Il potenziale e la corrente 1. L`energia potenziale elettrostatica
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Capitolo X Il potenziale e la corrente 1. L’energia potenziale elettrostatica Per quali motivi a suo tempo abbiamo introdotto la grandezza fisica “lavoro”? Il lavoro è stato introdotto perché l’evidenza sperimentale mostra che esiste una differenza fra i due fenomeni seguenti: a) su di un sistema è applicata una forza il cui punto di applicazione si muove; b) su di un sistema è applicata una forza il cui punto di applicazione resta fisso. Se il punto di applicazione della forza si sposta durante l’azione, infatti, a seconda dell’angolo che essa forma con lo spostamento, il sistema aumenta o diminuisce la propria capacità di agire modificando se stesso e l’ambiente. A tale capacità di modificare le cose si dà il nome di energia. Inoltre si osserva che l’effetto sull’energia di un sistema di una forza il cui punto di applicazione si muove, è differente se la forza in questione ha una componente diretta lungo lo spostamento oppure se gli è perpendicolare. Si decide pertanto di misurare queste proprietà introducendo una opportuna grandezza fisica nota come lavoro. Quando il punto di applicazione di una forza costante F , subisce uno spostamento rettilineo individuato da un vettore s come in figura, diremo che ha compiuto il lavoro elementare L : L | F || s | cos Fs Qual è il significato del segno del lavoro elementare? Come si capisce dalla figura, il segno del lavoro elementare ha un significato fisico: una forza F che forma un angolo 0 90 con s , (e quindi F F cos 0 ), compie lavoro elementare positivo, detto anche lavoro motore perché F sta contribuendo al moto nella direzione dello spostamento. Se viceversa 90 180 compie un lavoro negativo, detto lavoro resistente perché F sta contrastando il moto nella direzione di s . 1 F L > 0 s F = F cos > 0 F L < 0 s F = F cos < 0 F L = 0 F = 0 s Fi B i si F4 s3 F1 A F3 2 s2 1 s1 E se la traiettoria è curvilinea? Per spostamenti più complessi, che seguono traiettorie curve, e forze che variano la loro direzione e la loro intensità in ogni punto, la definizione di lavoro si generalizza suddividendo la traiettoria del punto di applicazione in tanti spostamenti elementari rettilinei si come in figura, ad ognuno dei quali associamo un vettore costante Fi , che rappresenti F nel tratto interessato ed un angolo i : F2 L F i si cos i Come fa un sistema ad immagazzinare energia? La “capacità di agire” che chiamiamo energia, e che il sistema acquista (o cede) per l’azione di forze che spostano il proprio punto di applicazione, può essere immagazzinata solo in due modi: (1) nello stato di moto in cui le parti del sistema si sono portate: questa modalità si dice energia cinetica (2) nella configurazione che le sue parti assumono: questa modalità è detta energia potenziale. Come si misura l’energia cinetica di un sistema? Il contenuto di energia cinetica K incamerato in un sistema è il lavoro che occorre fare per portare tutte le sue parti da una situazione in cui sono ferme fino alla loro velocità attuale. Come abbiamo a suo tempo dimostrato, per un oggetto puntiforme di massa m e velocità v tale lavoro vale: 1 2 K mv 2 Quindi l’energia cinetica di un sistema è la somma di tanti addendi della forma 2 1 ognuno relativo ad una delle sue sue parti (supposte puntiformi). Vale 2m v inoltre il teorema dell’energia cinetica, secondo il quale il lavoro complessivamente svolto su di una particella è pari alla variazione della sua energia cinetica: Ltot K Come si misura l’energia potenziale di un sistema? Un sistema è in grado di incamerare energia potenziale solo nel caso in cui può compiere un tipo di lavoro tutto a spese (o a vantaggio) di un cambio nella sua configurazione. Un lavoro pagato solo con una variazione nella configurazione non può dipendere dalla traiettoria seguita per andare dalla situazione iniziale a quella finale, come invece accede genericamente. Infatti le possibili traiettorie che conducono da uno stato all’altro sono infinite: se il lavoro dipendesse dal tragitto seguito dai punti di applicazione delle forze, potremmo ottenere infiniti valori diversi del lavoro pur a parità di configurazione finale. Possiamo introdurre un’energia potenziale solo se fra le parti del sistema agiscono delle particolari forze, dette conservative, il cui lavoro non dipende dalla traiettoria ma unicamente da quali sono la configurazione iniziale e finale del sistema. In questo caso si sceglie una configurazione di riferimento R e si definisce energia potenziale U del sistema nello 2 stato A , il lavoro che le forze conservative interne svolgono quando esso si porta da A nello stato R: U A LAR Si può inoltre dimostrare che il lavoro delle forze conservative LC quando il sistema passa da una configurazione ad un’altra differente è pari alla variazione nell’energia potenziale cambiata di segno: LC U La forza di Coulomb è conservativa? Si, la forza elettrostatica è conservativa. Per dimostrarlo poniamoci in una regione di spazio che sia sede di una forza Coulombiana FE dovuta ad una carica puntiforme positiva Q . In un punto A vi sia un’altra carica puntiforme q , così piccola rispetto a Q , da poter trascurare la sua azione nello spazio rispetto alla forza dovuta a Q . Poniamo anche che q sia negativa, ma il ragionamento che faremo si potrà ripetere anche nel caso di segno positivo. Supponiamo ora che la carica q si sposti dalla posizione A ad una nuova posizione B. Si faccia attenzione perché non si sta dicendo che è la forza elettrostatica dovuta a Q , ad essere la causa dello spostamento. In generale potremo pensare di prendere q con le nostre mani e di portala da A in B, e durante una tale operazione la forza elettrostatica potrebbe sia agevolarci che fare resistenza: dipenderà dalle posizioni A e B rispetto a Q . Costruiamo una quadrettatura dello spazio intorno a Q facendo uso solo di linee radiali e circolari. Supponiamo di muovere q da A in B spostandosi solamente lungo dei pezzettini di quadrettatura. In figura sono evidenziate due traiettorie di questo tipo, contrassegnate dai numeri 1 e 2, ma molte altre sono possibili. Il lavoro svolto dalla forza elettrostatica FE lungo uno qualsiasi degli archi circolari è chiaramente zero dato che FE è sempre diretta radialmente, e cioè perpendicolare in ogni punto a tutte le circonferenze centrate in Q . Durante uno spostamento radiale il lavoro dipende solo da quale anello della quadrettatura delimita il tratto, ma non dalla sua posizione entro di esso. Infatti sebbene la forza elettrica vari con l’inverso del quadrato della distanza da Q , essa ha simmetria sferica, e cioè ponendoci ad una fissata distanza r da Q , non ha alcuna importanza trovarsi sopra di essa o sotto, oppure ad est o a nord: misureremo sempre uguale intensità e quindi compirà lo stesso lavoro a parità di spostamento. Inoltre FE forma sempre con la traiettoria, un angolo di 0° se q si sta muovendo verso l’interno (e quindi cos 1 ) oppure di 180° se q si sta muovendo verso l’esterno (e quindi cos 1 ). Allora, se lungo la traiettoria vi sono tratti radiali percorsi prima in avanti e poi indietro, anche se non consecutivamente, il lavoro associato ai due spostamenti sarà uguale ed opposto, e nel complesso nullo. Pertanto il percorso che conta ai fini del lavoro netto di FE è solo la differenza fra il raggio della circonferenza dove si trova la posizione di arrivo e quello dove si trova la posizione di partenza. Questa 3 1 B q A 2 Q F Q s F s proprietà permette di concludere che quando spostiamo q da A in B il lavoro che FE compie è indipendente dal fatto che si segua la traiettoria 1 o la 2, e cioè non dipende, almeno un questo caso, dal percorso seguito. Questo dimostra che la forza elettrostatica è conservativa? Si: considerando una traiettoria qualunque, con una quadrettatura sufficientemente fitta, è possibile approssimarla con la precisione desiderata, con un percorso di tratti radiali e circolari. Con attenzione al dettaglio di ciò che succede negli spigoli, calcolare lavoro lungo la spezzata radiale e circolare è lo stesso che calcolarlo lungo la traiettoria curva. Grazie al principio di sovrapposizione poi, qualunque sia la configurazione che origina la forza elettrostatica (uno strato piano, un filo carico, un corpo irregolare) essendo questa il risultato della azione di tante cariche puntiformi, ed essendo conservative tutte le singole forze elettrostatiche corrispondenti, lo sarà anche la forza dovuta all’intera distribuzione di carica1. Dalla conservatività discende poi la possibilità di introdurre un’energia potenziale elettrostatica. R E 1 q r 2 3 A Come è definita l’energia potenziale elettrostatica? La definizione di un’energia potenziale richiede una configurazione di riferimento, come si fa quando diamo una distanza riferendoci alla posizione a partire dalla quale è stata misurata. Non avrebbe senso dire semplicemente “la mia distanza è 4 km”, dobbiamo riferirci a qualcosa. In questo modo, in qualunque punto A nella regione di spazio sede di campo elettrico, si trovi una carica puntiforme q , potremo associare ad esso, senza ambiguità, il lavoro LAR che le forze elettrostatiche svolgono se qualcuno prende la carica q e la porta da A nella posizione di riferimento R. Visto infatti che tale lavoro non dipende dalla traiettoria che si decide di seguire, non è necessario specificare altro. Individuando quindi ogni posizione dello spazio con un vettore r , avremo la possibilità di costruire una funzione U (r ) , detta energia potenziale elettrostatica della carica2 puntiforme q rispetto alla posizione di riferimento R: Energia potenziale elettrostatica U (r ) di una carica puntiforme q che si trovi in un punto dello spazio individuato da un vettore r , è il lavoro che la forza elettrostatica compie quando q si sposta, da dove sta, in una posizione scelta come riferimento. Come si sceglie la configurazione di riferimento? La configurazione di riferimento che più conviene è quella dove la carica di cui si sta calcolando l’energia potenziale si trova libera dall’influenza di ogni altra carica. Tale scelta è coerente con l’interpretazione dell’energia come capacità di 1 Va osservato che la caratteristica della forza elettrostatica di essere conservativa è stata dimostrata facendo unicamente uso del fatto di essere centrale, cioè di dipendere solo dalla distanza da un punto. In linea di principio, per qualunque forza centrale, come ad esempio la forza gravitazionale, si può ripetere il ragionamento. Più propriamente l’energia potenziale è associata al sistema formato dalla carica q e dalle altre che producono il campo. Tuttavia delle altre cariche è noto solo l’effetto che producono tramite il campo, ed essendo q l’unica parte mobile si può parlare anche di energia potenziale associata alla carica q. 2 4 spostare le forze, cioè di cambiare configurazioni e stati di moto: quando l’interazione è nulla, sarà nulla anche la capacità di modificare le cose che ad essa è associata. Dato che la forza coulombiana decresce con l’inverso del quadrato della distanza, essa si annulla solo a distanza infinita, pertanto porremo come posizione di riferimento quella in cui la carica in oggetto è a distanza infinita da tutte le altre. In base alla nostra definizione avremo che l’energia potenziale nella configurazione di riferimento dovrà essere zero perché, se la carica q già si trova in R, evidentemente nessuno spostamento deve essere fatto per portarcela e quindi nessun lavoro viene compiuto dalla forza elettrostatica. Chiaramente ad una scelta differente della posizione di riferimento corrisponderà un valore differente dell’energia potenziale. Questo non è un problema perché nella formula per il calcolo del lavoro L U figura solo la differenza di energia potenziale, che non dipende dalla configurazione di riferimento. Esempio 1 In una regione sede di campo elettrico viene mantenuta ferma una carica puntiforme di massa m 15 g in un punto A dove ha energia potenziale U A 30 J . Quando la carica viene liberata, inizia a muoversi sotto l’azione delle sole forze del campo elettrico. Quanto lavoro ha eseguito la forza elettrica nel momento in cui la carica passa per una una posizione B dove la sua energia potenziale è U B 10 J ? Quant’è la sua velocità in quell’istante? Il lavoro delle forze conservative è dato dalla variazione di energia potenziale cambiata di segno quindi: LAB U U A U B 30 J 10 J 20 J Dal teorema di conservazione dell’energia si ha: U K Lest dove Lest è il lavoro delle forze esterne al sistema cui è associata l’energia potenziale, in questo caso la carica che si muove e la distribuzione delle altre cariche che genera il campo. Poiché è specificato che la carica è solo sotto l’effetto delle forze del campo elettrico si ha Lest 0 , da cui: 2 U K 0 (U B U A ) ( 12 m vB 0) 0 1 2m vB 2 U A U B vB 2 20 m/s 51.6 m/s 15 103 Quali conseguenze pratiche ha la conservatività della forza elettrostatica? Se per assurdo la forza coulombiana non fosse conservativa potremmo sfruttarla come sorgente illimitata di energia. Infatti immaginiamo di trovarci in una regione sede di campo elettrico, ad esempio costante verso il basso come nello spazio fra le armature di un condensatore. Poniamo che quando una carica q si sposta dalla posizione A alla posizione B, la forza elettrostatica compia un lavoro di 3 J lungo la traiettoria rettilinea in figura, ed un lavoro differente, di 4 J lungo la traiettoria curvilinea. Allora potremmo portare in alto q seguendo il percorso rettilineo, in modo da spendere 3 J di lavoro contro la forza elettrostatica (è il minimo che occorre 5 E B 3J 4J q A per farla arrivare ferma in cima). Quassù costruiremmo una guida curva avente la forma della seconda traiettoria e lasceremmo rotolare q lungo di essa: arriverebbe in fondo con un’energia cinetica pari al lavoro del peso, e cioè 4 J . Ci sarebbe per noi un guadagno netto di 1 J di energia ogni volta, e la possibilità di ripetere il percorso all’infinito, cioè disporremmo di una sorgente energetica inesauribile! Quanto lavoro compie la forza elettrostatica lungo un percorso chiuso? Immaginiamo di costruire un dispositivo a girandola, come quello in figura, dove delle sfere cariche sono sostenute da bracci isolanti liberi di ruotare. Esso non potrebbe mai mettersi in moto e continuare a girare sotto l’azione solo di un campo elettrostatico. In caso contrario infatti al termine del primo giro ciascuna delle sfere tornerebbe al punto di partenza con un’energia cinetica che prima non aveva, ed in base al teorema di conservazione dell’energia U K 0 questa dovrebbe essere presa dalla variazione U di energia potenziale elettrostatica. Ma al termine del giro non può che essere U fin U in (e quindi U 0 ) dato che l’energia potenziale dipende solo dalla posizione della carica nel campo, ed in questo caso posizione iniziale e finale coincidono. Da questo: (U fin U in ) (K fin Kin ) 0 E C (E ) 0 C (E ) 0 K fin Kin Il dispositivo non può quindi variare la sua energia cinetica3 solo per l’azione di un campo elettrostatico: se è inizialmente fermo, rimane fermo, e se già sta girando, il campo elettrostatico non è in grado né di rallentarne né di accelerarne la rotazione. Il fatto che U 0 su di un percorso chiuso, cioè che la forza elettrostatica non può compiere lavoro su di un percorso chiuso, è una via alternativa per enunciarne la conservatività. Come sappiamo anche la gravità è una forza conservativa, ed analogamente non ci aspetteremmo mai che una girandola possa mettersi in moto soltanto sotto l’azione del suo peso. Anzi, quando ci troviamo in presenza di questi fenomeni, immediatamente pensiamo a dispositivi artificiali che li producano (ad esempio la pompa che fa girare l’acqua in un presepio). Indicando quindi con il nome di circuitazione C (E ) il lavoro della forza elettrostatica su di una carica unitaria che segue un percorso chiuso (si tratta quindi del lavoro del campo elettrico, che è la forza per unità di carica), possiamo dire che: La circuitazione del campo elettrostatico è zero: C (E ) 0 cioè il campo elettrostatico non può mettere in moto una carica inizialmente ferma e farle percorrere una traiettoria chiusa. Se per caso lo facesse sarebbe un’indicazione del fatto che il campo elettrico all’origine del fenomeno non è prodotto da una configurazione statica di cariche. Analogamente, come vedremo, per far circolare delle cariche in un qualunque circuito elettrico, è necessario un dispositivo elettromotore, come la pila, che possa compiere lavoro lungo un percorso chiuso, rifornendo le cariche dell’energia che vanno dissipando nel tragitto 3 6 Quale espressione ha l’energia potenziale nel campo di una carica puntiforme? Il calcolo del lavoro LAB della forza elettrostatica esercitata da una carica puntiforme Q su di una piccola carica q , relativamente ad uno spostamento radiale da distanza rA fino ad una maggiore distanza rB , è reso difficile dal fatto che la forza elettrostatica varia di intensità lungo la traiettoria. Nella formula per il calcolo del lavoro su un tratto rettilineo: L F s cos possiamo sostituire s rB rA e cos 1 ( 0 in quanto sia la forza elettrica che lo spostamento sono radiali verso l’esterno). Però non sappiamo cosa mettere al posto di F kQq / r 2 dato che il valore di r cambia da rA ad rB e con esso cambia l’intensità della forza elettrica lungo lo spostamento. Se quindi sostituiamo nella formula il valore massimo kqQ / rA2 assunto dalla forza otteniamo un lavoro troppo grande, e se sostituiamo il minimo kqQ / rB2 un lavoro troppo piccolo, cioè: k s rB rA Qq Qq (rB rA ) LAB k 2 (rB rA ) rB2 rA rB Useremo allora un valore intermedio approssimato, ponendo al posto di r 2 il prodotto delle distanze massima e minima: q rA 2 r rArB il risultato sarà tanto migliore4 quanto più le due posizioni sono vicine fra loro: LAB Q rB rA Qq kQq 1 1 k (rB rA ) kQq rArB rA rB rA rB rA rB Questa formula puo essere applicata anche al caso di due posizioni molto distanti fra loro, semplicemente suddividendo la traiettoia fra rA ed rB in piccoli spostamenti, prima da rA ad r1 , poi da r1 ad r2 , eccetera, così brevi da poter applicare a ciascuno il risultato trovato prima. Si ottiene una serie di addendi della forma 1/ r ciascuno prima sommato e poi sottratto, in modo che dopo le semplificazioni rimangono solo i valori iniziale e finale: 1 1 1 1 1 1 1 LAB kQq ... r1 r2 r2 r3 rB rA r1 Potremmo pensare di approssimare la distanza radiale r con la media aritmetica degli estremi: (rA rB )/ 2 , ma dovendo approssimare il valore del quadrato di r , la media geometrica degli 4 estremi dell’intervallo, rArB , risulta più accurata (come si conferma giungendo allo stesso risultato tramite l’uso del calcolo integrale). 7 Ed infine, avendo scelto come configurazione di riferimento quella in cui la carica q si trova infinitamente distante da tutte le altre, possiamo ottenere un’espressione per l’energia potenziale di q nel campo generato da Q calcolando il lavoro che la forza elettrica svolge quando rB : 1 1 Qq U (rA ) LA kQq k rA rA Esempio 2 Una carica puntiforme q 5.40 106 C viene respinta da un’altra carica puntiforme Q 3.50 105 C e si allontana progressivamente da essa. Quale lavoro ha compiuto la forza elettrostatica in un tratto in cui la distanza fra le due cariche è passata da 4.00 m a 7.00 m ? Applicando la formula trovata: 1 1 1 1 LAB kQq 8.99 109 3.50 105 5.40 106 J 4.00 7.00 rA rB QB 8.99 3.50 5.40 (0.250 0.143) 10956 J 15.9 J rAB rBC QA rAC Come si scrive l’energia potenziale di un sistema di cariche? Essendo l’energia una grandezza additiva, la formula è facilmente generalizzabile al caso in cui le cariche siano più di due semplicemente sommando le energie potenziali di tutte le coppie di particelle coinvolte. Ad esempio per tre cariche QA , QB , QC l’energia potenziale del sistema si scrive: QC energia potenziale elettrostatica 0 n n n n n n energia potenziale elettrostatica 0 Q Q Q Q Q Q U k A B A C B C r rAC rBC AB Qual è il significato del segno nell’energia potenziale elettrostatica? L’energia potenziale di un sistema rappresenta il lavoro che le forze del campo compirebbero qualora il sistema stesso venisse smembrato portando a distanza infinita una carica alla volta, mentre le altre rimangono congelate nella loro posizione originaria. Se, durante lo smembramento, le forze del campo compiono lavoro motore, vale a dire positivo, e quindi favoriscono il processo, il sistema ha energia potenziale positiva. Viceversa se compiono lavoro resistente, vale a dire negativo, e quindi per smembrare la distribuzione delle cariche occorre lavorare dall’esterno, allora l’energia potenziale è negativa. Quindi un sistema elettrico con U 0 è tenuto insieme dalle sue stesse forze e per smembrarlo bisogna faticare: si pensi ad esempio ad un elettrone che orbita attorno ad un nucleo atomico costituito solo da un protone, cioè un atomo di idrogeno. Si tratta di un sistema ad energia potenziale negativa: per sottrarre l’elettrone al nucleo bisogna esercitare una forza esterna e durante il procedimento di estrazione ed allontanamento il sistema stesso lavora in modo resistente. Viceversa, per tenere accostate due cariche dello stesso segno dobbiamo intervenire con un vincolo contro la repulsione elettrica, e, non 8 appena il vincolo viene meno, il sistema si smembra da solo portando le cariche a distanza reciproca infinita: la sua energia potenziale elettrica è positiva. Un esempio di questo secondo caso può essere il nucleo di un atomo, dove l’energia potenziale elettrica è positiva: sono le interazioni nucleari attrattive fra i protoni, la cosiddetta forza forte, a tenere insieme delle particelle con carica di segno concorde: in assenza di queste il nucleo si smembrerebbe. 9 La Controfisica E’ proprio l’energia potenziale elettrostatica ad esser liberata nelle esplosioni nucleari. Queste sono ottenute rendendo il nucleo più grande sparandogli altre particelle contro Una volta inglobate, il nucleo diviene più instabile a causa della maggiore distanza media a cui si portano i protoni. Al crescere della distanza infatti, l’attrazione nucleare forte che li tiene insieme diminuisce molto più rapidamente di quanto non faccia la repulsione elttrostatica. In un nucleo grande come quello di Uranio, già poco stabile di suo a causa della grande sparazione fra i nucleoni, l’aggiunta di nuove particelle fà si che si raggiunga una distanza media per cui la repulsione elettrostatica vince sull’attrazione forte e le particelle del nucleo schizzano via come proiettili.
