RAPPORTO INCREMENTALE E DERIVATA PRIMA

RAPPORTO
INCREMENTALE E
DERIVATA PRIMA
Agg 2017 - Tutorial di Paola Barberis
Come misurare la CRESCITA MEDIA di una
funzione fra due punti A e B?
A=(1;3)
B=(4;5)
Incremento orizzontale
Incr verticale
i
z
u
d
ro
t
in
e
n
o
y=f(x)
considero IL RAPPORTO FRA
l’ incremento verticale della funzione
Rispetto all’incremento orizzontale
Tale rapporto si chiama RAPPORTO INCREMENTALE
!y
incrVERTICALE
5"3 2
R.I. =
=
=
=
!x incrORIZZONTALE 4 " 1 3
RAPPORTO INCREMENTALE
IN UN PUNTO A DI ASCISSA XO appartenente al Dominio di y=f(x)
Rapporto fra
incremento di ordinata
∆y= f(xo+h) - f(xo)
e incremento di ascissa
f(xo+h)
∆x = h
!y f (x 0 + h) " f (x 0 )
=
!x
h
f(xo)
α
B
A
xo
+q
x
m
y=
∆y
α
∆x
xo+h
SIGNIFICATO GEOMETRICO
- crescita media
- coefficiente angolare m della retta secante AB;
- tg goniometrica angolo α che la retta forma con asse x
DERIVATA PRIMA : y’(xo)
IN UN PUNTO
A DI ASCISSA XO
appartenente al Dominio di y=f(x)
y=
m
x+
q
E’ il LIMITE ( se esiste )
per h che tende a zero
del Rapporto Incrementale
!y
f (x 0 + h) # f (x 0 )
lim = lim
!x"0 !x
h "0
h
y’(xo) calcolata in x0 è un numero
y’(x) è la “funzione derivata”
B
A
α
xo
xo+h
xo
SIGNIFICATO GEOMETRICO:
- CRESCITA ISTANTANEA
- coefficiente angolare m della retta TANGENTE in A
- tg goniometrica angolo α che la retta forma con asse x
DERIVATE DELLE
FUNZIONI ELEMENTARI
Derivata della FUNZIONE COSTANTE
APPLICANDO LA DEFINIZIONE
y=k
Calcolo prima il Rapporto incrementale R.I.
f(x+h) vuol dire sostituire x+h al posto di x e in questo caso,
poiché non c’è la x, rimane uguale a k: f(x+h) = k
f(x) è uguale alla funzione stessa:
f(x) = k
f (x + h) ! f (x) k ! k 0
R.I. =
=
= =0
h
h
h
Ora calcolo il limite per h che tende a zero del Rapporto Incrementale
y’(x)=
lim 0 = 0
h !0
Derivata prima
D[k]=0
REGOLA : la derivata della funzione
costante y=k è sempre ZERO
DERIVATA DELLA FUNZIONE IDENTITA’
y=x
calcolo f(x+h) sostituendo x+h alla x: f(x+h)= x+h
f(x) è uguale alla funzione stessa : f(x) = x
R.I.=
f (x + h) ! f (x) (x + h) ! (x)
=
=
h
h
x+h!x h
=
= =1
h
h
Rapporto incrementale
Calcolo il limite per h che tende a zero del Rapporto Incrementale
y’(x)=
lim1 = 1
h !0
DERIVATA
PRIMA
D[x]=1
La Derivata di y=x è y’=1
DERIVATA DELLA FUNZIONE QUADRATICA y = x
2
f(x+h)= (x+h)2 = x2+2xh+h2
f (x) = x 2
f (x + h) ! f (x) (x 2 + 2xh + h 2 ) ! (x 2 )
R.I.=
=
=
h
h
2hx + h 2 h(2 x + h)
=
= 2x + h
h
h
y’(x)= lim 2 x + h = 2 x + 0 = 2 x
h !0
analogamente ricavo:
Rapporto Incrementale
Derivata prima
D[x2]=2x
D[x3]=3x2
e
D[x4]=4x3
REGOLA generale: DERIVATA DI UNA POTENZA
y=xn
y’=nxn-1
D[xn]=nxn-1
DERIVATA DELLA radice quadrata
f (x + h) ! f (x)
R.I.=
=
h
x+h "
y’(x)= lim
h !0
h
( x+h"
lim
h! 0
h
x+h! x
h
x
0
=
0
f (x) = x
Rapporto incrementale
La forma indeterminata si toglie
razionalizzando il numeratore
x) ( x + h +
#
( x+h+
x)
x+h"x
=
x ) h( x + h + x )
h
1
1
1
lim
= lim
=
=
h !0 h( x + h +
x ) h !0 ( x + h + x ) ( x + x ) 2 x
DERIVATA della
Radice quadrata
D[ x ] =
1
2!
x
=
2x
x
DERIVATE di funzioni ELEMENTARI
y=k
y’=0
Derivata della costante isolata=0
y=x
y’=1
Derivata della funzione identità=1
y=xn
y’=nxn-1
D[potenza]=esponente*x(esp-1)
y= x
1
y = ln x
y=e
x
x
y' =
=
2 x 2x
1
y' =
x
Derivata della radice quadrata
Derivata[logaritmo in base e]=
inverso dell’argomento
y' = e x
Derivata[f.esponenziale]=se stessa
y = senx
y ' = cos x
Derivata [seno]= coseno
y = cos x
y ' = ! senx
Derivata [coseno]= meno il seno
REGOLE DI
DERIVAZIONE
REGOLE DI DERIVAZIONE
1- Derivata della somma di due o più funzioni
y = f(x)+g(x)
y' = f'(x)+g'(x)
2- Derivata del prodotto di una costante K per una funzione
y = k·f(x)
y' = k·f'(x)
3- Derivata del prodotto di due funzioni
y = f(x)·g(x)
y' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
4- Derivata del quoziente di due funzioni
f(x)
y = -------g(x)
f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)
y' = ----------------------------[g(x)]2
REGOLE DI DERIVAZIONE
1- Derivata della somma di due o più funzioni
è uguale alla somma delle D[primaf]+D[seconda]
y = f(x)+g(x)
y' = f'(x)+g'(x)
y=x !x
y = senx + x
y = 3x ! 2x
'
y = cos x + 1
y= x +x+7
y = 4x + 1+ 0
3
4
2
'
2
'
3
REGOLE DI DERIVAZIONE
2- Derivata del prodotto di una Costante K * funzione
è uguale al prodotto della costanteK*Derivata [funzione]
CostanteK=numero
y = k·f(x)
funzione
y = 2x
5
y' = k·f'(x)
y = 2i5x = 10x
'
4
y = 3x
y = 3i1 = 3
y = 7 ln x
1
7
y = 7i =
x
x
'
'
4
Prova tu : DERIVATE
DI FUNZIONI ELEMENTARI E
REGOLE DERIVAZIONE 1-2
y = 3x ! 5 x + 4 x ! 7
4
2
y = 3 x ! 5x
y = 3 ln x ! 4e
x
y = 2 cos x ! 8senx
NB: Per derivare un radicale lo trasformo in potenza
y=4 x
3
2
y = 4x
2
3
Prova tu : DERIVATE
DI FUNZIONI ELEMENTARI E
REGOLE DERIVAZIONE 1-2
soluzioni
y ' = 12 x ! 10 x + 4 ! 0
3
y = 3x ! 5 x + 4 x ! 7
4
2
y = 3 x ! 5x
3 ! 10 x
y ' = 3i
!5=
!5=
2 x
2 x
2 x
y = 3 ln x ! 4e
3
3 ! 4 xe
x
y ' = ! 4e =
x
x
1
x
3
x
y = 2 cos x ! 8senx y' = !2senx ! 8 cos x
NB: Per derivare un radicale lo trasformo in potenza
y=4 x
3
2
y = 4x
2
3
2
1
2 3 "1 8 " 3
8
8
y'= 4 ! x = x = 1 = 3
3
3
3 x
3
3x
REGOLE DI DERIVAZIONE
Derivata del PRODOTTO di due funzioni è uguale alla
D[primaf]*(seconda)+(primaf)*D[seconda]
y = f(x)·g(x)
y' = f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
y = (x 2 + 3) ! (5x " 1)
f
g
y' = D !" x 2 + 3#$i(5x % 1) + (x 2 + 3)iD [ 5x % 1]
(
)
y' = ( 2x + 0 )i( 5x % 1) + x 2 + 3 i( 5 )
y' = 10x 2 % 2x + 5x 2 + 15
y' = 15x 2 % 2x + 15
REGOLE DI DERIVAZIONE
La derivata del QUOZIENTE fra due funzioni è uguale al rapporto fra:
D[primaf]*(seconda)
- (primaf)*D[seconda]
Denominatore
al Quadrato
f(x)
f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x)
y= ----- y'= --------------------------g(x)
[g(x)]2
y=
( x + 5)
(x
2
+4
)
y' =
D [ x + 5 ] • (x 2 + 4) ! ( x + 5 ) • D "# x 2 + 4 $%
(x
2
+4
)
+4
)
2
=
1 + 0 ] • (x 2 + 4) ! ( x + 5 ) • [ 2x + 0 ] x 2 + 4 ! 2x 2 ! 10x
[
=
=
=
(x
=
!x 2 ! 10x + 4
(x
2
+4
)
2
2
2
(x
2
+4
)
2
N.B.
Non svolgere calcoli al
denominatore: si lascia scomposto
Prova tu : DERIVATE
DI FUNZIONI ELEMENTARI E
REGOLE DERIVAZIONE 3-4
DERIVATA DEL PRODOTTO
y = (3x 4 ! 5x)i(x ! 3)
y = x 3 iln x
DERIVATA DEL QUOZIENTE
x ! 4x
y=
x+5
2
cos x
y=
senx
Prova tu : DERIVATE
DI FUNZIONI ELEMENTARI E
REGOLE DERIVAZIONE 3-4
soluzioni
DERIVATA PRODOTTO
y = (3x ! 5x)i(x ! 3)
4
y' = [12x !10 ](x ! 3)+ (3x ! 5x)" [1! 0 ] =
4
= 12x ! 36x !10x + 30 + 3x ! 5x = +3x +12x ! 51x + 30
2
4
4
2
!1#
y ' = !" 3x #$ % ln x + x % & ' = 3x 2 ln x + x 2
"x$
y = x 3 iln x
2
3
DERIVATA QUOZIENTE
x ! 4x
y=
x+5
2
cos x
y=
senx
2
2
2
2x
!
4
&(x
+
5)!(x
!
4x)&
1+
0
2x
+10x
!
4x
!
20!
x
+
4x
x
+10x ! 20
[
]
"# $%
y' =
=
=
2
2
(x + 5)
(x + 5)
(x + 5)2
2
!senx ] " senx ! cos x " [ cos x ] !sen 2 x ! cos2 x
[
y' =
=
(senx)2
(senx)2
DERIVATA DELLA
FUNZIONE COMPOSTA
y = g(f(x))
! y = g(z)
"
# z = f (x)
Funzione COMPOSTA
y = g(f(x))
! y = g(z)
"
# z = f (x)
La funzione composta y=g(f(x)) o g°f ( leggi g composto f)
è formata dalla composizione di due funzioni:
Una funzione ESTERNA chiamata g: y=g(z)
Una funzione INTERNA chiamata f : z=f(x)
esempi
!y = z2
2
Funzione esterna
y = ( x + 5 ) è composta da : "
potenza
#z = x + 5
"
$y = z
y = 3x ! 4 è composta da : #
$
% z = 3x ! 4
! y = ln z
y = ln(2x + 4) è composta da : "
# z = 2x + 4
Funzione esterna
Radice quadrata
Funzione esterna
Logaritmo naturale
(base e=2,71..)
REGOLA:Derivata Funzione COMPOSTA
y = g(f(x)) -->
y' = g’(f(x))·f’(x)
1-Derivare la funzione ESTERNA g (ricopiando Funz Interna f)
2-moltiplicare per Derivata D[Funzione Interna f] = f’(x)
Esempio:
y = (4 x ! 2)
3
Derivo la funzione
esterna POTENZA
ricopiando contenuto
Funzione esterna potenza
Derivo la funzione interna
cioè D[4x-2]
y' = 3(4x ! 2) • (4 ! 0) = 12 "(4x ! 2)
2
2
ESEMPI Derivata
1)
y = (senx + 3x)
Funzione COMPOSTA
5
Derivo la funzione esterna
POTENZA (ricopio contenuto)
Derivata della f interna cioè D[senx+3x]
y' = 5(4x ! 2) • D [ senx + 3x ] = 5(4x ! 2) "(cos x + 3)
4
4
Svolgo derivata
Indico calcolo derivata
2) y =
x +5
2
Derivo la funzione esterna
RADICE Q (ricopio contenuto)
y' =
1
2 x + 5x
2
• D !" x + 5x #$ =
2
Indico calcolo
derivata
Derivata della f interna
1
2 x + 5x
2
• (2x + 5) =
Svolgo
derivata
2x + 5
2 x + 5x
2
ESEMPI Derivata
Funzione COMPOSTA
3) y = ln(5x ! 4)
3
Derivo la funzione esterna
LOGARITMO BASE e
Derivata della f interna
2
1
1
15x
3
2
y' = 3 • D "# 5x ! 4 $% = 3 • (15x ! 0) = 3
5x ! 4 Indico calcolo derivata 5x ! 4 Svolgo derivata 5x ! 4
4) y = sen(x 4 + 6x)
Derivata della f interna
Derivo la funzione esterna
SENO
y' = cos(x ! 6x)• D "# x ! 6x $% = cos(x ! 6x)• (4xSvolgo
! 6) =
Indico calcolo D
derivata
3
4
= (4x ! 6)&cos(x ! 6x)
4
4
4
3
PROVA TU… :
DERIVATA FUNZIONE COMPOSTA
a)
y = ( x ! 5x )
b)
y=
4
2 4
x + 5x
2
c)
y = ln( x ! 4 x + 6)
d)
y = cos( x ! 9 x)
3
3
SOLUZIONI Prova tu :
a)
y = ( x ! 5x )
4
2 4
DERIVATA FUNZIONE COMPOSTA
y ' = 4(x 4 ! 5x 2 )3 • (4 x 3 ! 10x) =
= 4(x 4 ! 5x 2 )3 (4 x 3 ! 10x)
1
y' =
c)
y = ln( x ! 4 x + 6)
1
3x ! 4
2
y' = 3
• (3x ! 4 + 0) = 3
x ! 4x + 6
x ! 4x + 6
d)
y = cos( x 3 ! 9 x)
y' = !sen(x ! 9x) • (3x ! 9) =
b)
2 x 2 + 5x
• (2 x + 5) =
2x + 5
y = x + 5x
2
2 x 2 + 5x
2
3
3
2
= !(3x 2 ! 9) " sen(x 3 ! 9x)
WORK IN PROGRESS
SIGNIFICATO GEOMETRICO DEL RAPPORTO INCREMENTALE
!y
R.I. =
!x
B
+2
A
+3
!x = h
!y = ordinataB" ordinataA
Incremento verticale
Incremento orizzontale
Considero la RETTA SECANTE AB di equazione y=mx+q
il coefficiente angolare m della retta passante per due punti
si trova con la formula
yB ! yA
m=
xB ! xA
che è uguale al rapporto incrementale!
In questo caso la retta AB ha pendenza m=2/3
RAPPORTO INCREMENTALE:
FORMULA CON COORDINATE GENERICHE
e
n
zio
B= (x0+h;f(x0 +h))
u
d
ro
t
in
A=(x0;f(x0))
!y = ordinataB" ordinataA
!x = h
Incremento verticale
R.I. =-------------------------------- =
Incremento orizzontale
!y f (x0 + h) " f (x0 )
=
!x
h
CRESCITA MEDIA di una funzione fra due punti A e B
zi
u
d
ro
t
in
B=(4;5)
e
n
o
A=(1;3)
+2
+3
!x = h
!y = ordinataB" ordinataA
Incremento verticale
Incremento orizzontale
Incremento verticale
RAPPORTO INCREMENTALE =--------------------------------=
Incremento orizzontale
5-3
+2
RAPPORTO INCREMENTALE =-----------= -- = 2/3
4-1
+3