Disequazioni esponenziali pag. 1
DISEQUAZIONI ESPONENZIALI
Le disequazioni esponenziali sono disequazioni in cui l’incognita x si trova ad esponente. Un metodo per
cercare di risolvere una disequazione esponenziale è quello di cercare di ricondurla alle forme:
a f x a g x
oppure
a f x a g x
In queste forme le espressioni ad esponente f x e g x sono espressioni algebriche in x (polinomi,
frazioni, numeri…)
In queste disequazioni la base della potenza è la stessa in entrambi i membri; si può passare a
disequazioni che coinvolgono solo gli esponenti tenendo conto di una regola fondamentale:
se a 1 la funzione esponenziale è crescente, quindi si passa alla disequazione sugli esponenti
conservando il verso della disequazione.
se 0 a 1 la funzione esponenziale è decrescente, quindi si passa alla disequazione sugli
esponenti invertendo il verso della disequazione.
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caso
a 1
la disequazione
a f x a g x
diventa
f x g x
la disequazione
a f x a g x
diventa
f x g x
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caso
0 a 1
la disequazione
a f x a g x
diventa
f x g x
la disequazione
a f x a g x
diventa
f x g x
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Esempi:
5 x 53 conserva il verso e diventa x 3
5 x 53 conserva il verso e diventa x 3
x
4
x
4
2
2
inverte il verso e diventa x 4
3
3
2
2
inverte il verso e diventa x 4
3
3
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Disequazioni esponenziali pag. 2
a)
1
25
5 2 x 1
52 x 1 52
diventa
passiamo agli esponenti:
2 x 1 2
3
2
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2 x 3
da cui:
b)
x
e quindi
1
sono tutte potenze di 2 per cui trasformiamo:
16
applichiamo le proprietà delle potenze ottenendo: 215x 2 2 x 2 2 4
85x 4 x 2
2 2
3 5x
2 x 2
2 4
215x 2 x 2 2 4
e quindi
passiamo agli esponenti:
15x 2x 2 4
8
17
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da cui: 15x 2 x 4 4
c)
32 x 3 27 2 x 1
9
4 x 1
81
x
1
17 x 8
x
passiamo agli esponenti:
3
2 4 x 1
3
4x
30
32 x 132 x 124 x 14 x 30
applichiamo le proprietà delle potenze ottenendo:
2 x 1 32 x 1 24 x 1 4 x 0
2 x 1 6 x 3 8x 2 4 x 0
da cui:
32 x 3 332 x 1
sono tutte potenze di 3 per cui trasformiamo:
4x 0
x0
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ALTRI ESEMPI
1.
16
x
2 x 1
4 x
64
x 1
2 x
sono tutte potenze di 4 che trasformiamo: 4
2 x 1
x
da cui:
4
da cui:
x
4 3 x 3
2x 1
3 0
x
2x
passiamo agli esponenti:
abbiamo quindi la disequazione fratta:
2 x 1
4 x
2x
4 3 x 1
2x 1
3x 3
x
x 2 2 x 1 3x
0
x
x 2 5x 1
0
x
che si risolverà ponendo il numeratore e il denominatore maggori di zero e poi confrontando
graficamente il loro segno …..
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11 121
x
2.
5
x 2
11 x 1
x 3
1
sono tutte potenze di 11 che trasformiamo:
ricordare che nel caso di divisioni tra potenze di uguale base gli esponenti vanno sottratti
ricordiamo che i radicali danno esponenti frazionari:
4
es.
5
a4 a 5
11
x
x 3
121 5
x 2
11 x 1
110
Disequazioni esponenziali pag. 3
11 x 11
da cui:
2 x 3
5
x 2
11 x 1
110
x
passiamo agli esponenti:
x
11
2 x 3 x 2
5
x 1
110
2x 6 x 2
0
5
x 1
5x x 1 2 x 6x 1 5x 2
0
5x 1
facciamo il m.c.m. a denominatore:
7x 2 4x 4
0
5x 1
sviluppando i calcoli otteniamo:
è una disequazione fratta che si risolve col confronto dei segni…
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3.
5 x 5 x 1 5 x 2 155
spezziamo le potenze:
raccogliamo il fattore comune 5 x :
5 x 31 155
5x
155
31
5 x 5 x 5 5 x 52 155
5 x 1 5 5 2 155
5x 5
5 x 51
otteniamo poi:
x 1
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4.
3 x 1 5 3 x 1 63 7 3 x
portiamo le x a sinistra e i numeri a destra: 3 x 1 5 3 x 1 7 3 x 63
spezziamo le potenze:
3x 3 5 3 x 31 7 3 x 63
raccogliamo il fattore comune 3 x
otteniamo poi:
7
3 x 63
3
3
3 x 63
7
3x 3
5 x
3 7 3 x 63
3
5
3 x 3 7 63
3
3 x 27
3 x 33
x3
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