Analisi1_99-00

001/978
A.A. 1999/2000
UNIVERSITA' DEGLI STUDI DI TRIESTE
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CORSO DI LAUREA
INGEGNERIA per l'AMBIENTE, CIVILE,
MECCANICA, NAVALE, EDILE
PROGRAMMA DEL CORSO DI
DOCENTE
ANALISI MATEMATICA I
Gino TIRONI
Insiemi: nozioni generali. Operazioni e loro proprietà. Complementare. Ripartizioni.
Nozioni fondamentali sulle applicazioni. Inversa. Insieme prodotto di un numero
finito di insiemi. Relazioni binarie. Equivalenze, insieme quoziente; definizioni per
astrazione ed esempi. Relazione d'ordine. Elemento minimale, massimale, minorante,
maggiorante.
Calcolo combinatorio: numero degli elementi dell'insieme prodotto. Combinazioni;
formula di Newton; numero dei sottoinsiemi di un insieme finito; triangolo di
Tartaglia. Permutazioni, disposizioni, disposizioni con ripetizione. Formula di
Leibniz.
Numeri reali: numeri naturali e principio d'induzione. Unicità della divisione.
Notazione in base qualunque. Nozioni algebriche: gruppo, anello e corpo. Estensioni
numeriche. Introduzione dei razionali Q. Definizione di numero reale. Sezioni del
corpo razionale. Relazione d'ordine. Densità di Q in R. Continuità del campo reale.
Operazioni in R. Estremo superiore: esistenza e unicità. Classi separate e contigue.
Teorema di Cantor. Scrittura decimale. Punti di accumulazione e teorema di BolzanoWeierstrass.. Nozioni di intorno, insiemi aperti, chiusi, punti aderenti, chiusura,
frontiera, punti di accumulazione, interni, esterni, isolati in R. Successioni a valori in
R. Insiemi connessi. Cenni alla potenza o cardinalità di un insieme e confronto.
Insiemi numerabili e più che numerabili. Numerabilità di Q.
Numeri complessi. Numeri complessi come coppie di numeri reali. Regole di
addizione e di moltiplicazione. Coniugio. Forma trigonometrica dei numeri complessi.
Formule d’Eulero. Formule di De Moivre. Radici n-esime di un numero complesso.
Funzioni: definizione. Grafico. Operazioni: anello delle funzioni reali. Restrizione,
composizione. Funzioni monotone, successioni, funzioni periodiche, pari, dispari,
razionali, trigonometriche e loro inverse. Polinomi: radici, principio d’identità in
forma forte. Esistenza e unicità dei polinomi interpolanti, coefficienti di Lagrange.
Funzioni continue in un punto e su un sottoinsieme di R, a valori reali. Criteri di
continuità: inversa, reciproca. Compattezza di sottoinsiemi di R; compattezza
sequenziale. Teoremi fondamentali: di compattezza, di Weierstrass, di connessione.
Limite di una funzione; caso delle successioni. Unicità, permanenza del segno.
Teorema di Cauchy (sd). Limite delle successioni monotone. Limiti di somme,
prodotti, inverse, composte. Limiti di funzioni razionali e principio di identità dei
polinomi in forma debole. Il limite di (sen x)/x per x che tende a 0. Limite per le
funzioni monotone (sd). Potenza con esponente reale. Proprietà formali. Funzione
esponenziale e sue proprietà; sua inversa: logaritmo. Limiti notevoli. Il numero e.
Infiniti ed infinitesimi: definizioni; confronto, relazione d'equivalenza e d'ordine.
Ordini d'infinito e d'infinitesimo. Relazioni con le operazioni. Principio di
sostituzione. Ordini reali, soprareali, sottoreali, infrareali.
Derivate: concetto e definizione: continuità delle funzioni derivabili. Derivata di
somme, prodotti, ecc. Derivata delle funzioni composte ed inverse e derivazione delle
funzioni elementari. Significato geometrico. Proprietà locali e legami con la derivata
(crescenza, massimi relativi, ecc.). Crescenza in un intervallo e nei suoi punti.
Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange e loro conseguenze. Teorema sul limite della
derivata e teorema di L'Hôpital. Legame fra derivazione e ordine d'infinitesimo.
Approssimante lineare e concetto di differenziale. Approssimazioni locali mediante
polinomi: formule di Taylor-Peano e di Taylor-Lagrange: loro applicazioni. Concavità
e convessità in un intervallo e in un punto, punti di flesso: legame con le derivate.
Studio di funzioni.
Integrali: Somme inferiori e somme superiori. Integrale secondo Riemann. Integrali
su intervalli orientati. Condizioni d'integrabilità. Integrabilità delle funzioni monotone
e delle funzioni continue. Additività sul dominio. Linearità dell'integrale. Teorema
della media. Nozione di continuità uniforme e teorema di Heine (solo enunciato).
Funzione integrale: sua continuità e derivabilità. Calcolo d'integrali di funzioni
continue per mezzo delle primitive. Integrazione per sostituzione, per parti.
Integrazione di funzioni razionali: esempi. Cenno agli integrali generalizzati su
domini illimitati. Criteri legati all’ordine di infinitesimo.
ESERCITAZIONI: data la natura dell'insegnamento, sono previste esercitazioni
teoriche in numero mediamente pari al numero delle lezioni.
TESTI CONSIGLIATI: conformemente al programma su esposto si suggerisce la
consultazione dei testi seguenti:
M. Dolcher, "Elementi di Analisi Matematica", vol. I, II, Edizioni Lint;
M. Trombetta, "Calcolo Combinatorio", Edizioni Liguori.
R. Isler e G. Tironi, "Esercizi di Analisi Matematica I", Edizioni Goliardica, 1999.