Limiti di funzioni razionali fratte e di funzioni irrazionali

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Quaderni di Analisi Matematica – 2016
Limiti di funzioni razionali fratte e di funzioni
irrazionali
Marcello Colozzo
y
+¥
x®5-
x®5+
x0 =5
-¥
x
INDICE
Indice
1 Funzioni razionali fratte
1.1 Rapporti che non si presentano in forma indeterminata . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Forma indeterminata 00 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∞
1.3 Forma indeterminata ∞
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
3
7
2 Funzioni irrazionali
13
0
2.1 Forma indeterminata 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Forme indeterminate ∞
e 0 · ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
∞
2.3 Forma indeterminata ∞ − ∞. Fattore razionalizzante. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Esercizi di riepilogo
30
Bibliografia
34
1
1 FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
1
Funzioni razionali fratte
1.1
Rapporti che non si presentano in forma indeterminata
Esercizio 1 Calcolare:
x2 − 5x + 10
x→5
x2 − 25
lim
Soluzione
x2 − 5x + 10
25 − 25 + 10
10
=
=
2
x→5
x − 25
25 − 25
0
Dobbiamo distinguere i due casi: x → 5− , x → 5+ , cioè determinare il limite destro e il limite
sinistro. È conveniente studiare il segno del denominatore in un intorno di x0 = 5.
lim
x2 − 25 > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, −5) ∪ (5, +∞) ,
onde:
lim+ x2 − 25 = 0+ ,
lim− x2 − 25 = 0− ,
x→5
x→5
per cui
10
x2 − 5x + 10
= − = −∞
2
x→5
x − 25
0
2
x − 5x + 10
10
= + = +∞
lim+
2
x→5
x − 25
0
lim−
Ne concludiamo che la funzione
positivamente a destra.
x2 −5x+10
x2 −25
è divergente negativamente a sinistra di x0 = 5, e divergente
Esercizio 2 Calcolare:
x2 + 20x − 7
x→−2
4 − x2
lim
Soluzione
4 − 40 − 7
43
x2 + 20x − 7
=
=−
lim
2
x→−2
4−x
4−4
0
Dobbiamo procedere come nell’esercizio precedente, ossia distinguere i due casi: x → −2− , x → −2+ .
Studiamo perciò il segno del denominatore in un intorno di x0 = −2.
4 − x2 > 0 ⇐⇒ x2 − 4 < 0 ⇐⇒ x ∈ (−2, 2) ,
onde:
lim − 4 − x2 = 0− ,
lim + 4 − x2 = 0+ ,
x→−2
per cui
x→−2
x2 + 20x − 7
43
=
−
= − (−∞) = +∞
x→−2
4 − x2
0−
43
x2 + 20x − 7
= − + = − (+∞) = −∞
lim +
2
x→−2
4−x
0
lim −
Ne concludiamo che la funzione x
divergente negativamente a destra.
2 +20x−7
4−x2
è divergente positivamente a sinistra di x0 = −2, e
2
1 FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
1.2
Forma indeterminata
0
0
Esercizio 3 Calcolare:
x2 − 3x + 2
x→2 x2 + x − 6
λ = lim
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata
nazione osserviamo che:
(1)
0
.
0
Per rimuovere l’indetermi-
x2 − 3x + 2 = (x − 1) (x − 2)
x2 + x − 6 = (x + 3) (x − 2) ,
onde:
x−1
1
=
x→2 x + 3
5
λ = lim
Esercizio 4 Calcolare:
x2 − x − 6
x→−2 x3 + 5x2 + 8x + 4
λ = lim
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata
nazione osserviamo che:
(2)
0
.
0
Per rimuovere l’indetermi-
x2 − x − 6 = (x − 3) (x + 2)
x3 + 5x2 + 8x + 4 = (x + 2)2 (x + 1) ,
cosicchè:
x−3
−5
=
x→−2 (x + 1) (x + 2)
0
λ = lim
Occorre dunque stabilire il segno del denominatore (x + 1) (x + 2). Risulta:
(x + 1) (x + 2) = x2 + 3x + 2,
onde
x2 + 3x + 2 = 0 ⇐⇒ x = −2, −1,
da cui il segno:
x2 + 3x + 2 > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, −2) ∪ (−1, +∞)
Ciò implica:
x → −2− =⇒ (x + 1) (x + 2) → 0+
x → −2+ =⇒ (x + 1) (x + 2) → 0−
Allora:
−5
5
x−3
= + = − + = − (+∞) = −∞
lim −
x→−2 (x + 1) (x + 2)
0
0
x−3
−5
5
lim +
= − = − − = − (−∞) = +∞
x→−2 (x + 1) (x + 2)
0
0
Ne concludiamo che la funzione assegnata è divergente negativamente a sinistra di x0 = −2, e
divergente positivamente a destra di x0 = 2. Ciò è illustrato nel grafico di fig. (1).
3
1 FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
y
+¥
x®5-
x®5+
x0 =5
x
-¥
Figura 1: La retta verticale x = 5 è asintoto verticale per il grafico della funzione f (x) =
x2 −5x+10
.
x2 −25
Esercizio 5
Quindi:
f (x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−2, −1) ∪ (3, +∞)
lim f (x) = −∞,
x→−2−
lim f (x) = +∞
x→−2+
Esercizio 6 Calcolare:
x4 − 8x2 + 16
(3)
x→2
x3 − 8
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 00 . Per rimuovere tale indeterminazione procediamo come segue:
2
x4 − 8x2 + 16 = x2 − 4 = (x − 2)2 (x + 2)2
x3 − 8 = (x − 2) x2 + 2x + 4 ,
λ = lim
onde:
0·4
(x − 2) (x + 2)
=
=0
2
x→2 x + 2x + 4
4+4+4
λ = lim
Esercizio 7 Calcolare:
x2 − 2x
(4)
x→2 x2 − 4x + 4
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 00 . Per rimuovere tale indeterminazione procediamo come segue:
λ = lim
x2 − 2x = x (x − 2)
x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 ,
onde:
2
x
=
x→2 x − 2
0
x
Occorre dunque stabilire il segno del rapporto f (x) = x−2 . Risulta:
λ = lim
f (x) > 0 ⇐⇒ x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, +∞)
4
1 FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
Quindi:
lim f (x) = −∞, lim+ f (x) = +∞
x→2−
x→2
Esercizio 8 Calcolare:
x3 − 3x + 2
x→1 x4 − 4x + 3
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 00 . Per rimuovere tale indeterminazione procediamo come segue:
λ = lim
x3 − 3x + 2 = (x − 1)2 (x + 2)
onde:
x4 − 4x + 3 = (x − 1)2 x2 + 2x + 3 ,
λ = lim
x→1 x2
1
x+2
=
+ 2x + 3
2
Esercizio 9 Calcolare:
x2 − 1
x→1 x2 − 3x + 2
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 00 . Per rimuovere tale indeterminazione procediamo come segue:
λ = lim
x2 − 1 = (x − 1) (x + 1)
x2 − 3x + 2 = (x − 2) (x − 1) ,
onde:
x+1
= −2
x→1 x − 2
λ = lim
Esercizio 10 Sia data una funzione f (y) la cui espressione analitica è il risultato della seguente
operazione di passaggio al limite:
x2 − (y + 1) x + y
x→y
x3 − y 3
f (y) = lim
(5)
Dopo aver determinato f (y), calcolare:
lim f (y)
y→0
Soluzione
Il limite a secondo membro della (5) si presenta nella forma indeterminata 00 , che può essere
rimossa con il solito procedimento, ovvero riducendo in fattori numeratore e denominatore, per poi
semplificare. Abbiamo:
x2 − (y + 1) x + y = (x − 1) (x − y) , x3 − y 3 = (x − y) x2 + xy + y 2
Sostituendo nella (5):
x−1
+ xy + y 2
y−1
= 2
y + y2 + y2
y−1
=
3y 2
f (y) = lim
x→y x2
5
1 FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
Ne consegue
1
1−y
1
lim f (y) = − lim 2 = −
y→0
3 y→0 y
3
1
0+
= − (+∞) = −∞
Cioè f (y) diverge negativamente per y → 0. Come possiamo risolvere tale problema con Mathematica? Per rispondere a questa domanda, cerchiamo di elaborare una routine che accetta una generica
funzione di due variabili f1 (x, y) tale che f1 (y, y) dà luogo alla forma indeterminata 00 , per cui:
f (y) = lim f (x, y)
x→y
La routine può essere prelevata al seguente link.
Esercizio 11 Calcolare:
(x + h)2 − x2
h→0
h
lim
Soluzione. Risulta:
0
(x + h)2 − x2
=
lim
h→0
h
0
Sviluppando il numeratore e semplificando:
(x + h)2 − x2
= lim (2x + h) = 2x
h→0
h→0
h
lim
Esercizio 12 Calcolare:
x3 − 3x2 + 4
x→2 x3 − 2x2 − 4x + 8
lim
Soluzione
Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 00 . Riesce:
x3 − 3x2 + 4 = (x + 1) (x − 2)2
x3 − 2x2 − 4x + 8 = (x − 2)2 (x + 1) ,
per cui:
x+1
3
x3 − 3x2 + 4
= lim
=
3
2
x→2 x + 2
x→2 x − 2x − 4x + 8
4
lim
Esercizio 13 Calcolare
x2 − 1
x→−1 x2 + 3x + 2
lim
Soluzione
Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 00 . Riesce:
x2 − 1 = (x − 1) (x + 1)
x2 + 3x + 2 = (x + 1) (x + 2) ,
per cui
x−1
x2 − 1
= lim
= −2
2
x→−1 x + 2
x→−1 x + 3x + 2
lim
6
1 FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
Esercizio 14 Calcolare
x2 − 2x
x→2 x2 − 4x + 4
lim
Soluzione
Abbiamo
x
0
2
x2 − 2x
= = lim
=
2
x→2 x − 4x + 4
0 x→2 x − 2
0
lim
Osserviamo che
lim (x − 2) = 0− , lim+ (x − 2) = 0+ ,
x→2−
x→2
per cui
x
2
= − = −∞
x→2 x − 2
0
x
2
= + = +∞
lim+
x→2 x − 2
0
lim−
Esercizio 15 Calcolare
x3 − 3x + 2
x→1 x4 − 4x + 3
lim
Soluzione
Abbiamo:
1−3+2
0
x3 − 3x + 2
=
=
4
x→1 x − 4x + 3
1−4+3
0
lim
Riesce:
x3 − 3x + 2 = (x − 1)2 (x + 2)
x4 − 4x + 3 = (x − 1)2 x2 + 2x + 3
Pertanto:
x3 − 3x + 2
x+2
1
= lim 2
=
4
x→1 x − 4x + 3
x→1 x + 2x + 3
2
lim
1.3
Forma indeterminata
∞
∞
Esercizio 16 Studiare il comportamento all’infinito della seguente funzione
f (x) =
3x3 + 4x2 + x − 1
,
x4
per poi elaborare una routine in ambiente Mathematica.
Soluzione.
Si tratta di calcolare i limiti:
lim f (x) , lim f (x)
x→+∞
x→−∞
Iniziamo a calcolare il primo:
x3 3 + x4 + x12 − x13
3x3 + 4x2 + x − 1
∞
lim
= lim
=
x→+∞
x4
∞ x→+∞
x4
1
1
4
3 + x + x2 − x3
3+0
=
= 0+
= lim
x→+∞
x
+∞
7
1 FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
Similmente:
3 + x4 + x12 − x13
3+0
3x3 + 4x2 + x − 1
= lim
=
= 0−
lim
4
x→−∞
x→−∞
x
x
−∞
La routine in ambiente Mathematica per il calcolo di limiti di questo tipo, può essere prelevata al
seguente link.
Esercizio 17 Studiare il comportamento all’infinito della seguente funzione
f (x) =
109 x
x2 − 1
Soluzione.
Si tratta di calcolare i limiti:
lim f (x) ,
x→+∞
lim f (x)
x→−∞
Iniziamo a calcolare il primo:
109 x
x
= 109 lim
2
x→+∞ x − 1
x→+∞ x 1 − 12
x
1
= 109
(+∞) (1 − 0)
9
10
= 0+
=
+∞
lim
Similmente:
109 x
x
lim
= 109 lim
x→−∞ x2 − 1
x→−∞ x 1 − 12
x
1
= 109
(−∞) (1 − 0)
9
10
= 0−
=
−∞
Esercizio 18 Studiare il comportamento all’infinito della seguente funzione
f (x) =
x2 − 5x + 1
3x + 7
Soluzione.
Si tratta di calcolare i limiti:
lim f (x) ,
x→+∞
lim f (x)
x→−∞
Iniziamo a calcolare il primo:
x 1 − x5 +
∞
= lim
lim f (x) =
x→+∞
∞ x→+∞
3 + x7
(+∞) (1 − 0 + 0)
=
3+0
= +∞
8
1
x2
1 FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
Similmente:
x 1 − x5 +
∞
= lim
lim f (x) =
x→−∞
∞ x→−∞
3 + x7
(−∞) (1 − 0 + 0)
=
3+0
= −∞
1
x2
Esercizio 19 Studiare il comportamento all’infinito della seguente funzione
(x + 1)2
f (x) = 2
x +1
Soluzione.
Si tratta di calcolare i limiti:
lim f (x) ,
x→+∞
lim f (x)
x→−∞
Iniziamo a calcolare il primo:
x 1 + x1
∞
= lim
lim f (x) =
x→+∞
∞ x→+∞ x2 1 + x12
1 + 0+
=
1 + 0+
= 1+
Similmente:
1 + x1
∞
= lim
∞ x→−∞ 1 + x12
1 + 0−
=
1 + 0−
1−
= + = 1−
1
lim f (x) =
x→+∞
Esercizio 20 Studiare il comportamento all’infinito della seguente funzione
f (x) =
2x2 − x + 3
x3 − 8x + 5
Soluzione.
Si tratta di calcolare i limiti:
lim f (x) ,
x→+∞
lim f (x)
x→−∞
Iniziamo a calcolare il primo:
lim f (x) =
x→+∞
2 − 1 + 32
∞
= lim x x ∞ x→+∞ x 1 − 8 5
x2 +
+
+
2−0 +0
(+∞) (1 − 0+ + 0+ )
2
=
= 0+
+∞
=
9
x3
1 FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
Similmente
2 − x1 + x32
∞
= lim lim f (x) =
x→−∞
∞ x→−∞ x 1 − 8 5
x2 +
x3
2
=
= 0−
−∞
Esercizio 21 Studiare il comportamento all’infinito della funzione:
f (x) =
(2x + 3)3 (3x − 2)2
x5 + 5
Soluzione
Si tratta di calcolare i limiti:
lim f (x) ,
x→+∞
lim f (x)
x→−∞
Iniziamo con il primo:
3
2
x3 2 + x3 x2 3 − x2
∞
= lim
lim f (x) =
x→+∞
∞ x→+∞
x5 1 + x55
3
2
2 + x3
3 − x2
= lim
x→+∞
1 + x55
3
2
(2 + 0+ ) (3 − 0+ )
1 + 0+
8+ · 9−
= 72+
=
+
1
=
Similmente:
lim f (x) =
x→−∞
∞
∞
= lim
2+
3 3
x
1+
x→∞
3
3−
5
x5
− 2
2 2
x
(2 + 0− ) (3 − 0 )
1 + 0+
8− · 9−
= 72−
=
−
1
=
Esercizio 22 Calcolare:
4x5 + 7x4 + 1
x→±∞
2x5 + 7
lim
Soluzione. Abbiamo:
x5 4 + x7 + x15
4x5 + 7x4 + 1
∞
=
=
lim
lim
x→±∞
2x5 + 7
∞ x→±∞ x5 2 + x75
=2
10
1 FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
Esercizio 23 Calcolare:
x3 + 1
x→±∞ x2 − 1
lim
Soluzione. Abbiamo:
x3 1 +
∞
x3 + 1
=
= lim
lim
x→±∞ x2 − 1
∞ x→±∞ x2 1 −
= lim x = ±∞
x→±∞
Esercizio 24 Calcolare:
1
x3 1
x2
x4 + 1
x→±∞ x2 − 1
lim
Soluzione. Abbiamo:
x4 1 +
∞
x4 + 1
=
= lim 2
lim 2
x→±∞ x − 1
∞ x→±∞ x 1 −
= lim x2 = +∞
x→±∞
1
x3 1
x2
Di seguito un esercizio sulla forma indeterminata ∞ − ∞:
Esercizio 25 Calcolare:
lim
x→1
Soluzione. Abbiamo:
lim
x→1
3
1
−
1 − x 1 − x2
1
3
−
1 − x 1 − x2
= ∞ − ∞ = lim
x→1
1
=− ,
0
1+x−3
1 − x2
occorre dunque distinguire i due casi x → 1+ , x → 1− . Studiando il segno del rapporto
trova:
1+x−3
= +∞
x→1
1 − x2
1+x−3
lim−
= −∞
x→1
1 − x2
lim+
Esercizio 26 Calcolare
x2 − x + 1
x→±∞
x
lim
Soluzione. Abbiamo:
x2 − x + 1
∞
=
x→±∞
x
∞
lim
x2 3 +
= lim 2
x→±∞ x
4+
3
=
4
11
1
x
1
x
−
−
1
x2 1
x2
1+x−3
,
1−x2
si
1 FUNZIONI RAZIONALI FRATTE
Esercizio 27 Calcolare
lim
x→±∞ x2
x−2
+x+2
Soluzione. Abbiamo:
∞
x−2
=
x→±∞ x2 + x + 2
∞
lim
x 1 − x2
= lim 2
x→±∞ x
1 + x1 + x2
1
+∞, se x → +∞
=
= lim
−∞, se x → −∞
x→±∞ x
Esercizio 28 Calcolare
(5x + 1)3 (2x − 1)
lim
x→±∞
x5 + 5
Soluzione. Abbiamo:
(5x + 1)3 (2x − 1)
∞
lim
=
5
x→±∞
x +5
∞
3
2 − x1
x3 5 + x1
= lim
x→±∞
x5 1 + x5
= 500
Esercizio 29 Calcolare
ax2 + bx + c
, con a, b 6= 0
x→+∞
mx + n
lim
Soluzione. Abbiamo:
ax2 + bx + c
∞
lim
=
x→+∞
mx + n
∞
x2 a + xb + xc2
= lim
x→+∞
x m + nx
a
a
+∞, se
· lim x =
· (+∞) =
=
−∞, se
m x→+∞
m
Esercizio 30 Calcolare
2x2 − x + 5
x→−∞ x3 − 4x + 1
lim
Soluzione. Abbiamo:
∞
2x2 − x + 5
=
3
x→−∞ x − 4x + 1
∞
lim
x2 2 − x1 + x52
= lim
x→−∞ x 1 − 42 + 13
x
x
1
= 2 · 0− = 0−
= 2 · lim
x→−∞ x
12
a
m
a
m
>0
<0
2 FUNZIONI IRRAZIONALI
2
Funzioni irrazionali
2.1
Forma indeterminata
0
0
Si cerca di razionalizzare il numeratore e/o il denominatore.
Esercizio 31 Calcolare:
√
1− x
λ = lim
x→1 1 − x
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 00 .
Metodo 1
Razionalizziamo il numeratore:
√
√
1− x 1+ x
1−x
1
√ =
√ =
√ ,
·
1−x 1+ x
(1 − x) (1 + x)
1+ x
onde:
1
1
√ =
x→1 1 +
2
x
λ = lim
Metodo 2
√
√
Il denominatore è la differenza di due quadrati: 1 − x = (1 − x) (1 + x), per cui:
√
1− x
1
1
√ =
lim
= lim
x→1 1 − x
x→1 1 +
2
x
Esercizio 32 Calcolare:
√
x + 2 − 2x
√
λ = lim
x→2
x−2
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 00 . Razionalizziamo il numeratore,
poichè è proprio questo termine a dar luogo all’indeterminazione:
√
√
√
√
√
√
x + 2 − 2x
x + 2 − 2x
x + 2 + 2x
√
√
√
=
·√
x−2
x−2
x + 2 + 2x
x−2
1
√
= −√
·√
x−2
x + 2 + 2x
| √{z }
√
= x−2
= −√
x−2
√ ,
x + 2 + 2x
cosicchè:
λ = − lim √
x→2
Esercizio 33 Calcolare:
√
√
x−2
√ =0
x + 2 + 2x
√
x+1−2 x
λ = lim
x→1
(x − 1)2
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 00 . Osserviamo che
2
√
√
x+1−2 x=
x−1 ,
per cui:
√
2
( x − 1)
1
=
λ = lim √
√
x→1 ( x − 1)2 ( x + 1)2
4
13
2 FUNZIONI IRRAZIONALI
Esercizio 34 Calcolare:
λ = lim
√
3
x→1
x−1
x−1
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 00 . Il denominatore è la differenza di
due cubi:
√
√
√ 3
√
3
x − 1 = 3 x − 13 = 3 x − 1
x2 + 3 x + 1 ,
cosicchè:
√
3
x−1
1
√
=
λ = lim √
√
3
x→1 3
3
( x − 1)
x2 + 3 x + 1
Esercizio 35 Sia data la funzione:
√
x2 − a2 + x2 (x − a)
,
fa (x) = p
√
x (x − a) + x2 − a2
essendo a un parametro reale positivo. Calcolare
λ (a) = lim fa (x)
x→a
(6)
Soluzione. Determiniamo innanzitutto l’insieme di definizione di fa (x). Si tratta di risolvere:

 x (x − a) ≥ 0
p
√
x 2 − a2 ≥ 0
x (x − a) + x2 − a2 6= 0 ⇐⇒
(7)

2
2
x (x − a) 6= x − a
Risulta:
x (x − a) ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ X1 = (−∞, 0] ∪ [0, +∞)
x2 − a2 ≥ 0 ⇐⇒ x ∈ X2 = (−∞, −a] ∪ [a, +∞)
x (x − a) 6= x2 − a2 ⇐⇒ x ∈ X3 = R − {a}
Quindi l’insieme di definizione è:
X = X1 ∩ X2 ∩ X3 = (−∞, −a] ∪ (a, +∞)
Ciò implica che il limite (6) è in realtà un limite destro:
λ (a) = lim fa (x)
x→a+
Per rimuovere la forma di indeterminazione sviluppiamo l’espressione analitica della funzione come
segue:
p
√
(x − a) (x + a) + x2 (x − a)
x2 − a2 + x2 (x − a)
p
p
=p
√
x (x − a) + x2 − a2
x (x − a) + (x − a) (x + a)
√
√
√
x − a x + a + x2 x − a
√
√
=
√
x−a x+ x+a
√
√
x + a + x2 x − a
√
=
,
√
x+ x+a
14
2 FUNZIONI IRRAZIONALI
per cui
√
√
√
2a + a2 · 0
2a
2
λ (a) = √
√ =√
√ =√
2a + a
2a + a
2+1
√
√
1− 2 √ √
2
√ ·
√ = 2
=
2−1
1+ 2 1− 2
√
= 2 − 2,
cioè λ (a) è indipendente da a.
Esercizio 36 Calcolare:
λ = lim
x→1
Soluzione. Abbiamo:
√
√
2− x
0
=
x−2
0
√
√
x− 2
√ √
√ λ = − lim √
x→1
x− 2
x+ 2
1
1
√ =− √
= − lim √
x→1
x+ 2
2 2
√
2
=−
4
Esercizio 37 Calcolare:
Soluzione. Abbiamo:
√
3
1 − x2
0
λ = lim √
=
3
x→1
0
1 − x3
λ = lim
x→1
s
3
r
(1 − x) (1 + x)
(1 − x) (1 + x + x2 )
1+x
= lim 3
x→1
1 + x + x2
r
3 2
=
3
Esercizio 38 Calcolare:
0
4 − x2
√
=
x→2 3 −
0
5x − 1
λ = lim
Abbiamo:
√
4 − x2 3 + 5x − 1
λ = lim
x→2
9 − 5x + 1
√
(2 − x) (2 + x) 3 + 5x − 1
1
= lim
5 x→2
2−x
√
1
= lim (2 + x) 3 + 5x − 1
5 x→2
24
=
5
15
2 FUNZIONI IRRAZIONALI
Esercizio 39 Calcolare:
√
√
x+1− 2
0
=
λ = lim √
2
x→1
0
x +3−2
Soluzione. Abbiamo:
!
√ √
√ √
√
x+1− 2
x+1+ 2
x2 + 3 + 2
· √
·√
λ = lim √
x→2
x2 + 3 − 2
x2 + 3 + 2
x2 + 3 + 2
√
(x − 1) x2 + 3 + 2
√ = lim
√
x→1 (x − 1) (x + 1)
x+1+ 2
√
2+2
x2 + 3 + 2
√ =
√ = lim
√
x→1 (x + 1)
x+1+ 2
2 2 2
√
2
=
2
Esercizio 40 Calcolare:
√
0
2− x−4
=
λ = lim
x→8
x2 − 64
0
Abbiamo:
√
√
2− x−4 2+ x−4
√
·
λ = lim
x→8
x2 − 64
2+ x−4
x−8
√
= − lim
x→8 (x − 8) (x + 8) 2 +
x−4
1
√
= − lim
x→8 (x + 8) 2 +
x−4
1
=−
64
Esercizio 41 Calcolare:
√
0
3− 5+x
√
=
λ = lim
x→4 1 −
0
5−x
Abbiamo:
√
√
√
3− 5+x 3+ 5+x 1+ 5−x
√
√
√
·
λ = lim
·
x→4
1− 5−x 3+ 5+x 1+ 5−x
√
1+ 5−x
√
= − lim
x→4 3 +
5+x
1
=−
3
2.2
Forme indeterminate
Esercizio 42 Calcolare:
∞
∞
e 0·∞
√
x+ x
∞
λ = lim √
=
x→+∞ 2 x + x
∞
16
2 FUNZIONI IRRAZIONALI
Soluzione. Abbiamo:
x 1 + √1x
λ = lim x→+∞
2
√
x x +1
1+
= lim
x→+∞ √2
x
√1
x
+1
=
1 + 0+
0+ + 1
=1
Esercizio 43 Calcolare:
λ = lim √
x→+∞
Soluzione. Abbiamo:
3x − 2
∞
√
=
∞
4x − 1 + x + 1
x 3−
2
x
q
λ = lim √ q
x→+∞
x
4 − x1 + 1 + x1
√
x 3 − x2
= +∞
= lim r
q
x→+∞
Esercizio 44 Calcolare:
4−
1
x
+
1+
1
x
r
1√ 2
x +1=0·∞
x→÷∞
x
Soluzione. Separiamo i due casi: x → +∞ e x → −∞. Abbiamo:
√
x2 + 1
√
λ = lim
3
x→+∞
x
q
|x| 1 + x12
√
= lim
3
x→+∞
x
r
x
1
1+ 2
= lim √
3
|x|=x x→+∞
x
x
r
√
1
3
x2 1 + 2
= lim
x→+∞
x
+
= (+∞) · 1 + 0 = +∞
λ = lim
3
Per x → −∞:
λ = lim
x→−∞
|x|
q
1+
√
3
x
1
x2
r
1
x
1+ 2
= − lim √
3
x→−∞
|x|=−x
x
x
r
√
1
3
x2 1 + 2
= − lim
x→−∞
x
+
= − (+∞) 1 + 0 = −∞
17
2 FUNZIONI IRRAZIONALI
Esercizio 45 Calcolare:
√
∞
2x2 − 5 + x4 − 3x + 1
√
=
λ = lim
4
x→±∞ x − 1 +
∞
x +x−2
Soluzione. Per x → +∞:
q
2
2x − 5 + x4 1 − x33 + x14
q
λ = lim
x→+∞
x − 1 + x4 1 + x13 − x24
q
2
2
2x − 5 + x 1 − x33 + x14
q
= lim
x→+∞
2
x − 1 + x 1 + x13 − x24
q
2 − x52 + 1 + x13 − x24
q
= lim
x→+∞ 1
1
− x2 + 1 + x13 − x24
x
√
2−0+ 1−0+0
√
=
=3
0−0+ 1+0−0
Alla stessa maniera:
√
2x2 − 5 + x4 − 3x + 1
√
=3
lim
x→−∞ x − 1 +
x4 + x − 2
Ne concludiamo che la retta y = 3 è asintoto orizzontale sia a destra che a sinistra, per il grafico
della funzione assegnata.
Esercizio 46 Calcolare:
√
5x − x
∞−∞
√ =
λ = lim
x→+∞ x + 8 x
∞
Soluzione. Calcoliamo a parte il limite del numeratore:
√ 1
lim 5x − x = lim x 5 − √
x→+∞
x→+∞
x
= (+∞) (5 − 0) = +∞,
per cui il rapporto
√
5x− x
√
x+8 x
si presenta nella forma indeterminata
√
5x − x
√
λ = lim
x→+∞ x + 8 x
x 5 − √1x
= lim
x→+∞
x 1 + √8x
=
Esercizio 47 Calcolare:
x→−∞
Abbiamo:
5−0
=5
1+0
√
√
∞
x12 + 1 + 4 x4 − 1
√
√
=
5
3
5
3
∞
1+x + 1+x
12
λ = lim
∞
.
∞
18
2 FUNZIONI IRRAZIONALI
Soluzione.
q
q
1
1
4
12
1 + x12 + 1 − x4
|x|
q
λ = lim
q
x→−∞
x 5 x15 + 1 + 3 x13 + 1
q
q


1
1
12
4
1
+
1
−
+
12
4
|x|
x
x

q
=
lim
·  lim q
x→−∞ x
x→+∞ 5 1
3 1
+ 1 + x3 + 1
{z
}
|
x5
|
{z
}
=−1
=1
= −1
Esercizio 48 Calcolare:
λ = lim
√
x→−∞ x2
Soluzione.
x−1
∞
=
+x−1
∞
√
x 1 − x1
λ = lim 2
x→−∞ x
1 + x1 − x12
√
1−x
1
· lim
=
lim √
3
x→+∞ 1 + 1 − 12
x→−∞
x
{z
} |
|
{z x x }
=0
=1
=0
2.3
Forma indeterminata ∞ − ∞. Fattore razionalizzante.
Supponiamo di voler calcolare il limite:
√
√ x − 1 − 2x = ∞ − ∞
lim
x→+∞
√
√
x − 1 + 2x:
√
√ lim
x − 1 − 2x
x→+∞
√ √
√ √
x − 1 − 2x
x − 1 − 2x
√
= lim
√
x→+∞
x − 1 + 2x
x+1
√
= − lim √
x→+∞
x − 1 + 2x
x 1 + x1
= − lim √ q
√ x→+∞
x
1 − x1 + 2


1
√
1+ x
= − lim
x ·  lim q
√ 
x→+∞
x→+∞
1
1− x + 2
Moltiplichiamo e dividiamo per
= − (+∞) ·
1
√ = −∞
1+ 2
19
(8)
2 FUNZIONI IRRAZIONALI
√
√
In questo caso relativamente semplice il fattore razionalizzante R (x) = x − 1 + 2x si calcola a
occhio. Nei casi più complicati, invece, si calcola attraverso una formula. Precisamente, supponiamo
di avere la funzione:
p
p
(9)
f (x) = n p (x) ± n q (x),
dove p (x) e q (x) sono polinomi. Il fattore razionalizzante che ci permette di passare dalla forma
indeterminata ∞ − ∞ alla forma ∞
, è [1]:
∞
R (x) =
n
X
(∓1)
q
k+1
n
k=1
p (x)n−k q (x)k−1
(10)
q
q
q
n
n
n−1
3 n
n−2
= p (x)
+ (∓1)
p (x)
q (x) + p (x)n−3 q (x)2 +
q
n+1 n
q (x)n−1
+ ... + (∓1)
Esercizio 49 Calcolare:
√
3
λ = lim
x→+∞
Soluzione. Risulta:
x−1−
√
3
2x
(11)
λ=∞−∞
Applichiamo la (10):
3 q
X
3
(x − 1)3−k (2x)k−1
R (x) =
k=1
=
per cui:
√
3
λ = lim
x→+∞
q
3
q
p
3
3
(x − 1) + 2x (x − 1) + (2x)2 ,
2
√
3
q
3
q
p
3
x − 1 − 2x
(x − 1) + 2x (x − 1) + 3 (2x)2
q
q
p
2
3
3
(x − 1) + 2x (x − 1) + 3 (2x)2
2
∞
x+1
q
=
p
x→+∞ 3
∞
(x − 1)2 + 3 2x (x − 1) + 3 (2x)2
x 1 + x1
= − lim √ q
q
√
x→+∞ 3
3
3
1 2
1
3
2
1− x + 2 1− x + 4
x
√
= − lim 3 x = − (+∞) = −∞
= − lim q
x→+∞
Esercizio 50 Calcolare:
λ = lim
x→+∞
Soluzione. Risulta:
√
x2
+ 4x + 5 − x
λ=∞−∞
Qui il fattore razionalizzante si calcola ad occhio. Innanzitutto osserviamo che:
|x| , se x ≥ 0
|x| =
− |x| , se x < 0
20
(12)
2 FUNZIONI IRRAZIONALI
Quindi:
√
x2 + 4x + 5 − |x|
x→+∞
√
√ x2 + 4x + 5 − x2
= lim
x→+∞
√
√ √
√ 2
2
2
x + 4x + 5 − x
x + 4x + 5 + x2
√
= lim
√
x→+∞
x2 + 4x + 5 + x2
∞
4x + 5
√ =
= lim √
x→+∞
∞
x2 + 4x + 5 + x2
5
x 4+ x
= lim
q
x→+∞
|x|
1 + x4 + x52 + 1
λ = lim
4 + x5
x
=2
· lim q
= lim
x→+∞ |x| x→−∞
5
4
+
+
1
1
+
| {z }
x
x2
|
{z
}
=1
=2
Esercizio 51 Calcolare:
λ = lim
x→−∞
Soluzione. Risulta:
√
x2 + 4x + 5 + x
λ=∞−∞
Procediamo in maniera simile all’esercizio precedente:
√
2
λ = lim
x + 4x + 5 − |x|
x→−∞
√
√ x2 + 4x + 5 − x2
= lim
x→−∞
√
√ √
√ x2 + 4x + 5 − x2
x2 + 4x + 5 + x2
√
= lim
√
x→−∞
x2 + 4x + 5 + x2
∞
4x + 5
=
= lim √
x→−∞
∞
x2 + 4x + 5 + |x|
4x + 5
q
= lim
x→−∞
|x| 1 + x4 + x52 + |x|
4 + x5
x
· lim q
= −2
= lim
x→−∞ |x| x→−∞
4
5
+
+
1
1
+
| {z }
x
x2
|
{z
}
=−1
=2
Esercizio 52 Calcolare:
λ = lim
x→−∞
Soluzione.
√
4
x + x4 + 1
λ = (−∞) + (+∞) = ∞ − ∞
21
(13)
2 FUNZIONI IRRAZIONALI
Scriviamo:
√
4
− |x| + x4 + 1
x→−∞
√
√
4
4
= lim − x4 + x4 + 1
x→−∞
√
√
4
4
4
4
x +1− x
= lim
λ = lim
x→−∞
Il fattore razionalizzante è:
4 q
X
4
R (x) =
(x4 + 1)4−k (x4 )k−1
k=1
q
q
√
p
4
4
4
3
4
= (x + 1) + x4 (x4 + 1)2 + 4 x8 (x4 + 1) + x12
Quindi:
x+
λ = lim
√
4
x→−∞
x4 + 1 R (x)
R (x)
Sviluppiamo il numeratore:
cosicchè:
√
4
x4
q
q
√
p
4
4
4
3
2
4
12
4
4
4
8
4
+1
(x + 1) + x (x + 1) + x (x + 1) + x
x+
q
√
4
4
= (x4 + 1)4 − x16 = x4 + 1 − x4 = 1,
λ = lim
x→−∞
1
1
=
= 0+
R (x)
+∞
Esercizio 53 Calcolare:
λ = lim
x→−∞
Soluzione.
√
12
x + x12 + 1
λ = (−∞) + (+∞) = ∞ − ∞
Scriviamo:
√
12
x12
+1
− |x| +
√
√
12
12
= lim − x12 + x12 + 1
x→−∞
√
√ 12
12
x12 + 1 − x12
= lim
λ = lim
x→−∞
x→−∞
È conveniente calcolare il fattore razionalizzante con Mathematica ottenendo:
λ=0
Esercizio 54 Calcolare:
λ = lim
x→+∞
Soluzione. Risulta:
√
3x2 + 2x + 1 − x
λ=∞−∞
22
2 FUNZIONI IRRAZIONALI
√
x2 , onde:
√
√ λ = lim
3x2 + 2x + 1 − x2
Osserviamo che per x → +∞ è x = |x| =
x→+∞
In questo caso il fattore razionalizzante si calcola a occhio, per cui:
√
√ √
√ 3x2 + 2x + 1 − x2
3x2 + 2x + 1 + x2
√
λ = lim
√
x→+∞
3x2 + 2x + 1 + x2
2x2 + 2x + 1
√
= lim
x→+∞
3x2 + 2x + 1 + |x|
x2 2 + x2 + x12
= lim
q
x→+∞
2
1
|x|
3 + x + x2 + 1


2
1
2
2 + x + x2
x

=
lim
·  lim q
x→+∞ |x|
x→+∞
1
2
3+ + +1
x
=√
x2
2
2
· lim x = √
· (+∞) = +∞
3 + 1 x→+∞
3+1
Esercizio 55 Calcolare:
λ = lim
x→−∞
Soluzione. Risulta:
√
3x2 + 2x + 1 + x
λ = (+∞) + (−∞) = ∞ − ∞
√
Osserviamo che per x → −∞ è x = − |x| = − x2 , onde:
√
√ λ = lim
3x2 + 2x + 1 − x2
x→−∞
In questo caso il fattore razionalizzante si calcola a occhio, per cui:
√
√ √
√ 3x2 + 2x + 1 − x2
3x2 + 2x + 1 + x2
√
λ = lim
√
x→−∞
3x2 + 2x + 1 + x2
2x2 + 2x + 1
= lim √
x→−∞
3x2 + 2x + 1 + |x|
x2 2 + x2 + x12
= lim
q
x→−∞
|x|
3 + x2 + x12 + 1


2
1
2
2 + x + x2
x

=
lim
·  lim q
x→−∞ |x|
x→−∞
2
1
3+ + +1
x
=√
x2
2
2
· lim (−x) = √
· (+∞) = +∞
3 + 1 x→−∞
3+1
Esercizio 56 Calcolare:
λ = lim
x→+∞
√ √
√ x
x+1− x
23
2 FUNZIONI IRRAZIONALI
Soluzione. Calcoliamo a parte
√
√ lim
x+1− x =∞−∞
x→+∞
√
√ √
√ x+1− x
x+1+ x
√
= lim
√
x→+∞
x+1+ x
x+1−x
= lim √
√
x→+∞
x+1+ x
1
=
= 0,
+∞
cosicchè il limite proposto si presenta nella forma indeterminata 0 · ∞. Scriviamo:
√
√ 2
x + x − x2
λ = lim
x→+∞
√
√ √
√ x2 + x − x2
x2 + x + x2
√
= lim
√
x→+∞
x2 + x + x2
x
= lim
q
x→+∞
|x|
1 + x1 + 1


1
x

·  lim q
=
lim
x→+∞
x→+∞ |x|
1
1+ x +1
{z
}
|
|
{z
}
=1
= 21
=
Esercizio 57 Calcolare:
Soluzione. Risulta:
1
2
√
2x − 4x2 − 1
√
λ = lim
3
x→−∞
x2 − 1
∞
(−∞) − (+∞)
=
+∞
∞
q
2x − |x| 4 − x12
q
λ = lim
x→−∞
2/3
x 3 1 − x22
q
2x + x 4 − x12
q
=
lim
|x|=−x, per x<0 x→−∞
2/3
x 3 1 − x22
q
x 2 + 4 − x12
q
= lim
x→−∞
2/3
x 3 1 − x22
q


2 + 4 − x12

q
=
lim x1/3  lim
x→−∞
x→−∞
2
3
1 − x2
λ=
= (−∞) · 2 = −∞
24
2 FUNZIONI IRRAZIONALI
Esercizio 58 Calcolare:
√
8
λ = lim
x→−∞
8x8 − 3x + 1 + 2x3 +
√
2x3 + 5 x4 + 1
Soluzione. Scriviamo:
λ = lim
x→−∞
x4 + 1
√
8
= λ′ + 1,
8x8 − 3x + 1
√
+1
2x3 + 5 x4 + 1
dove:
′
√
5
√
8
λ = lim
x→−∞
8x8 − 3x + 1
√
2x3 + 5 x4 + 1
Calcoliamo a parte il limite del denominatore:
lim
x→−∞
2x3 +
√
5
4
x + 1 = ∞ − ∞ = lim
x→−∞
Cioè:
lim x
3
2+
x→−∞
1
x11/5
r
5
1
1+ 4
x
!
cosicchè:
2x3 + x4/5
r
5
1+
√
= (−∞) 2 + 0 · 1 + 0 = −∞,
λ′ =
Risulta:
∞
∞
q
|x| 8 8 − x37 + x18
q
λ = lim
x→−∞ 3
1
5
x 2 + x11/5
1 + x14
q


3
1
8
8
−
+
7
8
|x| 
x
x

q
=
lim
lim
x→−∞ x3
x→−∞
1
1
5
2 + x11/5 1 + x4
|
{z
}
|
{z
}
=0
′
=
√
8 8+0
2+0
=0
Finalmente
λ=1+0=1
Esercizio 59 Dimostrare:
√
2n
lim
x→−∞
√
2nx2n − 3x + 1 + 2x2n−1 + 2n−1 x2n−2 + 1
√
=1
2x2n−1 + 2n−1 x2n−2 + 1
dove n ∈ N − {0, 1}.
Soluzione. Scriviamo:
λ2n = lim
x→−∞
= λ′2n + 1,
1
x4
!
√
2nx2n − 3x + 1
√
+1
2x2n−1 + 2n−1 x2n−2 + 1
2n
25
2 FUNZIONI IRRAZIONALI
dove:
√
2n
2nx2n − 3x + 1
√
x→−∞ 2x2n−1 + 2n−1 x2n−2 + 1
Calcoliamo a parte il limite del denominatore:
√
2n−1
2n−1
2n−2
+
lim 2x
x
+1 =∞−∞
λ′2n = lim
x→−∞
Rimuoviamo l’indeterminazione:
√
lim 2x2n−1 +
2n−1
x→−∞
x2n−2 + 1 = lim
2x2n−1 + x
x→−∞
= lim
x→−∞
Osserviamo che:
"
x2n−1
r
2n−2 2n−1
2n−1
1+
1
2+
x
1
x2n−2
r
2n−1
4n2 −6n+3
2n−1
1+
!
1
x2n−2
4n2 − 6n + 3
> 0, 2n − 2 > 0, 2n − 1 > 0
2n − 1
per cui
1
lim
x→−∞
Quindi:
lim
x→−∞
x
4n2 −6n+3
2n−1
2x2n−1 +
= 0,
√
2n−1
lim
1
x→−∞
= 0,
x2n−2
√
x2n−2 + 1 = (−∞) 2 + 0 · 1 + 0 = −∞
Pertanto il calcolo di λ′2n conduce alla forma indeterminata
λ′2n
lim x2n−1 = −∞
x→−∞
∞
.
∞
Scriviamo:
q
3
+ x12n
|x| 2n 2n − x2n−1
= lim
q
x→−∞
1
1
2n−1
2n−1
2 + 4n2 −6n+3
x
1 + x2n−2
x 2n−1
!
r
|x|
1
1
2n−1
1 + 2n−2
=
lim
lim 2 + 4n2 −6n+3
x→−∞ x2n−1
x→−∞
x
x 2n−1
Il primo limite è
lim
x→−∞
|x|
x2n−1
= − lim
x
x→−∞
x2n−1
Il secondo limite
lim
x→−∞
1
2+
x
= − lim
s
2n−1
4n2 −6n+3
2n−1
x→−∞
1+
1
2n−2
x 2n−1
1
x2(n−1)
!
=0
= 2,
cosicchè:
λ′2n = 0
Ne concludiamo
λ2n = 1,
∀n ∈ N − {0, 1}
Per n = 2 il grafico della funzione, tracciato con Mathematica è riportato in fig. 2.
26
!#
2 FUNZIONI IRRAZIONALI
y
3
2
1
x
-3
-2
1
-1
√
2n
Figura 2: Grafico della funzione
Esercizio 60 Calcolare:
λ = lim
x→+∞
Soluzione. Scriviamo:
x+
x→+∞
√
3
√
1−
x3
x3 +
√
3
=∞−∞
1 − x3
Quindi calcoliamo il fattore razionalizzante tramite la (10), ottenendo:
R (x) =
3
X
(−1)
k+1
k=1
=
Riesce:
√
3
x6
√
3
quindi:
√
3
λ = lim
x→+∞
x→+∞
x2
√
3
x3 +
= lim
q
3
(x3 )3−k (1 − x3 )k−1
q
p
3
3
3
3
− x (1 − x ) + (1 − x3 )2
x3 +
1 − x3 R (x) = 1,
√
3
1 − x3 R (x)
R (x)
1
√
3
−x 1−
=
p
3
x3
q
+ 3 (1 − x3 )2
1
q
− (+∞) + 3 (1 − (+∞))2
(+∞) − (+∞)
1
=
(+∞) − (−∞) + (+∞)
1
= 0+
=
+∞
Esercizio 61 Calcolare:
λ = lim
x→+∞
√
3
√
2n−1
2nx2n −3x+1+2x2n−1
x2n−2 +1
√ +
2n−1
2x2n−1 +
x2n−2 +1
3
λ = lim
2
x2 − 4x + 3 −
27
√
x2 − 2
per n = 2.
2 FUNZIONI IRRAZIONALI
Soluzione. Abbiamo la forma indeterminata ∞ − ∞:
λ = (+∞) − (+∞) = ∞ − ∞
Il fattore razionalizzante è immediato, per cui:
√
√
√
√
x2 − 4x + 3 − x2 − 2
x2 − 4x + 3 + x2 − 2
√
√
lim
x→+∞
x2 − 4x + 3 + x2 − 2
x2 − 4x + 3 − x2 + 2
√
= lim √
x→+∞
x2 − 4x + 3 + x2 − 2
5 − 4x
√
= lim √
2
x→+∞
x − 4x + 3 + x2 − 2
x x5 − 4
q
= lim
q
x→+∞
3
4
2
|x|
1 − x + x2 + 1 − x2


5
−
4
x 
x
 = −2
q
lim q
=
lim
x→+∞
x→+∞ |x|
4
2
3
1 − x + x2 + 1 − x2
{z
}
|
|
{z
}
=+1
=−2
Esercizio 62 Calcolare:
λ = lim
x→−∞
√
x2 − 4x + 3 −
√
x2 − 2
Soluzione. Abbiamo la forma indeterminata ∞ − ∞:
λ = (+∞) − (+∞) = ∞ − ∞
Il fattore razionalizzante è immediato (vedere esercizio precedente):
√
√
√
√
x2 − 4x + 3 − x2 − 2
x2 − 4x + 3 + x2 − 2
√
√
lim
x→−∞
x2 − 4x + 3 + x2 − 2


5
−4
x 
x
=2
q
lim q
=
lim
x→−∞
x→−∞ |x|
2
3
4
1 − x + x2 + 1 − x2
|
{z
}
|
{z
}
=−1
=−2
Esercizio 63 Calcolare:
λ = lim
x→+∞
√
x2 + 4x + 4 − x
Soluzione. Abbiamo la forma indeterminata ∞ − ∞:
λ=∞−∞
Non c’è bisogno di calcolare il fattore razionalizzante, giacchè
√
λ = lim (x + 2 − x) = 2
x→+∞
28
x2 + 4x + 4 = x + 2, per cui:
2 FUNZIONI IRRAZIONALI
Esercizio 64 Calcolare:
√
√
3x2 + x + 2
x→−∞
√
√
2
2
x − 12x + 1 − 3x + x + 2
λ2 = lim x
λ1 = lim x
x2 − 12x + 1 −
x→−∞
Soluzione.
λ1 = (−∞) (∞ − ∞)
Calcoliamo a parte:
√
√
x2 − 12x + 1 − 3x2 + x + 2
lim
x→−∞
√
√
√
√
x2 − 12x + 1 − 3x2 + x + 2
x2 − 12x + 1 + 3x2 + x + 2
√
√
= lim
x→−∞
x2 − 12x + 1 + 3x2 + x + 2
−2x2 − 13x − 1
q
= lim
q
x→−∞
12
1
1
2
|x|
1 − x + x2 + 3 + x + x2
x2 2 + 13
+ x12
x
q
= − lim
q
x→−∞
12
1
1
2
|x|
1 − x + x2 + 3 + x + x2
+ x12
2 + 13
x2
x
q
lim q
= − lim
x→−∞
x→−∞ |x|
12
1
1 − x + x2 + 3 + x1 + x22
|
{z
}
=
2√
1+ 3
Il primo limite a secondo membro è:
x2
= − lim x = +∞,
x→−∞ |x|
x→−∞
lim
per cui:
lim
x→−∞
cosicchè:
√
x2 − 12x + 1 −
√
3x2 + x + 2 = − (+∞) ·
2
√ = −∞,
1+ 3
λ1 = (−∞) (−∞) = +∞
Calcoliamo λ2 utilizzando lo stesso procedimento:
√
√
lim
x2 − 12x + 1 − 3x2 + x + 2
x→+∞
+ x12
2 + 13
x2
x
q
lim q
= − lim
x→−∞
x→+∞ |x|
12
1
1 − x + x2 + 3 +
|
{z
=
Riesce:
2√
1+ 3
x2
= lim x = +∞,
x→+∞
x→+∞ |x|
1
x
+
2
x2
}
lim
per cui:
lim
x→+∞
Quindi:
√
x2 − 12x + 1 −
√
3x2 + x + 2 = − (+∞) ·
λ2 = (+∞) (−∞) = −∞
29
2
√ = −∞
1+ 3
3 ESERCIZI DI RIEPILOGO
3
Esercizi di riepilogo
Questa sezione compone un ripasso per il calcolo di limiti di funzioni razionali fratte e irrazionali.
Esercizio 65 Calcolare:
x2 + x − 1
x→+∞
2x + 5
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata
λ = lim
λ=
Scriviamo:
Esercizio 66 Calcolare:
∞
:
∞
∞
∞
x2 1 + x1 − x12
λ = lim
= +∞
x→+∞
x 2 + x5
3x2 − 2x − 1
x→+∞
x3 + 4
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata
λ = lim
λ=
Scriviamo:
Esercizio 67 Calcolare:
∞
:
∞
∞
∞
x2 3 − x2 − x12
3
=
= 0+
λ = lim
4
x→+∞
+∞
x 1 + x3
x2 − 4
x→2 x − 2
λ = lim
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 00 :
λ=
Scriviamo:
0
0
(x − 2) (x + 2)
=4
x→2
x−2
λ = lim
Esercizio 68 Calcolare:
x 3 − a3
x→a x − a
λ = lim
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 00 :
λ=
0
0
Scriviamo:
(x − a) (x2 + ax + a2 )
x→a
x − a
2
= lim x + ax + a2 = 3a2
λ = lim
x→a
30
3 ESERCIZI DI RIEPILOGO
Esercizio 69 Calcolare:
x2 − 5x + 6
x→2 x2 − 12x + 20
λ = lim
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 00 :
λ=
0
0
Risulta: x2 − 5x + 6 = (x − 2) (x − 3), x2 − 12x + 20 = (x − 2) (x − 10), onde:
x−3
1
=
x→2 x − 10
8
λ = lim
Esercizio 70 Calcolare:
x2 + 3x − 10
x→2 3x2 − 5x − 2
λ = lim
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 00 :
λ=
0
0
Risulta: x2 + 3x − 10 = (x + 5) (x − 2), 3x2 − 5x − 2 = (3x + 1) (x − 2), onde:
x+5
=1
x→2 3x + 1
λ = lim
Esercizio 71 Calcolare:
x3 + 3x2 + 2x
x→−2 x2 − x − 6
λ = lim
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 00 :
λ=
0
0
Risulta: x3 + 3x2 + 2x = x (x + 1) (x + 2), x2 − x − 6 = (x + 2) (x − 3), onde:
2
x (x + 1)
=−
x→−2
x−3
5
λ = lim
Esercizio 72 Calcolare:
x3 + 4x2 + 4x
λ = lim
x→−2 x2 − x − 6
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 00 :
λ=
0
0
Risulta: x3 + 4x2 + 4x = x (x + 2)2 , x2 − x − 6 = (x + 2) (x − 3), onde:
x (x + 2)
=0
x→−2
x−3
λ = lim
31
3 ESERCIZI DI RIEPILOGO
Esercizio 73 Calcolare:
λ = lim
x→1
1−
√
3x − 2
x−1
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 00 :
√
0
1− 3−2
=
λ=
1−1
0
Abbiamo:
√
√
1 − 3x − 2 1 + 3x − 2
√
λ = lim
x→1
(x − 1) 1 + 3x − 2
1 − 3x + 2
√
= lim
x→1 (x − 1) 1 +
3x − 2
3
1
√
=−
= −3 lim
x→1 1 +
2
3x − 2
Esercizio 74 Calcolare:
λ = lim √
x→0
x
x+4−2
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 00 :
λ= √
0
0
=
0
0+4−2
Abbiamo:
√
x x+4+2
√
=
λ = lim √
x→0
x+4−2
x+4+2
√
x x+4+2
= lim
x→0
√x + 4 − 4 = lim
x+4+2 =4
x→0
Esercizio 75 Calcolare:
λ = lim
√
x→2
√
x + 2 − 2x
x−2
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 00 :
λ=
√
2+2−
2−2
√
4
=
0
0
Abbiamo:
√ √
2x
x + 2 + 2x
√ λ = lim
√
x→2
(x − 2) x + 2 + 2x
1
1
√ =−
= − lim √
x→2
4
x + 2 + 2x
√
x+2−
√
32
3 ESERCIZI DI RIEPILOGO
Esercizio 76 Calcolare:
λ = lim
x+
x→−1
√
2x + 3
x+1
Soluzione. Il rapporto si presenta nella forma indeterminata 00 :
√
0
−1 + −2 + 3
=
λ=
−1 + 1
0
Abbiamo:
√
√
x + 2x + 3 x − 2x + 3
√
λ = lim
x→−1
(x + 1) x − 2x + 3
x2 − 2x − 3
√
= lim
x→−1 (x + 1) x −
2x + 3
Ma x2 − 2x − 3 = (x + 1) (x − 3), per cui
x−3
√
=2
x→−1 x −
2x + 3
λ = lim
33
RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI
Riferimenti bibliografici
[1] Orecchia G., Spataro S., Limiti. Esercizi Tecnos – Collana Esami
34