I logaritmi - Solo quello che ti interessa

Solo quello che ti interessa | Personaggi e nuovi paradigmi - John Napier e logaritmi
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Personaggi e nuovi paradigmi - John Napier e
logaritmi
- Quando vogliamo studiare oggetti concreti ci facciamo aiutare da strumenti
concreti: ad esempio i telescopi per l’astronomia o il microscopio per la
microbiologia.
- Anche in matematica esistono strumenti, solo che si trovano nell’ambito del
pensiero (possiamo considerarli come astrazioni più elevate: dall’astrazione
superiore studio gli oggetti del livello inferiore). Anche se immateriali, hanno
un alto livello di concretezza.
- Uno degli strumenti matematici più potenti che siano stati inventati sono i
logaritmi. Nati come strumenti di calcolo, sono diventati, grazie a Gauss, uno
strumento di osservazione fondamentale nell’indagine dei numeri primi.
- Il matematico teologo scozzese John Napier (noto anche come Giovanni
Nepero, 1550-1617) è passato alla storia per il suo contributo alla
semplificazione del calcolo moderno. Figlio di nobili, si interessò alla
matematica dopo un lungo viaggio in Europa, ma non fu un matematico di
professione. Quando tornò in Scozia, costruì un castello e fu lì che si dedicò ai
suoi misteriosi studi matematici.
- Napier appariva poche volte in pubblico, vestito di nero e con un gallo nero
appollaiato sulla spalla. Questa scenografia gli procurò la fama di stregone,
fama accresciuta anche dal fatto che ostentava una serie di conoscenze che
nessun altro possedeva.
- Napier si interessò anche di aritmologia e astrologia.
- Oltre ad essere un matematico dilettante, dedicò moto tempo allo studio dei
vangeli, specialmente l’Apocalisse di San Giovanni. Pubblicò a tal riguardo le
sue conclusioni nell’opera La semplice scoperta della rilevazione di San
Giovanni, con la quale intendeva dimostrare che il Papa era l’anticristo.
- In matematica si interessò delle figure geometriche su una superficie sferica
(quella che poi venne sviluppata come geometria e trigonometria sferica).
- A quel tempo i calcoli numerici erano effettuati ancora in modo estremamente
pesante, per tanto Napier volle dedicare del tempo a trovare dei sistemi che
permettessero di semplificare questa attività. A tal proposito Napier inventò
un dispositivo che consentiva di fare somme e moltiplicazione con una certa
facilità (una sorta di primitiva calcolatrice meccanica chiamata abaco di
Napier). Questo primitivo congegno usava delle lamine perforate, antesignane
delle schede perforate inventate 4 secoli più tardi nei primi calcolatori IBM.
- La più grande creazione di Napier furono però i logaritmi, un ingegnoso
metodo do calcolo.
- NOTA: a quei tempi i numeri decimali erano considerati numeri esotici e per
tanto si preferiva usare le frazioni. Fu Napier che difese l’uso della virgola
come segno di separazione delle cifre intere da quelle decimali, ma questa
scelta fu adattata solo molti decenni dopo.
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I logaritmi - Grazie ai logaritmi le operazioni di moltiplicazioni (molto più complesse)
possono essere trasformate in operazioni su somme (molto più semplici).
- L’idea di base è la seguente: supponiamo di avere 1.000=103 ,10.000=104 e
1.000.000=106 e supponiamo di voler calcolare 103×104×105, sappiamo che
possiamo sommare gli esponenti e dire che 103×104×106=103+4+6=1013,
abbiamo così trasformato una problema di moltiplicazione in uno di somma.
- A questo punto ci chiediamo “a quale numero x dobbiamo elevare 10 affinché
10x=1000 ?” Sappiamo che la risposta è 3. Questo valore si definisce il
logaritmo in base 10 di 1.000 e si denota con log10(1.000)=3, quando
siamo in base 10, tale valore si omette e basta scrivere log(1.000)=3.
- Quindi log(y) è quel valore x tale per cui 10x=y. Quindi quando dobbiamo fare
una moltiplicazione, usiamo i logaritmi e poi applichiamo l’antilogaritmo per
ottenere il risultato voluto. Ad esempio, come si può notare, è molto più
semplice fare somme che prodotti:
log(100×1.000)=log(100)+log(1.000)=2+3=5
applicando l’antilogaritmo troviamo che il risultato finale 100×1.000=105
- Grazie a questo principio possiamo dire, ad esempio che l’operazione 1.000*
100.000 è equivalente a 3+5=8.
- Quindi basta costruire una tabella del tipo:
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Per tanto fare la moltiplicazione dei termini della prima riga corrisponde a fare la
somma dei corrispondenti termini della seconda riga.
- Questo ragionamento lo possiamo fare con qualunque base, ad esempio se
sopra scriviamo la serie geometrica in base 2:
Per calcolare 8×128, basterà calcolare la somma corrispondente 3+7=10 e quindi
calcolare 210.
- In modo analogo è possibile calcolare le divisioni, in tal caso l’operazione da
effettuare nella seconda riga è la sottrazione. Ad esempio per calcolare
256/8, basta fare 8-3=5 e quindi il risultato sarà 25=32. In questi calcoli
usiamo la base 2, quindi si scriverà
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log2(8×128)= log2(8)+log2(128)=3+7=10
log2(256/8)= log2(256)-log2(8)=8+3=5
- Definizione. Il logaritmo in base b di un numero y è quel numero x tale
per cui bx=y e si scrive logb(y)=x (x è il logaritmo in base b di y).
Letteralmente è un nome che mette insieme le parole ragione e numero e
quindi il termine logaritmo significa numero della ragione.
- L’obiettivo di Napier era quello di usare questi calcoli per sveltire le operazioni
nella trigonometria sferica e la sua idea di logaritmo era inizialmente applicata
alle funzioni trigonometriche.
- Napier lavorò con logaritmi in base 107, e si trascinava il fatto scomodo che
log 1=0 (100=1). L’incontro con Henry Briggs (1561-1530) permise di definire
il 10 come base dei logaritmi e confermare che log 1=0.
- Poco l’incontro con Napeir (che morì l’anno dopo), Briggs pubblico le tavole
logaritmiche e diede la definizione di logaritmo come noi la conosciamo.
- Nelle prime tavole logaritmiche (1617) erano presenti i logaritmi da 1 a 1.000,
con una precisione di 14 decimali. Sette anni dopo la le tavole avevano valori
compresi tra 1 e 100.000. - Le tavole logaritmiche segnarono una svolta nella storia della matematica.
Inoltre queste tavole avevano al fondo una lista di numeri primi, la ragione è la
seguente: se qualunque numero può essere rappresentato come prodotto di
fattori primi, la cosa più logica è calcolare prima il logaritmo dei numeri primi e
poi ottenere i logaritmi degli altri numeri, mediante semplici somme.
- Nelle tavole logaritmiche, quindi, si trovavano due concetti (logaritmi e numeri
primi) apparentemente non connessi, ma dalla loro alchimia, Gauss riuscì ad
individuare uno dei teoremi più interessanti dell’algebra, anche se non fu lui a
dimostrarlo: il teorema dei numeri primi.
- NOTA: Le tavole logaritmiche furono molto utili nella navigazione marittima. I
marinai utilizzavano carte astronomiche frutto di complessi calcoli
trigonometrici, che richiedevano ore, giorni e persino anni di lavoro. Laplace
disse: “Grazie al lavoro di Napier, la vita degli astronomi si è allungata del
doppio”. page 4 / 4