LICEO SCIENTIFICO E MUSICALE “G.B. GRASSI”
LECCO
CLASSE III M
INDICAZIONI DI LAVORO PER LA SOSPENSIONE DEL GIUDIZIO
IN MATEMATICA
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In relazione alle esigenze del quinto anno di corso, si segnala la necessità di una soddisfacente conoscenza di
tutti i contenuti del programma di seguito indicato. Durante il periodo estivo sarà quindi indispensabile
procedere con un attento lavoro di revisione. Tale revisione dovrà essere condotta sia sulla teoria, sia
sull'applicazione, tramite lo svolgimento di esercizi e problemi. Poniti l’obiettivo di assimilare i contenuti
indicati, curando con particolare attenzione il linguaggio utilizzato e la chiarezza dell’esposizione. A fine
agosto dovrai sostenere una prova scritta (sugli argomenti indicati) per stabilire se hai colmato le lacune nella
tua preparazione.
PROGRAMMA
La parabola
La parabola e la sua equazione, determinare l'equazione di una parabola, posizioni relative tra retta e
parabola, rette tangenti a una parabola.
Equazioni di secondo grado
Le equazioni di secondo grado, la scomposizione di un trinomio di secondo grado, problemi di secondo
grado.
Disequazioni di secondo grado
Le disequazioni, il segno di un trinomio di secondo grado, la risoluzione delle disequazioni di secondo grado
intere.
Circonferenza
La circonferenza e il cerchio, i teoremi sulle corde, angoli al centro e angoli alla circonferenza, la
circonferenza e la sua equazione, posizioni relative tra retta e una circonferenza, le rette tangenti.
Ellisse
L'ellisse come luogo geometrico, l'equazione dell'ellisse, posizioni relative tra retta e una ellisse, le rette
tangenti ad una ellisse.
Iperbole
L'iperbole come luogo geometrico, l'equazione dell'iperbole, posizioni relative tra retta e una iperbole, le
rette tangenti ad un'iperbole.
Goniometria
Definizione delle funzioni goniometriche elementari, relazione goniometrica fondamentale.
ESERCIZI
Trovi esercizi da svolgere di livello adeguato alla fine dei capitoli del tuo libro di testo corrispondenti agli
argomenti prima elencati.
ESERCIZI SUPPLEMENTARI
1) Dimostrare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado.
2) Definire la parabola come luogo geometrico.
3) Dimostrare l’equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse delle ordinate e con
vertice nell’origine.
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4) Disegnare le parabole di equazione: y=
−1 2
x −3 ,
3
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2
y=3 x −2 x+1 .
5) Ricava l’equazione e disegna la parabola con F(2,1) e d: y=3 .
6) Scrivere l’equazione della parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate, con vertice
nel punto V (1,-2), passante per il punto A (0,-1).
7) Risolvere le seguenti equazioni di secondo grado:
a.
x 2−√ 5 x +2=0
2
b.
x −3 x+2=0
2
c.
3 x + 4 x−4=0
1
x ( x +3 ) +1= (1+ x )2−2 x 1+ x
d.
2
2
e.
2 x =8(x−1)
(
)
8) Risolvere le seguenti equazioni, equazioni letterali e disequazioni:
a.
2
( 2x+1)( x+3 ) x
3
1
5
x+ x 2 + x =
+
8
2
4
4
8
(
)
2
b.
x(2x −3 )
(2x−3)
=x−3+
8
8
c. ( x+6)2 +(x−6)2=72
2
d. 2x +1 = 3−x + 2x
x+1
x ( x+1) ( x+1)2
e. x2 +3k 2 =0
f. 5k 2 x 2−125k 3 =0
g.
1
1
x−1
x− (2− x)>
2
3
6
3
4
5
8
h. x2 + x− ⩾0
9) Risolvere i seguenti problemi di secondo grado:
a. Un rettangolo è inscritto in una circonferenza di raggio 12 cm e il suo perimetro è di 336/5 cm.
Determinare i lati del rettangolo.
b. In un trapezio rettangolo la base maggiore supera di 24 cm la minore. L'altezza è i 3/5 della base
minore e l'area è di 324 cm2. Determinare la lunghezza delle basi.
c. Sommando a 7 il triplo di un numero intero si ottiene 55. Qual è il numero?
d. In una frazione il denominatore supera di 5 il numeratore. Trova la frazione sapendo che
sommandola con la sua reciproca si ottiene 53/14.
e. Stabilisci due numeri la cui somma è 20 e il cui prodotto è 96.
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f. Individua due numeri la cui somma è 15 e tali che, se si aumenta il primo di 1/2 e il secondo di 1/3
il prodotto è 125/2.
g. Determina l'area di un triangolo isoscele che ha il perimetro di 250 cm e l'altezza di 75 cm.
h. Un rettangolo, di area 36a2, ha un lato che supera l'altro di 5a. Calcola il perimetro del rettangolo e
l'area del quadrato costruito sulla diagonale del rettangolo.
i. Due amici abitano nella stessa via in numeri civici diversi. La somma dei due numeri è uguale a
42. Il numero di uno è al numero dell'altro elevato al quadrato. In quali numeri civici abitano i due
amici?
10) Risolvere i seguenti problemi di secondo grado:
x− y=2
a.
b.
c.
d.
e.
{}
(
4 ( x +2)2 +3 y−
16 2
x =0
3
)
2
x −3 xy=3 x
y x
− =1
4 2
{}
{}
{}
{}
3 x−3 y=12
2 x (x + 4 y )−12(1+3 y)−x+ y=−12 y 2−8 x
2
2
x + y =39
x+ y=−√ 3
3
4
x+ y=2
xy=
11) Risolvere le seguenti disequazioni:
[
]
a.
1
6−x
2 x+ (1−2 x) ⩽−x +
2
2
b.
2 x (3 x +1)( x+5)(2−x)>0
c.
9 x 2−25<0
d.
x + 9 x ⩽0
e.
x 2−2 x −8>0
f.
x +10 x +34< 0
g.
81 x2 +18 x +1⩽0
2
2
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2
1
1
3
⩾ x+
2
2
2
h.
( ) ( )
i.
2
5
4 x2 −2 x 2
x2 2 4
( x 2− x+ 1) +
+ 1+ − >
3
3
5
3
3
5
3 5
j.
(
x−
k.
(
( x −3)( x −1)
x2 −5
2−x
x +1
−
2−
<(x−2)2−
2
3
2
2
l.
(2 x+1)(x−6)<0
m.
4 x 2−49⩽0
n.
x −3 x⩽0
o.
−3 x +7 x−2⩾0
p.
7
2
x −2 x + < 0
4
q.
√ 2 x 2−8 x−24 √2⩽0
r.
x2 x
x
(x+ 1) − > 4−
8 2
4
s.
2
5
4 x2 −2 x 2
x2 2 4
( x 2− x+ 1) +
+ 1+ − >
3
3
5
3
3
5
3 5
t.
x+
( )
1
√3
)(
x+
1
x
2
1
−6
−
>
√3
√6 27 9
) (
)
) [( ) ( )]
2
2
( )
2
( )
x
4
3
( 1−x )− x 2 +
+
5
5
16
(
)
x−
5 1
− x
16 3
<0
1
3
12) Enunciare il teorema degli angoli al centro e angoli alla circonferenza e dimostrarlo.
13) Definire l'ellisse come luogo geometrico e ricavarne l'equazione.
14) Indicare quali delle seguenti equazioni corrispondono a una circonferenza e in caso
affermativo rappresentarla graficamente dopo aver determinato le coordinate del centro e il
raggio.
a. x 2+ y 2+ xy =x (4+ y)
b. x 2+ y 2−x=0
c. −2 x 2−2 y 2=x−2 y
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15) La retta di equazione x+ y+ 4=0 interseca la circonferenza x 2+ y 2+6 x−4 y + 4=0 nei
punti A e B. Calcola la misura della corda AB.
16) Stabilire la posizione della retta 2 x −9 y−17=0 rispetto all'ellisse 4 x 2 +21 y 2=85 e, nel
caso in cui non sia esterna, determinare le coordinate dei suoi punti di intersezione.
17) Sia γ la parabola di equazione y=x 2−3 x +2 , sia P il punto appartenente a γ di ascissa
x P=−1 . Determinare l'equazione della retta tangente a γ passante per P.
3
18) Condurre dal punto P 6,−
le tangenti all'ellisse di equazione x 2+4 y 2=9 .
2
(
)
19) Trovare le equazioni delle rette tangenti all'iperbole di equazione 4 x 2−9 y 2=20 nei suoi
punti di intersezione con la retta x−5=0 .
20) Sia AB il diametro di una circonferenza. Sia C un punto qualsiasi della circonferenza
(distinto da A e da B). Dimostrare che il triangolo ABC è rettangolo.
21) Definire la circonferenza come luogo geometrico e ricavarne la sua equazione.
22) Indicare se le seguenti equazioni corrispondono a una circonferenza e in caso affermativo
rappresentarla graficamente dopo averne determinato le coordinate del centro e il raggio.
a.
b.
2
2
x + y +1=0
x 2+ y 2+2 x=0
23) La retta di equazione y=−x interseca la parabola y=x 2−x−1 nei punti A e B.
a. Calcolare le coordinate di tali punti.
b. Calcola la misura della corda AB.
24) Data l'ellisse di equazione x 2+3 y 2=36 :
a. Calcolare le coordinate del suo punto P di ascissa 3 appartenente al primo quadrante.
b. Condurre da P la tangente all'ellisse.
