MODELLI DIFFERENZIALI 13 Esercizio Consideriamo un corpo di massa m che lasciamo cadere nell’aria di cui vogliamo studiare il moto. Sappiamo che le forze agenti sul corpo sono due : Fp m g Forza Peso Fa h v Forza dovuta all’attrito dell’aria ( h è una costante che caratterizza l’attrito dell’aria mentre v è la velocità della massa m ) a) Scrivere il problema di Cauchy che modellizzi il problema fisico b) Determinare la funzione y y (t ) ove y è la posizione della massa all’istante t c) Scrivere i polinomi di Mc Laurin di grado 2 e 3 e dare un interpretazione fisica d) Determinare la funzione della velocità v v(t ) e dell’accelerazione a a (t ) Soluzioni a) Dalla cinematica e dalla dinamica sappiamo che v y ' (t ) a y '' (t ) F m a , inoltre la prima legge di newton afferma che la risultante delle forze applicate ad un corpo e uguale alla somma algebrica di tutte le forze agenti su esso, nel nostro caso la massa m è sottoposta alla forza peso e alla forza di attrito dell’aria quindi la F tot F p Fa m g hv ma m g h y m y L’equazione differenziale di secondo grado lineare non omogenea che modellizza il problema è la seguente m y h y m g l’equazione è del secondo ordine quindi per impostare il problema di cauchy ci servono 2 condizioni che possiamo ricavare osservando lo stato iniziale della massa m. y (t 0 ) Velocità iniziale y (t 0 ) Posizione iniziale supponiamo che la quota iniziale sia 0 e che la velocità sia nulla allora il problema di cauchy è il seguente : m y (t ) h y (t ) m g y (t 0 ) 0 y (t ) 0 0 b) 1° Passo Ricerca delle soluzioni dell’omogenea associata (o) Omogenea associata (o) : m y h y 0 Scrivo il Polinomio caratteristico di o P( ) m 2 h 0 Trovo le radici del polinomio P( ) 1 0 h 2 m (m h) 0 Entrambe le radici sono reali ad hanno molteplicità uguale a 1 La soluzione generale di o è la seguente : y(t ) c1 e1t c2 e2 t y(t ) c1 c2 e h t m 2° Passo Ricerca delle soluzioni particolari g (t ) mg g (t ) è un polinomio di grado zero, di conseguenza il valore critico ( ) è zero. è anche radice del polinomio P( ) , 1 ha molteplicità 1 quindi la soluzione particolare sarà del tipo y (t ) A t A Calcolo y (t ) , y (t ) y (t ) A y (t ) 0 Ricavo il valore della costante A sostituendo y (t ) e y (t ) nell’equazione differenziale m y h y m g A m g h 3° Passo Scrivo tutte le soluzioni dell’ equazione differenziale di partenza y (t ) c1 e 1 t c2 e 2 t m g t h 4° Passo Ricavo le costanti c1 c2 imponendo le condizioni di Cauchy y (t 0 ) 0 y (t 0 ) 0 c1 c 2 0 c2 h m g m h 0 m2 g c 1 h2 2 c m g 2 h2 h m 2 g m 2 g m t m g y (t ) 2 e t h h h2 5 4 posizione y(t) 3 2 1 0 -1 0 100 200 300 tempo (t) 400 500 600 m g m2 g Per t y(t ) la velocità si stabilizza cioè a causa dell’attrito il moto t h h2 tende a diventare rettilineo e non uniformemente accelerato c) Polinomi di Taylor di 2° e 3° grado n Tn (t ) i 0 y(0) (i ) (i ) t i! dalle condizioni iniziali sappiamo che y (0) 0 y (0) 0 ci manca la y (t ) e y (t ) la y (t ) la ricaviamo dall’equazione differenziale di partenza y (t ) m g h y (t ) m y (0) m g h y 0) g m la y (t ) la calcoliamo derivando y (t ) h h g m g h y (t ) y (t ) y (t ) m m m ' Polinomio di Taylor di secondo grado T2 (0) y (0) y (0) t y (0) t 2 g t 2 2 2 Polinomio di Taylor di terzo grado T3 (0) y (0) y (0) t y (0) t 2 y (0) t 3 g t 2 h g t 3 2 6 2 6m 0.7 0.6 posizione y(t) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 20 40 60 tempo (t) 80 100 120 legenda : blu y (t ) , Magenta T2 (t ) , Rosso T3 (t ) Interpretazione fisica: Trascurare l’effetto dell’attrito da un punto di vista matematico equivale ad approssimare la funzione y y (t ) con il suo polinomio di Mc-Laurin di secondo ordine , invece l’approssimazione con il polinomio di Mc Laurin di ordine 3 è più precisa e tiene già conto dell’attrito h m 2 g m 2 g m t m g d) Posizione y (t ) 2 e t h h h2 5 4 posizione y(t) 3 2 1 0 -1 0 100 200 300 tempo (t) 400 500 600 800 1000 1200 h t m g Velocità : v(t ) y (t ) 1 e m h 1 0.9 0.8 velocità v(t) 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 200 400 600 tempo (t) Osservazioni : per t il termine e un valore pari a v (t ) mg h h t m tende a zero quindi la velocità si stabilizza ad Accelerazione : a(t ) y (t ) g e h t m 1 0.9 0.8 accelerazione a(t) 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 200 400 600 tempo (t) 800 1000 1200 Osservazioni : per t la velocità tende a stabilizzarsi, mentre l’accelerazione che rappresenta il tasso di incremento della velocità tende ad annullarsi per t