Capitolo 2 : MODELLI DIFFERENZIALI - Digilander

MODELLI DIFFERENZIALI
13 Esercizio
Consideriamo un corpo di massa m che lasciamo cadere nell’aria di cui vogliamo studiare il moto.
Sappiamo che le forze agenti sul corpo sono due :
Fp  m  g Forza Peso
Fa  h  v Forza dovuta all’attrito dell’aria ( h è una costante che caratterizza l’attrito dell’aria
mentre v è la velocità della massa m )
a)
Scrivere il problema di Cauchy che modellizzi il problema fisico
b)
Determinare la funzione y  y (t ) ove y è la posizione della massa all’istante t
c)
Scrivere i polinomi di Mc Laurin di grado 2 e 3 e dare un interpretazione fisica
d)
Determinare la funzione della velocità v  v(t ) e dell’accelerazione a  a (t )
Soluzioni
a) Dalla cinematica e dalla dinamica sappiamo che v  y ' (t )
a  y '' (t ) F  m  a , inoltre la
prima legge di newton afferma che la risultante delle forze applicate ad un corpo e uguale alla
somma algebrica di tutte le forze agenti su esso, nel nostro caso la massa m è sottoposta alla
forza peso e alla forza di attrito dell’aria quindi la F tot  F p  Fa
m g  hv  ma
m  g  h  y   m  y 
L’equazione differenziale di secondo grado lineare non omogenea che modellizza il problema
è la seguente
m  y   h  y   m  g
l’equazione è del secondo ordine quindi per impostare il problema di cauchy ci servono 2
condizioni che possiamo ricavare osservando lo stato iniziale della massa m.
y (t 0 )  Velocità iniziale
y (t 0 )  Posizione iniziale
supponiamo che la quota iniziale sia 0 e che la velocità sia nulla allora il problema di cauchy
è il seguente :
m  y (t )  h  y (t )  m  g

 y (t 0 )  0
 y (t )  0
0

b) 1° Passo Ricerca delle soluzioni dell’omogenea associata (o)

Omogenea associata (o) : m  y   h  y   0

Scrivo il Polinomio caratteristico di o P( )  m  2  h    0

Trovo le radici del polinomio P( )
1  0


h
2  

m

 (m    h)  0
Entrambe le radici sono reali ad hanno molteplicità uguale a 1

La soluzione generale di o è la seguente :
y(t )  c1  e1t  c2  e2 t
y(t )  c1  c2  e
h
 t
m
2° Passo Ricerca delle soluzioni particolari g (t )  mg
 g (t ) è un polinomio di grado zero, di conseguenza il valore critico ( ) è zero.

è anche radice del polinomio P( ) , 1 ha molteplicità 1 quindi la soluzione
particolare sarà del tipo
y (t )  A  t
A
 Calcolo y (t ) , y (t )
 y (t )  A

 y (t )  0

Ricavo il valore della costante A sostituendo
y (t ) e y (t ) nell’equazione
differenziale m  y   h  y   m  g
A
m g
h
3° Passo Scrivo tutte le soluzioni dell’ equazione differenziale di partenza
y (t )  c1  e 1 t  c2  e 2 t 
m g
t
h
4° Passo Ricavo le costanti c1 c2 imponendo le condizioni di Cauchy
 y (t 0 )  0

 y (t 0 )  0
c1  c 2  0

 c2  h m  g
 m  h  0

m2  g
c


 1
h2

2
c  m  g
 2
h2
h 
m 2  g m 2  g  m t  m  g
y (t )   2 
e

t
h
h
h2
5
4
posizione y(t)
3
2
1
0
-1
0
100
200
300
tempo (t)
400
500
600
m g
m2  g
Per t   y(t ) 
la velocità si stabilizza cioè a causa dell’attrito il moto
t 
h
h2
tende a diventare rettilineo e non uniformemente accelerato
c) Polinomi di Taylor di 2° e 3° grado
n
Tn (t )  
i 0
y(0) (i ) (i )
t
i!
dalle condizioni iniziali sappiamo che
 y (0)  0

 y (0)  0
ci manca la y (t ) e y (t )
la y (t ) la ricaviamo dall’equazione differenziale di partenza
y (t ) 
m  g  h  y (t )
m
y (0) 
m  g  h  y 0)
g
m
la y (t ) la calcoliamo derivando y (t )
h
h g
 m  g  h  y (t ) 
y (t )  
    y (t )  
m
m
m


'
Polinomio di Taylor di secondo grado
T2 (0)  y (0)  y (0)  t 
y (0)  t 2 g  t 2

2
2
Polinomio di Taylor di terzo grado
T3 (0)  y (0)  y (0)  t 
y (0)  t 2 y (0)  t 3 g  t 2 h  g  t 3



2
6
2
6m
0.7
0.6
posizione y(t)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
20
40
60
tempo (t)
80
100
120
legenda : blu y (t ) , Magenta T2 (t ) , Rosso T3 (t )
Interpretazione fisica: Trascurare l’effetto dell’attrito da un punto di vista matematico equivale
ad approssimare la funzione y  y (t ) con il suo polinomio di Mc-Laurin di secondo ordine ,
invece l’approssimazione con il polinomio di Mc Laurin di ordine 3 è più precisa e tiene già
conto dell’attrito
h 
m 2  g m 2  g  m t  m  g
d) Posizione y (t )   2 
e

t
h
h
h2
5
4
posizione y(t)
3
2
1
0
-1
0
100
200
300
tempo (t)
400
500
600
800
1000
1200
h 
 t  
m  g 
Velocità : v(t )  y (t ) 
 1 e  m  

h 

1
0.9
0.8
velocità v(t)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
200
400
600
tempo (t)
Osservazioni : per t   il termine e
un valore pari a v (t ) 
mg
h
h 
  t 
m 
tende a zero quindi la velocità si stabilizza ad
Accelerazione : a(t )  y (t )  g  e
h 
 t 
m 
1
0.9
0.8
accelerazione a(t)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
200
400
600
tempo (t)
800
1000
1200
Osservazioni : per t   la velocità tende a stabilizzarsi, mentre l’accelerazione che
rappresenta il tasso di incremento della velocità tende ad annullarsi per t  