8. Calcolo integrale. - Alberto Ratti Claris

Politecnico di Milano - Facoltà di Architettura – Corso di Laurea in Edilizia
Istituzioni di Matematiche - Appunti per le lezioni - Anno Accademico 2010/2011
8. Calcolo integrale.
8.1. Significato geometrico dell’integrale definito.
•
Data una funzione y = f(x) definita, continua e positiva in
un intervallo [a , b] , tracciando le rette x = a ed x = b
otteniamo una figura chiusa chiamata trapezoide. Dividiamo
l’intervallo in n parti ∆x 1, ∆x 2 ,L , ∆xn non necessariamente
uguali.
Poiché la funzione è continua in [a , b] sarà continua anche
in ognuno degli intervalli e quindi in ognuno ha un massimo
e un minimo assoluto.
Indichiamo con
xm;1, xm; 2 ,L , xm; n
l’ascissa del minimo assoluto in ogni intervallo parziale,
con
f ( xm;1), f ( xm; 2),L , f ( xm; n )
l’ordinata corrispondente, con
xM ;1, xM ; 2 ,L , xM ; n
l’ascissa del massimo assoluto in ogni intervallo parziale,
con
f ( xM ;1), f ( xM ; 2 ),L , f ( xM ; n )
l’ordinata corrispondente, con
Ω1 = f ( xM ;1) − f ( xm;1), Ω 2 = f ( xM ; 2) − f ( xm; 2 ),L , Ωn = f ( xM ; n ) − f ( xm; n )
l’oscillazione della funzione in ognuno degli intervalli.
Per ognuno dei punti della curva di ordinata minima
conduciamo la parallela all’asse delle x: otteniamo una
figura che chiamiamo scaloide inscritto nel trapezoide e la
cui area è
Si = f ( xm;1) ∆x 1 + f ( xm; 2 ) ∆x 2 +L f ( xm; n) ∆xn .
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Allo stesso modo se per i punti di ordinata massima
tracciamo la parallela all’asse delle x otteniamo una figura
detta scaloide circoscritto la cui area è
Sc = f ( xM ;1) ∆x1 + f ( xM ; 2 ) ∆x 2 +L f ( xM ; n ) ∆xn .
Per come abbiamo costruito le aree è evidente che, detta S
l’area del trapezoide è:
Si ≤ S ≤ Sc .
Le possibili divisioni di [a , b] sono infinite e infinite sono
anche le coppie di scaloidi inscritti e circoscritti, le cui aree
variano al variare della suddivisione e sono quindi funzione
di essa e del maggiore degli intervalli che chiamiamo ∆xn ,
chiamando le aree Si ( ∆xn ) e Sc( ∆xn ) .
Se al tendere a zero di ∆xn le funzioni tendono allo stesso
limite S , area del trapezoide, la funzione y = f(x) si dice
integrabile nell’inervallo [a , b] e tale limite viene chiamato
integrale definito della funzione y = f(x) nell’intervallo
[a, b] ed indicato col simbolo:
b
∫ f ( x)dx
a
che viene letto: ”integrale tra a e b di f(x)dx.
- a è l’estremo inferiore di integrazione
- b è l’estremo superiore di integrazione
- f(x) è la funzione integranda.
•
Se la funzione è sempre positiva tutti i prodotti f(x)dx sono
positivi e positiva quindi sarà anche la somma, cioè
b
∫ f ( x)dx > 0
a
l’integrale esprime quindi in valore e segno l’area del
trapezoide.
•
Se la funzione è sempre negativa tutti i prodotti f(x)dx sono
negativi e negativa quindi sarà anche la somma, cioè
b
∫ f ( x)dx <0 .
a
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L’area del trapezoide in questo caso è:
b
b
a
a
∫ f ( x )dx = − ∫ f ( x)dx
S=
• Se in [a , b] la funzione si annulla, data la continuità della
funzione stessa, sarà finito il numero di punti di zero.
Supponendo che la funzioni si annulli nel punto x=c,
positiva per a ≤ x < c e negativa per c < x ≤ b , allora l’area
del trapezoide è:
S=
∫
c
b
f ( x )dx − ∫ f ( x )dx .
a
c
8.2. Funzione integrale.
• Data la funzione y = f(x), continua in [a , b] , sia t l’ascissa di
un punto generico dell’intervallo. L’espressione
t
∫ f ( x)dx = S (t )
a
che indica l’area del trapezoide di confine t è una funzione
di t.
Per t = a è
a
S (a ) =
∫ f ( x)dx = 0
S (b) =
∫ f ( x)dx = S
a
e per t = b è
b
a
Scelto un numero h positivo piccolo a piacere tale che t + h
sia interno all’intervallo e che nell’intervallo [t ; t + h] la
funzione sia monotona risulta:
h ⋅ f ( t ) < S ( t + h) − S ( t ) < h ⋅ f ( t + h)
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Dividendo per il numero positivo h diviene
f (t ) <
s( t + h ) − S ( t )
< f ( t + h) .
h
Dato che la funzione è continua in tutto l’intervallo è per
definizione
lim f (t + h) = f (t )
h→0
e quindi per il teorema del confronto è anche
lim
S ( t + h) − S ( t )
= f (t )
h
h→0
Ma per definizione di derivata è
S ' (t ) = f (t )
cioè:
la derivata della funzione integrale in un punto è uguale al
valore che la funzione assume in quel determinato punto.
Questo è il teorema generale del calcolo integrale detto di
Torricelli(1608-1647)-Barrow(1630-1677): Torricelli vi
arrivò per via cinematica, Barrow geometrica.
Generalizzando quindi è
S ' ( x) = f ( x) .
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8.3. Funzioni primitive.
• La precedente relazione ci permette di risolvere, a meno di
una costante, il problema della ricerca della funzione S(x),
integrale definito funzione del suo estremo superiore.
Possiamo quindi scrivere:
b
S ( x ) = ∫ f ( x )dx = F ( x ) + c
a
dove c è una costante.
Le infinite funzioni F(x) + c costituiscono l’insieme delle
primitive della funzione integranda data.
• Essendo:
x
∫ f ( x)dx = F ( x) + c
a
possiamo scrivere:
b
per x = b:
∫ f ( x)dx = F (b) + c
a
a
per x = a:
∫ f ( x)dx = F (a) + c
a
Sottraendo membro a membro e ricordando che
a
∫ f ( x)dx = 0
a
si ottiene:
b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a)
a
cioè: l’integrale definito è uguale
al valore che una
primitiva assume nell’estremo superiore diminuito del
valore che la stessa primitiva assume nell’estremo inferiore
di integrazione.
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8.4. Proprietà dell’integrale definito.
• Invertendo gli estremi di integrazione l’integrale cambia di
segno:
∫
b
a
•
a
f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx
b
La somma di due o più integrali aventi la stessa funzione
integranda e tali che l’estremo superiore di uno di essi sia
uguale all’estremo inferiore del successivo è un integrale
che ha per funzione integranda la stessa funzione, per
•
estremo inferiore di integrazione il minore degli estremi e
per estremo superiore il maggiore degli estremi:
∫
b
a
•
d
d
b
c
a
La somma di due o più funzioni aventi gli stessi stremi di
integrazione è uguale ad un integrale che ha per funzione
integranda la somma delle funzioni integrande:
∫
b
a
•
c
f ( x )dx + ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x )dx
b
f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx =
a
b
∫ [ f ( x ) ± g( x)]dx
a
L’integrale del prodotto di una costante per una funzione è
uguale alla costante per l’integrale della funzione:
∫
b
a
b
k ⋅ f ( x )dx = k ∫ f ( x )dx
a
8.6. L’integrale indefinito e regole di integrazione.
• Definiamo integrale indefinito di una funzione, detta
integranda, la funzione, detta primitiva, nota a meno di una
costante, che ha per derivata la funzione integranda.
• Per l’integrale indefinito valgono le regole esposte
precedentemente riguardanti l’integrale definito.
• Sono evidenti i seguenti i integrali immediati:
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•
∫
•
∫ x n dx =
•
∫ x dx = ln x + c
•
∫ e dx = e
•
∫a
•
∫ sen xdx = − cos x + c
•
∫ cos xdx = sen x + c
•
∫ cos
•
∫ sen
•
∫
•
∫
dx = x + c
x n +1
+ c(n ≠ −1)
n +1
1
x
x
x
+c
dx = a x log a e + c
1
2
x
1
2
x
dx = tgx + c
dx = − cot gx + c
dx
1− x2
dx
1+ x2
= arcsen x + c = − arccos x + c
= arctg x + c = −arc cot gx + c
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