorie: – E[aX + bY ] = a E[X] + b E[Y ]. – Var[aX + bY ] = a2 Var[X] + b2 Var[Y ] + 2ab Cov[X, Y ]. – Cov[aX, bY ] = a Cov[X, bY ] = b Cov[aX, Y ] = ab Cov[X, Y ]. – Cov[X + Y, Z] = Cov[X, Z] + Cov[Y, Z]. Cov[X, X] = Var[X]. – se X e Y indipendenti : E[XY ] = E[X] E[Y ], Cov[X, Y ] = 0. • Parametri campionari: – Media campionaria: x̄ = – Varianza campionaria: s2 1 n P = i xi . 1 P i (xi n−1 − x̄)2 = 1 n−1 P i x2i − nx̄2 . • Intervalli di confidenza a un livello 1-α: – Media campionaria con varianza della popolazione nota: σ IC = x̄ ± z √ , n x̄: media campionaria, z: quantile gaussiana standardizzata corrispondente al CL, σ: deviazione standard, n: dimensione del campione. – Media campionaria con varianza della popolazione sconosciuta: s IC = x̄ ± tn−1 √ , n x̄: media campionaria, tn−1 : variabile t di Student con n − 1 g.d.l. corrispondente al CL, s: deviazione standard campionaria, n: dimensione del campione. • Tabelle utili per il calcolo dell’integrale gaussiano [Z standard (ovvero Z ∼ N (0, 1))]: −1 < Z −2 < Z −3 < Z −1.645 < Z −1.96 < Z −2.57 < Z <1 <2 <3 < 1.645 < 1.96 < 2.57 probabilità ' 0.683 ' 0.954 ' 0.997 0.9 0.95 0.99 Si generalizzano per una distribuzione normale X con media µ e deviazione standard σ: µ−σ µ − 2σ µ − 3σ µ − 1.645σ µ − 1.96σ µ − 2.57σ <X <X <X <X <X <X <µ+σ < µ + 2σ < µ + 3σ < µ + 1.645σ < µ + 1.96σ < µ + 2.57σ 2 probabilità ' 0.683 ' 0.954 ' 0.997 0.9 0.95 0.99