elettrostatica – esercizio n. 8 - Digilander

elettrostatica – esercizio n. 8
Una bacchetta di lunghezza L = 14,0 cm, uniformemente carica, è piegata a forma di
semicerchio. Se la bacchetta possiede una carica totale q = –7,50 µC, trovare
modulo e direzione del campo elettrico nel centro del semicerchio O.
R.: 2,16·107 N/C ;
y
dq
dE
dθ dEy
θ
O
dEx
x
r
Una carica infinitesima dq posta sulla sbarretta per una lunghezza infinitesima ds vale:
dq = λ ⋅ ds = λ ⋅ r ⋅ dθ
Il modulo del campo elettrico nel punto O, dovuto all’elemento di carica dq, vale:
dq
r2
Questo campo ha una direzione dEx = dE· cos θ lungo l’asse x dell’anello ed una
componente dEy perpendicolare all’asse. La componente perpendicolare di ogni elemento
si annulla con la componente perpendicolare dell’elemento sul lato opposto del
semianello, per cui le componenti perpendicolari del campo per l’intero anello danno un
contributo nullo ed il campo risultante in O deve giacere lungo l’asse delle x.
dE = k ⋅
Integrando si avrà:
E x = ∫ dE x = ∫ dE ⋅ cos θ = ∫ k ⋅
dq
⋅ cos θ =
r2
π
2
∫ k ⋅ cos θ ⋅
π
−
2
π
k ⋅λ
k ⋅λ
2⋅k ⋅λ
2
=
⋅ [ sen θ] π =
⋅ [1 + 1] =
−
r
r
r
2
Ricaviamo il valore del raggio r:
L = π ⋅r
L
r=
π
1
λ ⋅ r ⋅ dθ k ⋅ λ
=
⋅
r2
r
π
2
∫ cos θ ⋅ dθ =
−
π
2
elettrostatica – esercizio n. 8
Il campo elettrico varrà:
Ex =
2 ⋅ k ⋅ λ 2 ⋅ k ⋅ λ L 2 ⋅ k ⋅ q 2 ⋅ π ⋅ k ⋅ q 2 ⋅ π ⋅ k ⋅ q 2 ⋅ π ⋅ 8,99 ⋅ 109 ⋅ 7,5 ⋅ 10 −6
=
⋅ =
=
=
=
=
2
−2
r
r
L
r ⋅L
L ⋅L
L2
14
⋅
10
(
)
= 2,16 ⋅ 107 N / C
2