Tutorato di Complementi di Analisi Matematica e Statistica

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Formulario essenziale di Probabilità e Statistica
• Probabilità - formule utili:
– P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
– P (A ∩ B) = P (B|A)P (A) = P (A|B)P (B), se A e B indipendenti : P (A ∩ B) = P (A)P (B).
– Se eventi Bk , k = 1..n esauriscono lo spazio campionario e Bi ∩ Bj = ∅ (i 6= j) allora:
X
P (A) =
P (A|Bi )P (Bi )
i
P (A|Bk )P (Bk )
P (Bk |A) = P
i P (A|Bi )P (Bi )
(Teorema di Bayes)
• Distribuzioni discrete notevoli:
– Binomiale (x successi in n tentativi indipendenti con probabilità p di successo):
b(x; p, n) =
n!
px (1 − p)n−x ;
x!(n − x)!
Media: np. Varianza: np(1 − p).
– Poissoniana (x eventi con numero medio di eventi µ):
µ −µ
e ;
x!
b(x; µ) =
Media: µ. Varianza: µ.
• Distribuzioni continue notevoli:
– Uniforme:
u(x) =
1
,
∆
0 ≤ x ≤ ∆;
– Gaussiana:
g(x; µ, σ) = √
Media: ∆/2. Varianza: ∆2 /12.
(x−µ)2
1
e− 2σ2 ;
2πσ
Media: µ. Varianza: σ 2 .
• Parametri di distribuzioni:
– Media o valore di aspettazione (µ, E[X], hXi):
µ=
X
Z
xi p(xi );
µ=
x p(x)dx.
i
– Varianza (σ 2 , Var[X]):
σ2 =
X
(xi − µ)2 p(xi );
σ2 =
Z
(x − µ)2 p(x)dx.
i
Formula utile per il calcolo: Var[X] = hX 2 i − hXi2 .
– Covarianza (σXY , Cov[X, Y ]):
Cov[X, Y ] = h(X − hXi)(Y − hY i)i = hXY i − hXihY i.
• Combinazioni lineari e non di variabili aleatorie:
– E[aX + bY ] = a E[X] + b E[Y ].
– Var[aX + bY ] = a2 Var[X] + b2 Var[Y ] + 2ab Cov[X, Y ].
– Cov[aX, bY ] = a Cov[X, bY ] = b Cov[aX, Y ] = ab Cov[X, Y ].
– Cov[X + Y, Z] = Cov[X, Z] + Cov[Y, Z]. Cov[X, X] = Var[X].
– se X e Y indipendenti : E[XY ] = E[X] E[Y ], Cov[X, Y ] = 0.
• Parametri campionari:
– Media campionaria: x̄ =
– Varianza campionaria:
s2
1
n
P
=
i xi .
1 P
i (xi
n−1
− x̄)2 =
1
n−1
P
i
x2i − nx̄2 .
• Intervalli di confidenza a un livello 1-α:
– Media campionaria con varianza della popolazione nota:
σ
IC = x̄ ± z √ ,
n
x̄: media campionaria, z: quantile gaussiana standardizzata corrispondente al CL, σ: deviazione standard, n: dimensione del campione.
– Media campionaria con varianza della popolazione sconosciuta:
s
IC = x̄ ± tn−1 √ ,
n
x̄: media campionaria, tn−1 : variabile t di Student con n − 1 g.d.l. corrispondente al CL, s:
deviazione standard campionaria, n: dimensione del campione.
• Tabelle utili per il calcolo dell’integrale gaussiano [Z standard (ovvero Z ∼ N (0, 1))]:
−1 < Z
−2 < Z
−3 < Z
−1.645 < Z
−1.96 < Z
−2.57 < Z
<1
<2
<3
< 1.645
< 1.96
< 2.57
probabilità
' 0.683
' 0.954
' 0.997
0.9
0.95
0.99
Si generalizzano per una distribuzione normale X con media µ e deviazione standard σ:
µ−σ
µ − 2σ
µ − 3σ
µ − 1.645σ
µ − 1.96σ
µ − 2.57σ
<X
<X
<X
<X
<X
<X
<µ+σ
< µ + 2σ
< µ + 3σ
< µ + 1.645σ
< µ + 1.96σ
< µ + 2.57σ
2
probabilità
' 0.683
' 0.954
' 0.997
0.9
0.95
0.99