Disequazioni esponenziali File - TED

Disequazioni esponenziali pag. 1
DISEQUAZIONI ESPONENZIALI
Le disequazioni esponenziali sono disequazioni in cui l’incognita x si trova ad esponente. Un metodo per
cercare di risolvere una disequazione esponenziale è quello di cercare di ricondurla alle forme:
a f x   a g x 
oppure
a f x   a g x 
In queste forme le espressioni ad esponente f x  e g x  sono espressioni algebriche in x (polinomi,
frazioni, numeri…)
In queste disequazioni la base della potenza è la stessa in entrambi i membri; si può passare a
disequazioni che coinvolgono solo gli esponenti tenendo conto di una regola fondamentale:

se a  1 la funzione esponenziale è crescente, quindi si passa alla disequazione sugli esponenti
conservando il verso della disequazione.

se 0  a  1 la funzione esponenziale è decrescente, quindi si passa alla disequazione sugli
esponenti invertendo il verso della disequazione.
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caso
a 1

la disequazione
a f x   a g x 
diventa
f x   g x 

la disequazione
a f x   a g x 
diventa
f x   g x 
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caso
0  a 1

la disequazione
a f x   a g x 
diventa
f x   g x 

la disequazione
a f x   a g x 
diventa
f x   g x 
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Esempi:
5 x  53 conserva il verso e diventa x  3
5 x  53 conserva il verso e diventa x  3
x
4
x
4
2
2
     inverte il verso e diventa x  4
 3
 3
2
2
     inverte il verso e diventa x  4
 3
 3
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Disequazioni esponenziali pag. 2
a)
1
25
5 2 x 1 
52 x 1  52
diventa
passiamo agli esponenti:
2 x  1  2
3
2
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2 x  3
da cui:
b)
x
e quindi
1
sono tutte potenze di 2 per cui trasformiamo:
16
applichiamo le proprietà delle potenze ottenendo: 215x  2 2  x  2   2 4
85x  4 x 2 
2   2 
3 5x
2 x 2
 2 4
215x  2  x  2   2 4
e quindi
passiamo agli esponenti:
15x  2x  2  4
8
17
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da cui: 15x  2 x  4  4
c)
32 x  3  27 2 x 1
9
4 x 1
 81
x
1

17 x  8
x

passiamo agli esponenti:
3
2 4 x 1
3
4x
 30
32 x 132 x 124 x 14 x  30
applichiamo le proprietà delle potenze ottenendo:
2 x  1  32 x  1  24 x  1  4 x  0
2 x  1  6 x  3  8x  2  4 x  0
da cui:
32 x  3  332 x 1
sono tutte potenze di 3 per cui trasformiamo:

 4x  0

x0
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ALTRI ESEMPI
1.
16
x
2 x 1
4 x
 64
x 1
2 x
sono tutte potenze di 4 che trasformiamo: 4
2 x 1
x
da cui:
4
da cui:
x
 4 3 x 3
2x  1
 3 0
x
2x
passiamo agli esponenti:

abbiamo quindi la disequazione fratta:
2 x 1
4 x
2x 
 4 3 x 1
2x  1
 3x  3
x
 x 2  2 x  1  3x
0
x
 x 2  5x  1
0
x
che si risolverà ponendo il numeratore e il denominatore maggori di zero e poi confrontando
graficamente il loro segno …..
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11  121
x
2.
5
x 2
11 x 1
x 3
1
sono tutte potenze di 11 che trasformiamo:

ricordare che nel caso di divisioni tra potenze di uguale base gli esponenti vanno sottratti

ricordiamo che i radicali danno esponenti frazionari:
4
es.
5
a4  a 5
11
x
x 3
 121 5
x 2
11 x 1
 110
Disequazioni esponenziali pag. 3
11 x  11
da cui:
2  x  3
5
x 2
11 x 1
 110
x
passiamo agli esponenti:

x
11
2  x  3 x  2

5
x 1
 110
2x  6 x  2

0
5
x 1
5x x  1  2 x  6x  1  5x  2
0
5x  1
facciamo il m.c.m. a denominatore:
7x 2  4x  4
0
5x  1
sviluppando i calcoli otteniamo:
è una disequazione fratta che si risolve col confronto dei segni…
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3.
5 x  5 x 1  5 x 2  155
spezziamo le potenze:
raccogliamo il fattore comune 5 x :
5 x  31  155

5x 
155
31




5 x  5 x  5  5 x  52  155

5 x  1  5  5 2  155
5x  5

5 x  51
otteniamo poi:

x 1
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4.
3 x 1  5  3 x 1  63  7  3 x
portiamo le x a sinistra e i numeri a destra: 3 x 1  5  3 x 1  7  3 x  63
spezziamo le potenze:

3x  3  5  3 x  31  7  3 x  63
raccogliamo il fattore comune 3 x
otteniamo poi:
 7
3 x      63
 3


 3
3 x  63    
 7

3x  3 
5 x
 3  7  3 x  63
3
5


3 x   3   7   63
3



3 x  27

3 x  33

x3
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