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Cap 1. LE ISOMETRIE NEL PIANO
Rivedi la teoria
Le trasformazioni geometriche
I punti di un piano si possono far corrispondere a due a due fissando delle regole di associazione; se queste
regole sono tali per cui la corrispondenza che si viene a determinare eÁ biunivoca, si parla di trasformazione geometrica.
Una trasformazione geometrica si realizza quindi mediante una legge che ad ogni punto del piano ne fa
corrispondere uno e uno solo appartenente allo stesso piano.
Per esempio:
l
l
la legge che ad ogni punto P associa il punto P 0 che si ottiene come secondo estremo della linea rossa che esce da P (figura a lato) eÁ una corrispondenza biunivoca perche ad ogni P resta associato un solo P 0 e non
piuÁ di uno, quindi eÁ una trasformazione geometrica;
la legge che, fissato un punto O e considerata la circonferenza di raggio
OP associa a P il punto P 0 che si ottiene percorrendo un quarto di circonferenza (vedi la figura) non eÁ una trasformazione geometrica percheÂ
ad ogni P, non avendo precisato il verso di percorrenza, vengono associati due punti P 0 .
In particolare, la legge che ad ogni punto P associa ancora P si chiama trasformazione identica.
Le caratteristiche di una trasformazione
Quando si applica una trasformazione geometrica a qualche figura del piano, tutti i punti della figura vengono trasformati con la stessa legge; nella figura trasformata ci possono essere delle caratteristiche che non
sono cambiate rispetto alla prima figura, mentre ce ne possono essere altre che hanno subito dei cambiamenti.
Per esempio, se consideriamo la trasformazione rappresentata nella figura a lato in cui il punto trasformato A 0 si trova sulla semiretta OA in modo che sia
OA  AA 0 e analogamente per gli altri punti, al triangolo azzurro ABC corrisponde il triangolo verde A 0 B 0 C 0 . In questa corrispondenza, i lati dei due triangoli non sono a due a due congruenti, quindi la lunghezza dei segmenti eÁ
cambiata; sono invece congruenti gli angoli del triangolo ABC e quelli corrispondenti del triangolo A 0 B 0 C 0 . Diciamo allora che in questa trasformazione
l'ampiezza degli angoli eÁ un invariante.
Un'altra caratteristica da evidenziare nelle trasformazioni geometriche riguarda quegli elementi che, una volta applicata la legge della trasformazione, corrispondono a se stessi; questi elementi si dicono uniti.
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Tema 2 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
1
Per esempio, nella trasformazione indicata nella figura a lato, i punti della
corda AB del triangolo blu corrispondono ai punti della stessa corda AB
pensata come appartenente al triangolo verde; tutti i punti della corda AB
sono quindi uniti in questa trasformazione.
Le isometrie
Fra tutte le leggi che permettono di realizzare una trasformazione, particolare importanza rivestono quelle che hanno come invariante la lunghezza dei segmenti; queste trasformazioni si chiamano isometrie. Le caratteristiche di una isometria sono le seguenti:
l
ogni retta viene trasformata in una retta; inoltre se due rette sono incidenti oppure parallele, anche le loro
trasformate sono rispettivamente incidenti allo stesso modo oppure parallele
l
l'ampiezza degli angoli eÁ un invariante
l
due figure che si corrispondono in un'isometria sono sempre congruenti.
es. 1
Fai gli esercizi
Stabilisci se le seguenti leggi rappresentano una trasformazione geometrica.
1 Fissato un punto O e considerata la circonferenza di raggio OP, al punto P
viene associato il punto P 0 che si ottiene percorrendo in senso antiorario
mezza circonferenza partendo da P.
[si]
2 Disegnata una retta r, al punto P viene associato il punto P 0 che eÁ il piede
della perpendicolare condotta da P su r.
[no]
3 Disegnata una retta r, al punto P viene associato il punto P 0 che si ottiene
tracciando da P una retta s che forma un angolo di 45 con r e prendendo
da parte opposta un segmento OP 0  OP, essendo O il punto di intersezione
di r con s.
[no]
es. 2
es. 3
4 In una trasformazione geometrica un triangolo viene trasformato in un altro
ad esso congruente. Si puoÁ dire che:
a. la lunghezza dei segmenti eÁ un'invariante
b. l'ampiezza degli angoli eÁ un'invariante
c. la misura dell'area eÁ un invariante
d. la posizione del triangolo nel piano eÁ un'invariante
e. non eÁ detto che la trasformazione abbia punti uniti
f. se uno dei vertici eÁ un punto unito, anche gli altri vertici sono punti uniti.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
[a. V, b. V, c. V, d. F, e. V, f. F]
5 Della trasformazione rappresentata nella figura a lato in cui ogni punto trasformato si ottiene seguendo il percorso della linea rossa, si puoÁ dire che:
V F
a. l'ampiezza degli angoli eÁ invariante
V F
b. la lunghezza dei segmenti eÁ invariante
V F
c. non ha punti uniti
V F
d. i punti uniti sono quelli che appartengono alle linee rosse.
es. 5
[a. V, b. V, c. V, d. F]
2
Tema 2 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
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Rivedi la teoria
La simmetria assiale
Una simmetria assiale eÁ definita quando viene fissata una retta r che
prende il nome di asse di simmetria. Per costruire il simmetrico di un
punto A rispetto alla retta r, si traccia da A la perpendicolare a r che
la incontra in H e su questa si prende, nel semipiano opposto ad A,
un punto A 0 in modo che AH  A 0 H.
Per costruire la figura simmetrica di un'altra basta allora trovare i simmetrici dei suoi punti; nel caso di un segmento o di un poligono la cosa
diventa piuÁ semplice perche basta trovare i punti simmetrici dei vertici
mandando, da ognuno di essi, la perpendicolare all'asse di simmetria.
La simmetria centrale
Per definire la simmetria centrale occorre fissare un punto O, detto centro di simmetria; per trovare il simmetrico di un punto A si traccia la
retta OA e si prende su di essa un punto A 0 , da parte opposta rispetto
ad O, in modo che A 0 O  AO.
Come nel caso della simmetria assiale, per costruire il simmetrico di un
segmento o di un poligono rispetto ad un centro O basta trovare i punti
simmetrici dei vertici e disegnare il poligono che ha per vertici i punti
trovati.
Una delle proprietaÁ piuÁ interessanti di questa isometria eÁ che i segmenti
e le rette che si corrispondono sono paralleli.
La traslazione
Una traslazione eÁ definita se eÁ dato il vettore v~ di traslazione, che eÁ, in
sostanza, un segmento orientato. Dato un punto A, per trovare il punto
A 0 che gli corrisponde nella traslazione di vettore v~, si trasporta il vettore facendo coincidere il primo estremo con A (mantenendo tutte le
sue caratteristiche, quindi direzione, verso e intensitaÁ) e si prende come
punto A 0 il secondo estremo del vettore.
Procedendo in modo del tutto analogo al caso delle simmetrie, possiamo operare con la traslazione su qualsiasi figura; puoi vedere un esempio nella figura a lato.
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Tema 2 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
3
La rotazione
Per definire una rotazione occorre assegnare un centro O di rotazione e
un'ampiezza mediante un angolo orientato (positivo per rotazioni antiorarie, negativo per rotazioni orarie). Servendosi di un compasso come strumento di trasporto dei segmenti, si puoÁ costruire il punto A 0
che corrisponde ad un punto A nel seguente modo:
l
l
l
si disegna un angolo di vertice O e ampiezza avente un lato coincidente con la semiretta OA
si punta il compasso in O e, con apertura OA, si traccia un arco fino
ad intersecare l'altro lato dell'angolo
il punto di intersezione dell'arco tracciato con tale lato eÁ il punto A 0 .
Seguendo lo stesso procedimento, troviamo il corrispondente del poligono a lato nella rotazione di centro O e angolo assegnati.
Fai gli esercizi
6 Riproduci le seguenti figure sul quaderno e disegna le loro simmetriche rispetto alle rette indicate.
a.
b.
c.
7 Si dice che una figura ha un asse di simmetria r se eÁ unita nella
simmetria che ha per asse la retta r, vale a dire se la sua trasformata coincide con la figura stessa.
Figure che presentano assi di simmetria si ritrovano spesso in
natura, nell'arte, nell'architettura, negli oggetti di uso comune,
forse perche le figure simmetriche sono piuÁ armoniche. Le figure che sono riportate di seguito presentano alcuni assi di simmetria; individuali e disegnali con una matita colorata.
4
Tema 2 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
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8 Riproduci le seguenti figure sul quaderno e disegna le loro simmetriche rispetto ai centri indicati.
a.
b.
c.
9 Si dice che una figura ha un centro di simmetria in un punto O se eÁ unita nella simmetria che ha per
centro il punto O, vale a dire se la sua trasformata coincide con la figura stessa.
Come nel caso della simmetria assiale, gli oggetti che presentano un centro di simmetria sono molto diffusi; individua quindi, se esistono, i centri di simmetria delle seguenti figure:
a.
b.
c.
d.
10 Trova le corrispondenti delle seguenti figure nella traslazione di vettore indicato.
a.
b.
c.
11 Trova i corrispondenti dei seguenti poligoni nelle rotazioni di centro O e ampiezza assegnati:
a. ˆ ‡
2
3
b. ˆ ‡ 2
c. ˆ 12 Individua il centro e l'ampiezza della rotazione
antioraria nella quale si corrispondono le figure
A e A 0 nei due casi presentati.
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Tema 2 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
5
Rivedi la teoria
Il prodotto di isometrie
Consideriamo una figura F qualsiasi; comporre due isometrie !1 e !2 significa applicare !1 su F ottenendo
la figura F 0 e poi !2 su F 0 ottenendo F 00 . La trasformazione che lega F 00 a F eÁ ancora un'isometria. In particolare si verifica che:
l
l
l
l
l
6
componendo due simmetrie assiali con gli assi perpendicolari si ottiene una simmetria centrale avente come centro il punto d'intersezione degli assi;
componendo due simmetrie assiali con gli assi paralleli si ottiene
una traslazione di vettore v~ avente direzione perpendicolare agli assi, verso dal primo al secondo asse e modulo doppio della distanza
fra i due assi;
componendo due simmetrie assiali con gli assi incidenti in modo da
formare un angolo si ottiene una rotazione avente centro nel punto d'intersezione degli assi e di ampiezza 2;
componendo due simmetrie centrali di centri O e O 0 si ottiene una
traslazione di vettore v~ parallelo ad OO 0 avente modulo 2OO 0 ;
componendo due traslazioni di vettori v~ e ~
s si ot~
tiene una traslazione di vettore k ˆ v~ ‡ ~
s.
Tema 2 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
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Fai gli esercizi
Scegli la risposta corretta fra quelle proposte.
13 Due rette parallele r e s distano una dall'altra di 5cm; componendo la simmetria di asse r e di asse s si
ottiene:
a. una traslazione di vettore v~ perpendicolare a r di modulo 5cm
b. una traslazione di vettore v~ perpendicolare a r di modulo 10cm
c. una traslazione di vettore v~ parallelo a r di modulo 10cm
d. nessuna delle precedenti isometrie.
[b.]
14 Due rette r e s si incontrano in O e formano un angolo di 60 ; componendo la simmetria di asse r e di
asse s si ottiene:
a. una simmetria centrale di centro O
b. una rotazione di centro O e ampiezza 60
c. una rotazione di centro O e ampiezza 120
d. nessuna delle precedenti isometrie.
[c.]
15 Due vettori v~ e ~
s sono paralleli ed equiversi e hanno rispettivamente modulo 2 e 6. Componendo la traslazione di vettore v~ con quella di vettore ~
s si ottiene:
a. una simmetria avente per asse una retta parallela ai due vettori
b. una simmetria avente per asse una retta perpendicolare ai due vettori
c. una traslazione di vettore parallelo ed equiverso ai precedenti e di modulo 8
[c.]
d. una traslazione di vettore parallelo ai precedenti e di modulo 4.
16 Componendo due rotazioni aventi lo stesso centro O e rispettivamente di ampiezza 120 e 60 si ottiene:
a. una simmetria di centro O
b. una simmetria avente per asse una retta passante per O
c. una traslazione
d. nessuna delle precedenti isometrie.
[a.]
Cap 2. PARALLELOGRAMMI E TRAPEZI
Rivedi la teoria
I parallelogrammi
Un parallelogramma eÁ un quadrilatero che ha un centro di simmetria; esso gode delle seguenti proprietaÁ:
l
ha i lati opposti paralleli
l
ha i lati opposti congruenti
l
ha gli angoli opposti congruenti
l
ha gli angoli adiacenti allo stesso lato che sono supplementari
l
ha le diagonali che si tagliano scambievolmente a metaÁ.
Viceversa, un quadrilatero eÁ un parallelogramma se ha:
l
i lati opposti congruenti
l
gli angoli opposti congruenti
l
le diagonali che si bisecano
l
una coppia di lati opposti congruenti e paralleli.
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Tema 2 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
7
I parallelogrammi particolari
Alcuni parallelogrammi hanno caratteristiche in piuÁ rispetto agli altri e per questo prendono un nome particolare:
l
l
l
chiamiamo rettangolo un parallelogramma con gli angoli retti
chiamiamo rombo un parallelogramma con i lati congruenti
chiamiamo quadrato un parallelogramma con i lati congruenti e gli angoli retti.
Questi quadrilateri hanno tutte le proprietaÁ dei parallelogrammi e in piuÁ le seguenti:
l
l
l
un rettangolo ha le diagonali congruenti
un rombo ha le diagonali perpendicolari e bisettrici degli angoli
un quadrato ha le diagonali congruenti, perpendicolari e bisettrici degli angoli.
I trapezi
Un trapezio eÁ un quadrilatero che ha due lati paralleli che costituiscono
le basi del trapezio; gli altri due lati sono i lati obliqui. Se i lati obliqui
sono congruenti il trapezio si dice isoscele.
Un trapezio non ha proprietaÁ particolari se non quelle che derivano dal
fatto di avere due lati paralleli, quindi la sola cosa che si puoÁ dire eÁ che
ha gli angoli adiacenti ad un lato obliquo che sono supplementari.
Se peroÁ il trapezio eÁ isoscele allora:
l
gli angoli adiacenti a ciascuna base sono congruenti
l
le diagonali sono congruenti.
Fai gli esercizi
1
ESERCIZIO GUIDA
Dato il parallelogramma ABCD, indichiamo con M il punto medio del lato AB e tracciamo da D la
semiretta DM; prendiamo poi un punto P su tale semiretta, oltre M, in modo che PM  DM. Dimostriamo che i punti C, B, P sono allineati.
Hp. ABCD parallelogramma
Th. C, B, P allineati
AM  ::::::::
MP  ::::::::
Per dimostrare questo teorema possiamo seguire due percorsi.
d eÁ piatto.
I modo. Dimostrando che l'angolo PBC
Considera i triangoli AMD e BMP e dimostra che sono congruenti.
d  ::::::::; ma DAB
d ‡ ABC
d  ::::::::::::::::, quindi PBA
d ‡ ABC
d  ::::::::::::
Di conseguenza DAB
II modo. Usando le proprietaÁ delle isometrie.
Se consideriamo la simmetria di centro M, il simmetrico di A eÁ ........, il simmetrico di D eÁ ........
Segmenti che si corrispondono in una simmetria centrale sono paralleli quindi AD k ::::::::; ma
AD k BC, quindi per l'unicitaÁ della parallela per un punto ad una retta .....................
8
Tema 2 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
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2 In un parallelogramma ABCD la diagonale BD eÁ congruente al lato AB; traccia dal vertice B la perpend eÁ retto e che i
dicolare BH al lato AD e prolungala di un segmento HP  BH. Dimostra che l'angolo PBC
punti C, D, P sono allineati.
(Suggerimento: osserva che i triangoli ABD e BDC sono isosceli e congruenti)
3 E' dato un parallelogramma ABCD; detto O il punto d'intersezione delle diagonali traccia un qualunque
segmento PQ che passi per O e abbia gli estremi sui lati del parallelogramma. Dimostra che i triangoli
che si vengono a formare sono a due a due congruenti.
4
ESERCIZIO GUIDA
Date due rette parallele a e b, tracciamo una trasversale che le incontra nei punti A e B ; per il punto
medio M di AB tracciamo una seconda trasversale che incontra le due rette in P e Q. Dimostriamo che
il quadrilatero APBQ eÁ un parallelogramma.
Hp. a k b
Th. APBQ parallelogramma
AM  ::::::::
Se consideriamo M come centro di simmetria, B eÁ il corrispondente di A, la retta b eÁ corrispondente della retta a perche sono parallele e passano per una coppia di punti corrispondenti e PQ eÁ una retta unita; allora,
essendo intersezione di rette corrispondenti, anche P eÁ corrispondente di Q. Il quadrilatero APBQ
ha un centro di simmetria ed eÁ quindi un parallelogramma.
5 Dal vertice A di un triangolo ABC traccia la parallela al lato BC e considera su di essa i punti M e N in
modo che A sia il punto medio del segmento MN (con M dalla stessa parte di B). Quale condizione deve
essere verificata affinche i quadrilateri AMBC e ANCB siano dei parallelogrammi?
6 Sulla diagonale DB del parallelogramma ABCD fissa i punti P e Q tali che BP  DQ; dimostra che il
quadrilatero AQCP eÁ un parallelogramma.
7 Disegna un parallelogramma ABCD e prendi sui suoi lati, nello stesso verso, quattro punti P, Q, R, S in
modo che AP  BQ  CR  DS. Dimostra che il quadrilatero PQRS eÁ un parallelogramma.
8 Nel parallelogramma ABCD la diagonale AC eÁ congruente al lato AD; indicato con M il punto medio del
lato AD, traccia la semiretta CM e prendi su di essa un punto P in modo che sia PM  MC. Dimostra che:
a. il quadrilatero ACDP eÁ un parallelogramma;
b. i punti P, A, B sono allineati.
9
ESERCIZIO GUIDA
Dato il rettangolo ABCD e tracciata la sua diagonale AC, prendiamo un punto P su AB ed un punto Q
su DC in modo che AP  CQ; tracciamo poi da P e da Q le parallele alla diagonale AC che incontrano
CB in R e AD in S. Dimostriamo che il quadrilatero PRQS eÁ un parallelogramma. Come deve essere
preso il punto P affinche tale parallelogramma diventi un rombo?
Hp. ABCD rettangolo
Th. PRQS parallelogramma
AP  ::::::::
PR k :::::::: k ::::::::
Basta dimostrare che PR e QS sono congruenti e paralleli:
PR k QS perche ...................
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Tema 2 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
9
I triangoli DSQ e BRP sono triangoli rettangoli congruenti perche .................. Quindi .......................
Rifletti ora sul fatto che affinche PRQS sia un rombo i lati devono essere tutti congruenti, oppure le
diagonali devono essere perpendicolari, quindi P deve essere ..................
10 Sia O il punto di intersezione delle diagonali di un rombo ABCD; traccia da O le perpendicolari OH e
OK di due lati opposti. Dimostra che i punti H, O, K sono allineati.
11 Dato il quadrato ABCD, costruisci il suo simmetrico A 0 B 0 CD 0 rispetto al vertice C. Dimostra che i punti B,
D 0 , B 0 , D sono vertici di un altro quadrato.
12 Sono date due rette parallele tagliate da una trasversale (figura a lato);
dimostra che il quadrilatero che si ottiene tracciando le bisettrici degli
angoli alterni interni eÁ un rettangolo.
13 Dato il rombo ABCD, traccia la bisettrice dell'angolo esterno di vertice
A; la retta ad essa perpendicolare condotta dal vertice D la incontra in
H. Che tipo di quadrilatero eÁ ABDH?
14 Dal vertice A della base minore AB di un trapezio isoscele ABCD traccia una semiretta che incontra il
d  ADE.
d Dimostra che il quadrilatero ABCE eÁ un parallelogramma. Che
lato DC in E in modo che AED
caratteristiche deve avere il trapezio affinche ABCE sia un rombo?
Rivedi la teoria
La corrispondenza parallela di Talete
Consideriamo un fascio di rette parallele e siano r e s due rette che le intersecano (si dice che r e s sono due trasversali). I punti che le rette del fascio individuano su una trasversale hanno come corrispondenti i punti che
le stesse rette individuano sull'altra trasversale; cosõÁ, per esempio, al punto
A corrisponde il punto A 0 , al punto B il punto B 0 e cosõÁ via.
Se capita che su una trasversale ci siano segmenti congruenti, come per
esempio i segmenti AB e CD su r, allora anche i loro corrispondenti sull'altra trasversale sono congruenti, cioeÁ A 0 B 0  C 0 D 0 .
Questa proprietaÁ eÁ nota come Teorema di Talete.
Le conseguenze
Dal teorema di Talete discendono alcune proprietaÁ dei triangoli:
l
l
se dal punto medio di un lato di un triangolo si traccia la parallela a un altro lato, questa incontra il terzo
lato nel punto medio
la congiungente i punti medi di due lati di un triangolo eÁ parallela al terzo lato e congruente alla sua
metaÁ.
Fai gli esercizi
15
ESERCIZIO GUIDA
Dato il triangolo ABC, tracciamo la mediana BM e dai punti medi N e P dei lati BC e BA tracciamo le
parallele a tale mediana che incontrano il lato AC in Q e R. Dimostriamo che:
10
Tema 2 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
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a. AC rimane diviso dalla mediana e dalle sue parallele in quattro segmenti congruenti fra loro
b. il quadrilatero PNQR eÁ un parallelogramma.
Hp. AM  :::::::;
BN  ::::::::;
Th. AR  RM  MQ  QC;
BP  ::::::::;
NQ k ::::::::;
PR k :::::::::
PNQR parallelogramma
a. Considera il triangolo BCM: N eÁ punto medio di BC e NQ k BM,
quindi .................
Considera il triangolo BMA: P eÁ punto medio di AB e PR k BM,
quindi ...................
Allora, essendo M punto medio di AC ........................
b. P e N sono punti medi dei lati AB e BC, quindi PN .................
NQ k PR perche .............................., quindi ..............................
16 Dato il quadrato ABCD, sia M il punto medio del lato AB e N il punto medio del lato BC. Dimostra che:
a. MN ? BD;
b. DN eÁ congruente e perpendicolare a CM.
(Suggerimento: a. traccia la diagonale AC ed osserva che il segmento MN congiunge i punti medi dei lati
AB e BC del triangolo ABC, quindi ....................)
17 In un rombo ABCD la diagonale minore AC eÁ congruente al lato. Dimostra che le altezze tracciate dai
vertici A e C dividono la diagonale DB in tre segmenti tra loro congruenti.
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Tema 2 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
11
Verifica del recupero
1 Barra vero o falso.
In un triangolo isoscele la retta dell'altezza relativa alla base eÁ asse di simmetria.
Un segmento ha un centro di simmetria.
Un angolo ha come asse di simmetria la bisettrice.
Un angolo ha come centro di simmetria il vertice.
Data una traslazione di vettore ~
v e una retta a parallela a ~
v , la sua trasformata a 0 eÁ parallela
ad a e non coincide con a.
f. Due segmenti che si corrispondono in una traslazione sono paralleli.
g. Due segmenti che si corrispondono in una rotazione sono perpendicolari.
h. Due segmenti che si corrispondono in una rotazione di un angolo piatto sono paralleli.
a.
b.
c.
d.
e.
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
2 punti
2 Disegna un triangolo ABC qualsiasi e traccia la retta r bisettrice dell'angolo di vertice A; costruisci poi il
simmetrico AB 0 C 0 di tale triangolo rispetto a r. Rispondi ora alle seguenti domande:
a.
b.
c.
d.
r eÁ ancora bisettrice dell'angolo di vertice A del triangolo trasformato?
come sono i punti A, B 0 , C ?
come sono i punti A, B, C 0 ?
indicato con O il punto di intersezione di BC con B 0 C 0 , dove si trova O?
2 punti
3 Disegna un parallelogramma e traccia le bisettrici di due angoli consecutivi; dimostra che tali bisettrici,
incontrandosi, formano un angolo retto.
2 punti
4 Dato un quadrato ABCD, conduci dal vertice A due rette fra loro perpendicolari in modo che la prima
intersechi il lato BC in E, la seconda intersechi la retta del lato CD in F. Dimostra che il triangolo AFE
eÁ isoscele.
4 punti
12
Tema 2 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
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Soluzioni
1 a. V, b. V, c. V, d. F, e. F, f. V, g. F, h. V
a. si perche la bisettrice di un angolo eÁ asse di simmetria
2
b. allineati perche le rette dei lati dell'angolo di vertice di A sono simmetriche,
quindi il simmetrico di B appartiene ad AC
c. allineati per lo stesso motivo
d. appartiene all'asse di simmetria percheÂ, essendo B 0 C 0 simmetrico di BC, il loro
punto di intersezione eÁ unito
3
d e ADC
d sono supplementari (proprietaÁ dei parallelogrammi),
Gli angoli DAB
d ‡ ADH
d ˆ ; di consequindi le loro metaÁ sono angoli complementari: DAH
2
d eÁ retto.
guenza l'angolo AHD
4
d e DAF
d sono congruenti perche complementari dello stesso anGli angoli BAE
d quindi i triangoli rettangoli ABE e ADF sono congruenti (hanno orgolo DAE,
dinatamente congruenti un cateto e un angolo acuto): AE  AF ed il triangolo
eÁ isoscele.
Esercizio
1
2
3
4
Punteggio
Valutazione
in decimi
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Tema 2 - ATTIVITAÁ DI RECUPERO
13
quadrilateral
rotation
square
transformation
quadrilatero
rotazione
quadrato
trasformazione (geometrica)
1 Which of objects 2-5 below could represent the image of object 1 as the result of a single rotation (with
no other transformations applied)?
a. Objects 2 and 3 only
b. Objects 4 and 5 only
c. Objects 4 only
d. Objects 2, 3 and 4 only
e. Objects 2, 3, 4 and 5.
1.
2.
3.
4.
5.
2 Which of the following cannot be used to prove that a quadrilateral is a parallelogram?
a. Show that the adjacent angles are complementary.
b. Show that both pairs of opposite sides are congruent.
ex. 3
c. Show that both pairs of opposite sides are parallel.
d. Show that both pairs of opposite angles are congruent.
e. Show that the diagonals bisect each other.
3 In the quadrilateral on the right hand, BA k CD, BC k AD, the measure
d is …3x ‡ 4† and the measure
d is …6x 5† , the measure of ABD
of CBD
d is …7x ‡ 5† . Find the measure of ADB.
d
of BAD
a. 13
b. 98
c. 11
d. 37
e. 61
d is 100 . Point F is chosen in4 In the figure shown, the measure of BEA
d and line FB bisects EBA.
d
side triangle BEA so that line FA bisects EAB
ex. 4
d
Find the measure of BFA.
b. 145
c. 150
d. 155
5 In the given figure, if `1 k `2 and AB  CD, then:
d. BC  DE
e. AD  BC
4 a.
5 b.
14
Tema 2 - MATH IN ENGLISH
c. AE  EC
3 e.
b. AC  BD
ex. 5
2 a., the statement should read "... are supplementary"
a. AD ? BC
e. 160
1 c.
a. 140
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