Y557 - ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO
CORSO SPERIMENTALE - P.N.I.
Tema di: MATEMATICA
(Sessione ordinaria)
QUESTIONARIO
1) Quante partite di calcio della serie A vengono disputate
complessivamente (andata e ritorno) nel campionato italiano a 18
squadre?
2) Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa
fabbrica di cui alcune difettose. A contiene 2000 lampade con il 5% di
esse difettose, B ne contiene 500 con il 20% difettose e C ne contiene
1000 con il 10% difettose. Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso
una lampada. Quale è la probabilità che essa sia difettosa?
3) Quale è la capacità massima, espressa in centilitri, di un cono di
apotema 2 dm?
4) Dare un esempio di polinomio P(x) il cui grafico tagli la retta y=2
quattro volte.
5) Dimostrare, usando il teorema di Rolle [da Michel Rolle, matematico
francese, (1652-1719)], che se l'equazione:
ammette radici reali, allora fra due di esse giace almeno una radice
dell'equazione:
6) Si vuole che l'equazione
abbia tre radici reali. Quale è un possibile valore di b?
7) Verificare l'uguaglianza:
e utilizzarla per calcolare un'approssimazione di
di integrazione numerica.
, applicando un metodo
8) Dare un esempio di solido il cui volume è dato da
9) Di una funzione f(x) si sa che ha derivata seconda uguale a senx e
che. Quanto vale
10) Verificare che l'equazione
ammette tre radici reali. Di una di esse, quella compresa tra 0 e 1, se ne
calcoli un'approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati.
Risoluzione
1) Si tratta delle permutazioni di 18 elementi su due posti, quindi P 18, 2
= 18 · 17 = 306.
2) La probabilità di estrarre una lampada difettosa dalla scatola A è
p(D/A) = 5/100; quella di estrarla da B è p(D/B) = 20/100; e da C
è p(D/C) = 10/100. Non importa quante lampadine contiene
ciascuna scatola. La probabilità di estrarre da una qualsiasi delle tre
scatole è 1/3. Quindi la probabilità totale è: p = 1/3 · 5/100 + 1/3 ·
20/100 + 1/3 · 10/100 = 7/60 = 0,11667.
3) Indicata con x l’altezza del cono, si ha che il raggio del cerchio di
base è calcolabile applicando il teorema di Pitagora al triangolo
rettangolo formato da altezza, raggio di base e apotema del cono.
2 dm
X
r
Il volume del cono è dato da:
1
V ( x) ( 4 x 2 ) x
3
posto y = (4 – x 2) x = 4 x – x 3; la cui derivata è y’ = 4 – 3 x 2, il cui
segno varia secondo lo schema seguente.
y
‘
x
+
0
Ma
x
0
2
-
3
Pertanto il volume massimo è
2 1
V
4
3 3
4 2
3,224 dm 3 3,224 l 322,4 cl .
3 3
4) Perché il polinomio tagli la retta y = 2 quattro volte deve avere al
minimo grado 4 e massimi maggiori di 2 e minimi minori di 2.
Supponiamo che la sua derivata sia del tipo: p’ = (x 2 – 1) x = x 3 –
x. Il polinomio avrà due minimi per x = -1 e per x = 1. Il massimo
per x = 0. Integrando otteniamo la primitiva che è del tipo:
p ( x)
x4 x2
c
4
2
Essendo: p(0) = c; p(±1) = c – ¼; imponiamo c > 2 e c – ¼ < 2.
Deve quindi aversi: 2 < c < 9/4. Possiamo quindi porre, ad esempio, c
= 11/5 ed abbiamo il polinomio:
p ( x)
x 4 x 2 11
4
2
5
che è un polinomio soddisfacente la condizione cercata.
5) Essendo il polinomio a primo membro della seconda equazione la
derivata del polinomio a primo membro della prima equazione, se
e sono due soluzioni della prima equazione, il polinomio a primo
membro della prima equazione, relativamente all’intervallo [, ],
soddisfa a tutte le ipotesi del teorema di Rolle, pertanto esisterà in
], [ un c in cui si annulla la derivata prima, cioè soddisfacente la
seconda equazione.
6) Imponiamo che il trinomio x 3 + bx – 7 sia divisibile per il binomio x
+ 1. Operando con il metodo di Ruffini si ha:
1
-1
1
0
-1
-1
b
1
b+1
-7
-b-1
-b-8
Per avere la divisibilità deve essere b = -8, per cui: x 3 - 8x – 7 = (x +
1)(x 2 – x -7). Poiché il trinomio x 2 – x -7 ha delta positivo, l’equazione
ottenuta ammette tre radici reali distinte.
7) Essendo:
1
1 x
0
1
dx arctan x0
1
2
4
l’uguaglianza è provata.
Per approssimare l’integrale possiamo usare la formula dei trapezi di
Bezout.
Dividendo l’intervallo d’integrazione [a, b] in N parti uguali di ampiezza
h = (b – a)/N, la formula di approssimazione è data da:
b
f ( x) dx
a
N 1
h
f (a) f (b) 2
f ( xi )
2
i 1
Tramite la seguente tabella schematizziamo il calcolo per un numero di
divisioni N = 10
a
0
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
b
1
N
10
x
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,70
0,80
0,90
1,00
f(x)
1,000
0,990
0,962
0,917
0,862
0,800
0,735
0,671
0,610
0,552
0,500
tot =
h
0,1
2 f(x)
1,980
1,923
1,835
1,724
1,600
1,471
1,342
1,220
1,105
Integrale =
0,784981
Pi-greco =
3,139926
14,200
8) Il volume del solido ottenuto facendo ruotare, di una rotazione
completa attorno all’asse x, relativamente all’intervallo [0, 1] la
funzione f(x) = x 3/2.
9) Da f’’(x) = sen x, integrando, si ha f’(x) = -cox + c. Dalla
condizione iniziale f’(0) = 1, si ha: - cos 0 + c = 1, ossia c = 2.
Integrando f’(x) = - cos x + 2, si ottiene la funzione cercata: f(x) =
- sen x + 2 x + k. Infine f(/2)-f(0) = - 1.
10) Da uno studio sommario della funzione y = x
verifica cercata. Il grafico è riportato sotto.
3
– 3 x + 1 si ha la
Mediante il seguente schema, che
dimezzamento, si ottiene la radice voluta.
x1
0,000000
0,000000
0,250000
0,250000
0,312500
0,343750
0,343750
0,343750
0,343750
0,345703
0,346680
0,347168
0,347168
0,347290
0,347290
0,347290
0,347290
0,347290
0,347294
x2
1,000000
0,500000
0,500000
0,375000
0,375000
0,375000
0,359375
0,351563
0,347656
0,347656
0,347656
0,347656
0,347412
0,347412
0,347351
0,347321
0,347305
0,347298
0,347298
xm
0,500000
0,250000
0,375000
0,312500
0,343750
0,359375
0,351563
0,347656
0,345703
0,346680
0,347168
0,347412
0,347290
0,347351
0,347321
0,347305
0,347298
0,347294
0,347296
y1
realizza
y2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
il
ym
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
Pertanto la soluzione è: x = 0,347296.
( Soluzioni suggerite dal prof. Ettore Limoli )
-1
1
-1
1
1
-1
-1
-1
1
1
1
-1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
metodo
x
1,000000
0,500000
0,250000
0,125000
0,062500
0,031250
0,015625
0,007813
0,003906
0,001953
0,000977
0,000488
0,000244
0,000122
0,000061
0,000031
0,000015
0,000008
0,000004
del
