Fluidi II
Applicazioni della legge di Bernoulli
Viscosità
Legge di Poiseuille
Regime stazionario
Tensione superficiale
Capillarità
Applicazioni della legge di Bernoulli
Dilatazione (aneurisma) e restringimento (stenosi) di un
vaso sanguigno sono le patologie vascolari più comuni.
Aneurisma
Teorema di Bernoulli per un condotto orizzontale:
p1+½ ρ v12=p2+½ ρ v22
p1 - p2 = ½ ρ (v22 – v12)
S1v1=v2S2
da cui v1 = v2 S2 / S1
p1 - p2 = ½ ρ v22(1 - S22/S12)
Nel caso di dilatazione S2>S1 da cui p1 - p2 < 0 (p2>p1)
Vi è una tendenza ad un’ulteriore dilatazione.
Stenosi
Teorema di Bernoulli per un condotto orizzontale:
p1+½ ρ v12=p2+½ ρ v22
p1 - p2 = ½ ρ (v22 – v12)
S1v1=v2S2
da cui v1 = v2 S2 / S1
p1 - p2 = ½ ρ v22(1 - S22/S12)
Nel caso di restringimento S2<S1, p1 - p2 > 0 (p2>p1)
Vi è una tendenza ad un’ulteriore restringimento.
Fluidi reali: moto viscoso
Per un fluido ideale la pressione
è la stessa in entrata e in
uscita. Per i fluidi reali la
pressione diminuisce nel verso
del moto a causa dell’attrito
interno, o viscosità. Questa in
genere è debole nei gas ma
rilevante nei liquidi.
Il condotto esercita una forza resistente sul fluido a
contatto, a loro volta gli strati di fluido esercitano delle
forze di attrito che si oppongono allo scorrimento. La
velocità è massima al centro e nulla sul bordo.
v = v(r) ∝ ( R 2 − r 2 )
parabola Fluidi reali: moto viscoso
In un fluido reale il Teorema di Bernoulli deve tener conto
dell’energia persa per attrito:
p1+½ ρ v12 + ρ g h1 = p2+½ ρ v22 + ρ g h2 + Eattrito
Nel caso h1=h2, v1=v2 si ha quindi: ΔP=Ea%rito à occorre una differenza di pressione per far muovere un fluido a velocità costante in un condo%o re:lineo ove vi siano degli a%ri< Coefficiente di viscosità
Consideriamo un fluido suddiviso in strati
infinitesimi paralleli tra loro, di area A e a
distanza Δx l’uno dall’altro che scorrono l'uno
sull'altro, ciascuno con velocità caratteristiche
(moto laminare).
La forza di attrito viscoso fra uno strato e
l’altro è data dalla relazione:
F = η A Δv/Δx
• Δv/Δx gradiente di velocità
• η coefficiente di viscosità; nel SI si
misura in Pa · s, nel CGS in barie · s
= Poise (P).
• 1 Pa · s = 10 P
Dipendenza dalla temperatura
Il coefficiente di viscosità η dipende dalla
natura del liquido. Per uno stesso liquido dipende
in maniera molto marcata dalla temperatura: al
crescere di questa diminuisce molto rapidamente
(esempio dell’olio in una padella).
Liquido
Temperatura (°C)
η (Pa·s)
Acqua
0
20
37
100
1.8·10-3
1.0·10-3
6.9·10-4
2.8·10-4
Mercurio
20
1.5·10-3
Sangue intero
37
4.0·10-3
Plasma sanguigno
37
1.5·10-3
Legge di Poiseuille
Per fluidi reali l’esperienza
mostra che la pressione
diminuisce nel verso del
moto a causa della viscosità.
Per mantenere un liquido in moto in un condotto è
necessaria quindi una differenza di pressione Δp fra
l’ingresso e l’uscita. La portata Q attraverso il condotto
dipende da Δp oltre che dalla lunghezza, dalla sezione del
condotto e dalla viscosità η.
Se il condotto è un cilindro orizzontale di raggio R e
lunghezza L, la portata Q è espressa da:
Q = (π Δp R4)/(8ηL) legge di Poiseuille
(usata nei viscosimetri)
Regime laminare e turbolento
Finora abbiamo considerato un fluido suddiviso in strati
paralleli tra loro che scorrono l'uno sull'altro, ciascuno
con una certa velocità (moto laminare). Se invece ci
sono dei vortici che portano a un rimescolamento del
fluido con distribuzioni irregolari e continuamente
variabili di velocità, il moto è turbolento.
Numero di Reynolds
Per stabilire se il moto di un fluido viscoso è laminare
o turbolento si definisce una grandezza adimensionale
chiamata numero di Reynolds: NR= ρ v l / η.
Questo parametro dipende dalla velocità media v del
fluido (rispetto al solido con cui viene a contatto),
dalla densità ρ, dalla viscosità η, e da una grandezza
lineare l caratteristica del condotto (per una forma
cilindrica, ad esempio, l coincide col diametro).
Si dimostra sperimentalmente che, per tubature
rettilinee di sezione circolare, il flusso della corrente
fluida è laminare per valori di NR inferiori a 1000, e
turbolento per valori superiori a 3000.
Il sistema circolatorio
Una delle funzioni del sistema circolatorio è quella di
trasportare ossigeno dai polmoni ai tessuti e di trasportare
in senso inverso l’anidride carbonica prodotta dalla
respirazione cellulare. Ciò si realizza mediante un circuito
chiuso che costringe il sangue a passare successivamente
attraverso i polmoni e tutti gli altri tessuti.
Il cuore
Per spingere il sangue attraverso i
capillari polmonari e quelli tissutali è
necessaria una pompa, il cuore, da cui si
dipartono piccola e grande circolazione.
Parti attive sono ventricoli, che
contraendosi spingono il sangue.
Piccolo e grande
circolo
Il circolo polmonare
origina dal ventricolo
destro con l’arteria
polmonare e termina
nell’atrio sinistro con la
vena polmonare.
Il grande circolo (o
circolo sistemico) parte
dal ventricolo sinistro
con l’aorta ed entra
nell’atrio destro
mediante la vena cava.
Piccolo e grande
circolo
Il cuore si può
considerare come
l’insieme di due pompe
che lavorano in serie su
tratti diversi del circuito,
sebbene siano unite a
formare un unico
organo.
Le contrazioni e
successive dilatazioni dei
ventricoli sono dette
sistole e diastole
rispettivamente.
Piccolo e grande circolo
Poiché il circuito
sistemico è molto più
esteso di quello
polmonare (e quindi
offre maggiore
resistenza), il ventricolo
sinistro deve produrre
una differenza maggiore
rispetto al destro.
Non a caso la
muscolatura del vs è
maggiore di quella del
destro, che lavora di
meno.
Diramazione dei condotti
Ciascuna delle due circolazioni inizia con vasi di grosso
calibro (arterie) che si suddividono in rami più piccoli
(arteriole) che a loro volta si sfioccano in numerosi
capillari, attraverso le cui
pareti avvengono i processi
di scambio con i tessuti
circostanti.
Successivamente il processo
di ramificazione si inverte: i
capillari confluiscono in vasi
di maggiori dimensioni
(venule) e si raccolgono in
vasi sempre più grandi
(vene) che riportano il
sangue al cuore.
Il sangue come fluido
Il sangue è un liquido viscoso che, in generale, scorre
nel sistema circolatorio con moto laminare. Il moto
turbolento, essendo rumoroso, può essere rilevato
mediante auscultazione con un fonendoscopio.
Il passaggio da moto laminare
a moto turbolento nel sangue
sta alla base del principio di
funzionamento dello strumento
usato per misurare la pressione
arteriosa (sfigmomanometro).
Misura della pressione arteriosa
Immettendo l’aria nel manicotto si comprime l’arteria
brachiale. Ad una riduzione di sezione corrisponde un
aumento della velocità del sangue: si passa da moto
laminare a turbolento, rivelabile con il fonendoscopio.
Misura della pressione arteriosa
Aumentando la pressione il rumore scompare. Questo
perché la arteria si è chiusa, e tale chiusura avviene ad una
pressione del manicotto che deve essere poco superiore a
quella massima nell’arteria.
Si lascia allora diminuire la
pressione facendo sfiatare
l’aria. La p a cui riprende la
circolazione e ricompare il
rumore, è la pressione
massima arteriosa (sistolica).
La p a cui scompare
successivamente il rumore,
perché il sangue è tornato al
moto laminare, si assume come
pressione minima arteriosa.
Lo sfigmomanometro
Tensione superficiale
Nella materia allo stato liquido ogni molecola è circondata
da altre molecole: le forze attrattive tra molecole, poiché
ognuna di esse è completamente circondata da altre, si
bilanciano permettendo che ognuna si sposti liberamente
(non vi è prevalenza di forze in una qualche direzione).
Consideriamo, appena sotto la
superficie, uno strato spesso
quanto il diametro delle
molecole; questo strato (detto
strato limite) è quello in cui
avviene il passaggio dallo
stato liquido a quello di gas.
Una molecola che si trovi in
questa zona non ne ha altre
dello stesso tipo al di sopra.
Tensione superficiale
Se una molecola che si trova nello strato limite viene
sollevata, i legami tra essa e le molecole adiacenti vengono
tesi, generando una forza che tende a richiamarla verso la
superficie, proprio come una membrana tesa.
Allo stesso modo, un corpo
minuscolo (pond skaters, insetti
pattinatori) che si appoggi sulla
superficie di un liquido in modo
da non perforarla, fa si che le
molecole superficiali del liquido
vengono spinte verso il basso
generando una forza di
richiamo diretta verso l'alto.
Oltre agli insetti c’è il caso
curioso di un rettile, il basilisco. Coefficiente di tensione superficiale
La tensione superficiale di un liquido rappresenta il
lavoro richiesto per aumentarne la superficie libera.
Si
dimostra che tale lavoro può essere espresso in termini
della forza di contrazione esercitata su una linea
ipotetica di lunghezza L posta
sulla superficie:
τ = F/2L
(dove il fattore 2 deriva dal fatto
che i lati della linea sono due).
Nel SI τ si misura in N/m o J/m2,
nel CGS in dine/cm o erg/cm2
Liquido
Temperatura (°C)
Tensione
superficiale (N/m)
Acqua
0
20
50
100
0.076
0.073
0.068
0.059
Olio d’oliva
18
0.032
Mercurio
20
0.436
Sangue intero
37
0.058
Plasma sanguigno
37
0.073
In generale τ diminuisce al crescere della temperatura:
nei liquidi più caldi, infatti, è indebolita dal moto di
agitazione termica delle molecole. L'acqua calda ha
quindi migliori proprietà detergenti giacché la sua minor
tensione superficiale permette di raggiungere più
facilmente porosità e fessure. Per ridurla ulteriormente
si fa uso di tensioattivi (come i detersivi) che si
frammentano più facilmente e si disperdono con
maggiore facilità sul materiale che si vuole pulire.
Capillarità
Tubi di sezione molto piccola (diametro
di qualche decimo di mm) sono detti tubi
capillari, in cui la superficie si dispone
secondo una sezione concava o convessa.
Il fenomeno, detto capillarità, si spiega
col fatto che in un liquido esistono delle
forze di coesione, di natura elettrica e
attrattive, fra molecole simili. Invece, la forza tra la molecola
di un liquido e un'altra sostanza (es. vetro della parete di un
recipiente che contenga il liquido) è detta forza di adesione.
Si dice che un liquido bagna la superficie di un'altra sostanza
quando le forze di adesione prevalgono su quelle di coesione
(acqua): in questo caso, si ha risalita del fluido lungo un tubo
capillare e la sua superficie è concava verso l'alto. Viceversa,
quando dominano le forze di coesione (mercurio) il livello del
fluido tende a decrescere e la sua superficie è convessa.
Bolle di sapone e embolia
Si dimostra che una bolla di sapone (o altro materiale/
interfaccia) sferica di raggio R e coefficiente di tensione
superficiale τ è in equilibrio se la tensione (Δp tra interno
ed esterno vale):
Δp=2τ/R
Bolle di sapone e embolia
Quando si crea un embolo in un vaso sanguigno, il menisco
che viene spinto dal flusso ha un raggio di curvatura
maggiore di quello che si trova a valle, e quindi
Δp2>Δp1 Δp2-Δp1 > 0
R1 R2 Flusso sanguigno Il verso di questa
pressione è rivolto in
senso opposto al flusso
sanguigno.
Se abbastanza grande, la differenza può equilibrare la
pressione del sangue e provocare arresto circolatorio.
Per questo motivo bisogna sempre fare uscire l’aria dalle
siringhe prima di iniettare un qualunque fluido all’interno
del corpo!!!
