20.09.05 : (Carlini)
1) cosa sono le equazioni lineari, equazioni lineari in una incognita: cosa sono le soluzioni, come si trovano, come si
disegnano
2) equazioni in due incognite: cosa sono le soluzioni, prodotto cartesiano RxR, come disegnare le soluzioni nel piano
3) prodotto cartesiano in generale di un insieme, n-ple e casi R, R^2 e R^3
4) rette nel piano: equazioni, grafico, coefficiente angolare e legame con la tangente dell'angolo e il parallelismo
5) sistemi di equazioni in due incognite: risoluzione con le combinazioni lineari e intepretazione grafica. Sistema con
una soluzione, senza soluzioni e con infinite soluzioni.
21.09.05 :(Oneto)
SISTEMI LINEARI: esempio di sistema ridotto - operazioni elementari sulle equazioni e invarianza delle soluzionialgoritmo di Gauss per la riduzione a "scala"22.09.05:(Oneto)
Ancora algoritmo di Gauss: incognite pivotali, rango di un sistema con soluzioni, numero di soluzioni- esempisistema (senza soluzione) 3equazioni 3 incognite con interpretazione geometrica: ho detto che un'equazione lineare in
tre incognite e' l'equazione di un piano (lo dimostreremo successivamente) e ho parlato (senza vettori, solo
graficamente) di piani paralleli, di intersezione tra due piani e di posizione reciproca di 3 piani.Matrici: righe colonne diagonale principale, matrice nulla, quadrata, identica. Matrice associata ad un sistema lineare e
riduzione totale di questaTEOREMA di GAUSS: ogni matrice si trasforma mediante operazioni elementari sulle righe in una matrice ridotta e in
una totalmente ridotta.- Significato di riduzione totale per sistemi quadrati con rango massimo-Teorema di R-C valido
per sistemi con matrice associata ridotta (alla fine, da puntualizzare)27.09.2005(Carlini)
Sistemi lineari 2x2: risoluzione con riduzione Gaussiana, interpretazione geometrica della variazione dei termini noti;
forma parametrica di una retta nel piano. Come rendere incompatibile un sistema dato. Sistemi in 3 incognite: esempi
con 1,2 o 3 equazioni e discussione dei parametri liberi nel caso di infinite soluzioni. Come trovare l'equazione di una
retta nel piano per due punti dati attraverso un sistema di equazioni. Retta per tre punti e discussione del sistema.
28.09.05(Oneto)
TEOREMA DI ROUCHE'-CAPELLI e metodo di risoluzione di sistema ridotto per righe.
Osservazione che la caratteristica e' indipendente dai passaggi di riduzione scelti (perche' le operazioni elementari non
cambiano l'insieme delle soluzioni di un sistema).
Algoritmo di Gauss per la riduzione e per la riduzione totale.
MATRICI e operazioni: somma e sue proprieta'.
29.09.05 (Oneto)
Moltiplicazione di una matrice per uno scalare e proprieta'.
Definizione di SPAZIO VETTORIALE, di combinazione lineare di vettori e di sistema di generatori. Esempio: lo
spazio vettoriale delle matrici pxq a coefficienti in K campo. Esempi sulle comb.lin con matrici 3x3: date A,B
scrivere2A-3B+I; data M dire se M e' combinazione lineare di A,B,I. Lo spazio vettoriale K^n: esempio in R^3 dati 3
vettori (100),(120),(123); scrivere (110)come loro comb.lin. Verificare che sono sistema di generatori per R^3.
Osservazione: le operazioni elementari sono combinazioni lineari dei vettori riga.
PRODOTTO RIGHE PER COLONNE e proprieta', AB diverso da BA, I_m A I_n=A per ogni matrice A mxn.
5.10.05 (Oneto)
Prodotto righe x colonne: Ax=b significa sistema lineare se x,b sono vettori colonna.
Matrice trasposta e proprieta'. Matrice simmetrica e anti-simmetrica:A quadrata allora A+A^T e AA^T sono
simmetriche mentre A-A^T e' antisimmetrica. A=1/2(A+A^T)+1/2(A-A^T) e' la decomposizione di A nxn come
somma di simmetrica +antisimmetrica.
Matrice diagonale, matrice triangolare inferiore o superiore, matrice a blocchi.
DETERMINANTI. Sottomatrici di una matrice data: definiz. e esempio nel caso 3x4. Determinante definito come
sviluppo secondo la prima riga.
Esempio di calcolo e (solo enunciato): PROP.: il det si puo' calcolare sviluppando secondo una qualsiasi riga o
colonna. Esempio di calcolo.
Prop. (solo enunciato) Con operazioni elementari del tipo R_i-- R_i+aR_j, o C_i-- C_i+aC_j, i diverso da j il det non
cambia, scambiando due righe o due colonne il det cambia segno.
6.10.05 (Carlini)
Piani per un punto fissato. Piani per due punti dati: come trovarli, osservazione sulla retta congiungente i punti che e
contenuta in tutti i piani trovati, fascio di piani. Piani per tre punti assegnati:determinazione e discussione del numero di
piani. Punti complanari, allineati e coincidenti: come distinguerli attraverso il rango. Esempio di quattro punti non
complanari. Tre punti dipendenti da un parametro: come determinare il valore del parametro affinche' siano allineati
(esempio di discussione di sistema parametrico). Quali insiemi numeri sono spazi vettoriali. Polinomi di grado al piu'
uno in una variabile: esempio di spazio vettoriale ed esempio di vettori linearmente indipendenti.
7.10.05 (Oneto)
Moltiplicando una riga o una matrice per un numero il det... Determinante di matrici diagonali, triangolari superiori e
inferiori, di matrici a blocchi e triangolari (sup o inf ) a blocchi
PROP. A nxn ha caratteristica n (cioe'la
ridotta ha n pivot) se e solo se det A diverso da 0. (Con dim. (*))
PROP.(DEFINIZIONE INTRINSECA DI CARATTERISTICA) A ha rango p se e solo se p= ordine max di una
sottomatrice M di A con det M non = 0. Un esempio con A matrice ridotta..
12.10.05 (Oneto) Minori di una matrice: ancora su caratteristica con i minori: esempi.
MATRICE INVERSA: condizioni equivalenti per l ' esistenza dell 'inversa, algoritmo di Gauss per trovare l' inversa,
inversa del prodotto di matrici invertibili.
RANGO DI UNA MATRICE E COMBINAZIONI LINEARI di righe[colonne]: Prop: se M e' minore non nullo pxp di
matrice di rango p, allora ogni riga [colonna] che non interseca M e' combinazione lineare unica delle p righe [colonne]
che contengono M.(Cenno della dim su un esempio, nel caso delle colonne)
13.10.05 (Carlini)
Matrici elementari 2x2 ed effetto della moltiplicazione a dx o a sx.
Matrici elementari nxn: definizioni e proprieta'. Riduzione di una matrice con algoritmo di Gauss vista come
moltiplicazione per matrici elementari.
Riduzione totale di una matrice invertibile e determinazione dell'inversa come prodotto di matrici elementari. Studio
dell'invertibilita' di una matrice con parametro. Esempio di equazione matriciale lineare 2x2: accenno alla risoluzione
con le equazioni lineari e con il calcolo dell'inversa.
14.10.05 (Oneto) (2 ore)
Matrice inversa: uso nella risoluzione di equazioni matriciali (2 esempi).
Secondo teorema di Laplace (cenno) e calcolo dell’inversa mediante la matrice A’ aggiunta di A.
Sistemi lineari di Cramer e algoritmo per la soluzione.
Teorema di R.Capelli rivisto dopo lo studio della caratteristica con i minori: metodo per trovare le soluzioni. Esempi.
19.10.05 (Oneto)
Numeri complessi: introduzione, operazioni e cenno sulle proprieta’, coniugio e proprieta’ Piano di Gauss, modulo e
argomento di un numero complesso, forma trigonometrica, formula di Eulero e forma esponenziale.
20.10.05 (Carlini)
Inversa di matrice con entrate funzioni, esempio di matrice ortogonale. Sistema di Cramer con entrate funzioni.
Determinazione delle variabili libere attraverso i minori. Discussione di un sistema con due parametri usando i minori.
Equazioni matriciali lineari: caso generale ed esempio con parametri.
21.10.05 (Oneto)
Equazione e^x= z e periodicita’ dell’esponenziale complesso. Le radici dell’ equazione x^n=z.
25.10.05 (Carlini)
Uguaglianza di numeri complessi: relazioni tra le parti reali e le parti
immaginarie; relazioni tra i moduli e gli argomenti. Reciproco di un
numero complesso: formula con il coniugio, formula in forma esponenziale.
Potenze di numeri complessi: calcolo in forma cartesiana ed esponenziale;
calcolo di potenze elevate in casi speciali. Estrazione di radici: radici
quadrate e cubiche dell'identita'. Lo spazio vettoriale C^n: lineare
diepndenza di due vettori in termini di matrici; esempi.
27.10.05 (Oneto)
Equazione x^n=z.: le radici sono ai vertici di poligono regolare con n lati. Polinomi: coefficienti, radici, grado, k[X] .
Teorema di divisbilita’ dei polinomi e algoritmo di divisione. Teorema di RUFFINI (con dim (*))
28.10.05 (Oneto)
TEOREMA FONDAMENTALE DELL’ALGEBRA. Scompisizione in fattori a coefficienti complessi di polinomi.
Molteplicita’ di una radice. Polinomi a coefficienti reali : Prop. le radici complesse di polinomio a coefficienti reali
sono due a due coniugate (con dim (*)), decomposizionedi un polinomio in fattori a coeff. reali di grado 1 o 2.
Esempio: scomposizione di P(X)=X^4+1.
SPAZI VETTORIALI: Sistema di generatori e vettori linearmente indipendenti: definizioni e esempio in R^2.
Prop: n vettori sono dipendenti se e solo se almeno uno e’ combinazione lineare degli altri.
2.10.05 (Oneto) Insieme libero di vettori e base di uno spazio vettoriale. Esempio: R[X].
Spazi vettoriali di dimensione finita: Metodo degli scarti successivi con dim (*),
3.11.05 (Oneto)
Ogni base ha lo stesso numero di elementi (senza dim) Dimensione di uno spazio vettoriale. Esempio K^n: base
canonica.
TEOREMA (conclusivo) Sia V di dimensione n allora:
(1) n= max numero vettori indip in V (2) n= min num di vettori di un sistema di generatori (3) da ogni sistema di
generatori posso estrarre una base (4) ogni insieme di vettori libero puo’ essere completato a base di V (5) n vettori
indipendenti sono base (6) un sistema di generatori costituito da n vettori e’ base.
PROP. In k^n : (1) m vettori sono indipendenti se e solo m= rango della matrice A che ha i vettori come colonne.
(2) dim L (v_1,… v_m)= rango di A.
PROP. Data una base B di uno spazio vettoriale V ogni vettore di V si scrive in modo unico come combinazione lineare
dei vettori di B.
08.11.2005(Carlini)
Richiami:vettori linearmente indipendenti, insiemi liberi, sistema di generatori, base e dimensione, estrazione di una
base da un sistema di generatori ed estrazione di una base da un insieme libero. Il caso di R^4: determinazione di una
base (base canonica e verifiche) e della dimensione; completamento a base usando la base canonica ed i minori;
estrazione di una base usando i minori. Sottospazi di R^4: verifica che due sottospazi sono uno contenuto nell'altro;
completamento di una base del piu' piccolo a base del piu' grande. Lo spazio delle matrici 2x2: determinazione di una
base; matrici a traccia nulla. Discussione di un'equazione matriciale.
09.11.2005( Oneto) Sottospazi: definizione; L{v_1,…,v_n}, l’ insieme delle soluzioni di un sistema lineare
e’sottospazio se e solo se il sistema e’omogeneo (con dim (*)) e la sua dimensione e’ n-rango(matrice coeff.).
10.11.2005( Oneto) Vettori geometrici: somma, moltiplicazione per numero reale, dimensione di V_2 e di V_3.
COORDINATE rispetto a una base in uno spaziovettoriale V qualsiasi. Caso particolare dei vettori geometrici:
fissata base ortonormale {i,j,k} (versori degli assi cartesiani scelti ) coordinate vettore P-O coincidono con coordinate
di P. Le coordinate danno corrispondenza biunivoca tra V_2 e R^2, tra V_3 e R^3. Modulo di un vettore.
15.11.2005(Brolpasino)
Esercizi su prodotto scalare di vettori, coordinate rispetto a una base, proiezione di un vettore su un altro,basi
ortonormali.
16.11.2005( Oneto) Angolo tra due vettori, prodotto scalare, proiezione di un vettore su un altro. Utilizzo per la
costruzione di basi ortonormali.
17.11.2005( Oneto) Prodotto vettoriale, prodotto misto e significati geometrici (rispettivamente area e volume). Matrice
di passaggio tra due basi e formule di cambiamento di coordinate. Matrici ortogonali e proprietà.
23.11.2005( Oneto) Piani nello spazio: vettori normali, equazioni, piani coordinati. Fascio di piani paralleli Rette :
vettori direzionali e equazioni parametriche.
24.11.2005( Oneto) Rette: equazioni cartesiane, passaggio da cartesiane a parametriche e viceversa. Divisione di un
segmento in n parti uguali e punto medio. Proiezioni ortogonali di un punto su una retta e su un piano. Distanze: di
due punti , punto-retta, punto piano. Angolo di due rette e di due piani.
29.11.2005 Carlini)
Equazione del piano per tre punti: con equazioni lineari e con il prodotto vettore. Relazione tra dimensione dello spazio
delle soluzioni e dimensione della famiglia di piani. Quattro punti dipendenti da un parametro t: per quali valori di t i
punti sono complanari? Retta per due punti: forma parametrica e forma cartesiana con il fascio di piani.
Applicazioni dei fasci di piani: piano per retta ed un punto; piani per punto paralleli ad una retta; piano per un punto e
perpendicolare ad una retta.
30.11.2005 (Oneto) Posizioni di due rette nello spazio: rette incidenti, parallele, sghembe. Comune perpendicolare a due
rette sghembe e distanza di due rette parallele o sghembe. Equazione della circonferenza nel piano (xy) e della sfera.
01.12..2005 (Oneto) CIRCONFERENZE e SFERE: l’equazione X^2+Y^2+aX+bY+c=0 rappresenta una crf reale,
oppure complessa, oppure una coppia di rette complesse con un solo punto reale. Analogamente nello spazio
l’equazione X^2+Y^2+Z^2+aX+bY+cZ+d=0 rappresenta una sfera oppure un cono con vertice reale a falda
immaginaria. Definizione di CONO e CILINDRO: generatrici e direttrici. Definizione di RETTA TENGENTE ad una
linea in punto P (posizione limite retta (PQ) Q sulla linea, quando Q tende a P) e PIANO TANGENTE ad una
superficie in punto P (luogo delle rette tangenti alle linee della superficie passanti per P) senza equazioni.
Circonferenza nello spazio, come intersezione di piano e sfera: come trovare centro e raggio. Asse di una circonferenza.
Piano tangente a una sfera e retta tangente ad una circonferenza.
DIAGONALIZZAZIONE: definizione di autovalore, autovetture e autospazio.
Prop. (*) Gli autospazi sono sottospazi di dimensione positiva = n -rango(A-lambda I).
Gli autovalori sono tali che Det (A-lambda I)=0. Det (A-xI) si dice polinomio caratteristico.
06.12.2005 (Carlini) Algoritmo di Gram Schmidt per ortonormalizzazione. Circonferenze nel piano per uno, due e tre
punti: sistemi lineari ed interpretazione geometrica. Punti nello spazio che determinano una sfera e circonferenze nello
spazio. Sfere e piani: data la sfera, determinazione di piani esterni, tangenti, secanti e secanti in circonferenze di raggio
dato.
07.12.2005( Oneto) Diagonalizzazione (*) tutto fino al criterio di diagonalizzabilità (solo enunciato a voce ): autospazi
e loro dimensione, legame con molteplicità degli autovalori, l’unione di basi degli autospazi è insieme libero, basi
costituite da autovettori e matrice di passaggio; formula AP=PD. Esempi.
13.12.2005 (Carlini) Esercizi su diagonalizzazione. Criterio di diagonalizzabilita’ di una matrice.
14.12.2005( Oneto) Diagonalizzazione delle matrici simmetriche. Coniche in forma canonica..
15.12.2005( Oneto) Coniche: riconoscimento, simmetrie e riduzione a forma canonica.
20.12.2005 (Carlini) Studio delle coniche in generale: condizione di degenericita' e tipo della conica.
Esempi di studio di coniche degeneri: forma canonica con traslazione o rotazione. Studio di una conica con traslazione e
rotazione usando gli autovettori e le matrici di passaggio. Equazioni per trovare le coordinate del centro.
Fascio di coniche: determinazione di coniche particolari.
(*) : dimostrazione da sapere per l’ esame.
