Programma del corso

Corso di laurea in Ingegneria edile-architettura U.E.
A.A.2010/2011
Programma di analisi matematica I
Prof. F.Ciocci
Richiami di matematica elementare:
Le potenze. Equazioni e disequazioni di primo e secondo grado; sistemi di disequazioni.
Rappresentazione grafica di un punto su una retta, le piano e nello spazio.
I logaritmi:
Definizione e proprietà.
Elementi di teoria degli insiemi:
. Simboli di logica matematica. Nozione di insieme e sottoinsieme. Operazioni tra insiemi:unione,
intersezione, differenza, prodotto cartesiano. Definizione di funzione.
Insiemi numerici:
Definizione di insieme dei numeri naturali, interi e razionali
Insiemi di numeri reali: Operazioni. Insiemi limitati, massimi e minimi. Intervalli. Intorni, punto
isolato e punti di accumulazione. Assioma di completezza.
Numeri complessi:
Definizioni. Definizione del numero complesso in R2 .Operazioni elementari. Rappresentazione
geometrica e trigonometrica dei numeri complessi. Forma esponenziale:formula di Eulero.
Richiami di trigonometria:
Principali grandezze trigonometriche: seno, coseno, tangente, cotangente secante e cosecante.
Relazione trigonometrica fondamentale e principali relazioni tra grandezze trigonometriche.
Proprietà delle funzioni trigonometriche(s.d.): formule di addizione e sottrazione, formule di
duplicazione, formule di bisezione, formule di prostaferesi.
Successioni:
Successioni numeriche: definizione, successioni limitare superiormente, inferiormente; successioni
non decrescenti, non crescenti, crescenti e decrescenti. Il fattoriale. Sottosuccessioni.
La disuguaglianza triangolare(c.d.).
Convergenza di successioni numeriche: definizione; teorema di unicità del limite(c.d.), teorema dei
carabinieri(c.d.), successioni di Cauchy e teorema sulla convergenza delle successioni di
Cauchy(s.d.).
Serie numeriche:
Definizioni, convergenza della serie. Serie geometrica(c.d.), serie telescopica(c.d.) e serie di
Mengoli(c.d.). Teorema di linearità
Criteri di convergenza per le serie numeriche:
Condizione necessaria di convergenza.
Serie numeriche a termini positivi: condizione generale di convergenza. Criterio del confronto(c.d.),
serie armonica(s.d.). Criterio della radice (o di Cauchy) (c.d.). Criterio del rapporto (o di
d’Alembert) (s.d.).
Criterio di convergenza per serie numeriche con termini di segno qualsiasi: convergenza
assoluta(s.d.). Criterio di Leibniz per serie con termini a segni alterni(s.d.).
Esempi di applicazione dei criteri di convergenza: serie armonica generalizzata e serie di potenze.
Funzioni di una variabile:
Ancora sul concetto di funzione. Rappresentazione geometrica: grafico. Funzione suriettiva,
iniettiva, biunivoca. Funzione composta.
Proprietà delle funzioni:
Segno e zeri di una funzione. Funzione pari, dispari, funzione periodica. Funzioni limitate
superiormente, inferiormente e limitate. Minimi e massimi relativi e assoluti.
Le funzioni elementari e i rispettivi domini:
funzioni algebriche: razionali e irrazionali;
funzioni trascendenti: trigonometriche esponenziali logaritmiche e le funzioni iperboliche.
. Funzioni inverse
Limiti di funzioni di una variabile:
Definizioni. Teorema ponte (s.d.).Esempi di calcolo dei limiti: area del cerchio (c.d.), sin(x)/x (c.d.).
.Teorema della permanenza del segno(s.d.) . Teorema del confronto(c.d.). Limite all’infinito di
funzioni razionali (c.d.). Limite destro e sinistro. Infinitesimi e infiniti, ordine di infinitesimo.
Limiti notevoli. Asintoti.
Continuità di una funzione:
Definizioni. Continuità da destra, da sinistra. e proprietà. Esempi di funzioni continue.
Punti di discontiniutà di una funzione: discontinuità eliminabile, discontinuità di prima e di seconda
specie.
Teorema di esistenza degli zeri (s.d.). Teorema dei valori intermedi (c.d.). Relazione tra monotonia
e invertibilità di una funzione continua (s.d.). Teorema di Weierstrass (s.d.). Definizione di rapporto
incrementale.
Nozioni di calcolo differenziale per le funzioni di una variabile:
Il concetto di derivata di una funzione. Interpretazione geometrica della derivata, equazione della
retta tangente ad una curva. Regole di derivazione per alcune funzioni algebriche elementari (c.d.),
in particolare f ( x)  x n e significato del binomio di Newton.
Approssimazione lineare. Derivata di funzione composta (c.d.). Regole di derivazione (c.d.):
derivata della somma, del prodotto e del rapporto di due funzioni. Derivazione di funzioni
trigonometriche esponenziali e logaritmiche(c.d.).
Derivata destra e sinistra di una funzione. Punti di non derivabilità: flessi verticali, punti angolosi e
cuspidi. Teorema di Fermat(s.d.), Teorema del valor medio o di Lagrange(s.d.), Teorema di
Rolle(s.d.). Massimi e minimi relativi. Forme indeterminate: teorema di de L’ Hòpital (c.d.).
Derivate successive. Concavità e convessità, punti di flesso.
Differenziabilità di funzioni in una variabile; differenziale di una funzione.
Studio di funzione.
Polinomio di Taylor (c.d.); teorema di Peano(s.d.), dimostrazione della formula di Eulero.
Elementi di calcolo integrale per le funzioni di una variabile:
Il concetto di integrale definito.Integrale di Riemann. Teorema della media(s.d.). Definizione di
funzione integrale. Proprietà dell’integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale: primitiva
di una funzione(c.d.). Integrale indefinito. Calcolo diretto di alcuni integrali indefiniti. Integrazione
per parti(c.d.). Integrazione per sostituzione(c.d.). Integrazione definita per parti e per sostituzione.
Calcolo degli integrali. Integrazione di funzioni razionali: funzioni razionali proprie e improprie e
riduzione del calcolo di integrali di funzioni razionali improprie a integrali di funzioni algebriche e
di funzioni razionali proprie. Integrazione di funzioni razionali proprie con denominatore di primo e
di secondo grado. Scomposizione di una funzione razionale propria e integrazione di funzioni
razionali con denominatore di grado n qualsiasi.
Integrali impropri: definizioni, criteri di convergenza:criterio del confronto e del confronto
asintotico per funzioni di segno costante(s.d.), assoluta integrabilità in senso improprio per funzioni
né negative né positive.
Nota:
c.d. = con dimostrazione
s.d. = senza dimostrazione