disequazioni esponenziali - TED

Disequazioni esponenziali pag. 1
DISEQUAZIONI ESPONENZIALI
Le disequazioni esponenziali sono disequazioni in cui l’incognita x si trova ad esponente. Un metodo per
cercare di risolvere una disequazione esponenziale è quello di cercare di ricondurla alle forme:
a f (x ) > a g (x )
oppure
a f (x ) ≥ a g (x )
In queste forme le espressioni ad esponente f ( x ) e g ( x ) sono espressioni algebriche in x (polinomi,
frazioni, numeri…)
In queste disequazioni la base della potenza è la stessa in entrambi i membri; si può passare a
disequazioni che coinvolgono solo gli esponenti tenendo conto di una regola fondamentale:
•
se a > 1 la funzione esponenziale è crescente, quindi si passa alla disequazione sugli esponenti
conservando il verso della disequazione.
•
se 0 < a < 1 la funzione esponenziale è decrescente, quindi si passa alla disequazione sugli
esponenti invertendo il verso della disequazione.
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caso
a >1
•
la disequazione
a f ( x ) > a g ( x ) diventa f ( x ) > g ( x )
•
la disequazione
a f ( x ) ≥ a g ( x ) diventa f ( x ) ≥ g ( x )
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caso
0 < a <1
•
la disequazione
a f ( x ) > a g ( x ) diventa f ( x ) < g ( x )
•
la disequazione
a f ( x ) ≥ a g ( x ) diventa f ( x ) ≤ g ( x )
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Esempi:
5 x > 5 3 conserva il verso e diventa x > 3
5 x ≤ 5 3 conserva il verso e diventa x ≤ 3
x
4
x
4
2
2
  >   inverte il verso e diventa x < 4
 3
 3
2
2
  ≤   inverte il verso e diventa x ≥ 4
 3
 3
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Disequazioni esponenziali pag. 2
a)
5 2 x +1 <
1
25
5 2 x +1 < 5 −2
diventa
passiamo agli esponenti:
2 x + 1 < −2
3
2
………………………………………………………………………………………………………………..
2 x < −3
da cui:
b)
x<−
e quindi
1
sono tutte potenze di 2 per cui trasformiamo:
16
applichiamo le proprietà delle potenze ottenendo: 215 x ⋅ 2 2 ( x + 2 ) > 2 −4
85x ⋅ 4 x +2 >
(2 ) ⋅ (2 )
3 5x
2 x +2
> 2 −4
215 x + 2 ( x + 2 ) > 2 −4
e quindi
passiamo agli esponenti:
15 x + 2( x + 2 ) > −4
8
17
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da cui: 15 x + 2 x + 4 > −4
c)
3 2 x ⋅ 3 ⋅ 27 2 x −1
9
4 x −1
⋅ 81
x
≤1
→
17 x > −8
x>−
→
passiamo agli esponenti:
3
2 (4 x −1)
⋅3
4x
≤ 30
3 2 x +1+ 3(2 x −1)− 2 (4 x −1)− 4 x ≤ 30
applichiamo le proprietà delle potenze♣ ottenendo:
2 x + 1 + 3(2 x − 1) − 2(4 x − 1) − 4 x ≤ 0
2 x + 1 + 6x − 3 − 8x + 2 − 4 x ≤ 0
da cui:
3 2 x ⋅ 3 ⋅ 33(2 x −1)
sono tutte potenze di 3 per cui trasformiamo:
→
− 4x ≤ 0
→
x≥0
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ALTRI ESEMPI
1.
16 x ⋅ 4
2 x +1
x
< 64 x −1
2 x+
sono tutte potenze di 4 che trasformiamo: 4 2 x ⋅ 4
2 x +1
x
da cui:
4
da cui:
−x+
< 4 3 x −3
2x + 1
+ 3< 0
x
passiamo agli esponenti:
→
abbiamo quindi la disequazione fratta:
2x +
2 x +1
x
< 4 3( x −1)
2x + 1
< 3x − 3
x
− x 2 + 2 x + 1 + 3x
<0
x
− x 2 + 5x + 1
<0
x
che si risolverà ponendo il numeratore e il denominatore maggori di zero e poi confrontando
graficamente il loro segno …..
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x
2.
5
11 ⋅ 121
x −2
11 x +1
x −3
>1
sono tutte potenze♥ di 11 che trasformiamo:
♣
ricordare che nel caso di divisioni tra potenze di uguale base gli esponenti vanno sottratti
♥
ricordiamo che i radicali danno esponenti frazionari:
4
es.
5
a4 = a 5
11
x
x −3
⋅ 121 5
x −2
11 x +1
> 110
Disequazioni esponenziali pag. 3
11 x ⋅ 11
da cui:
2 ( x −3)
5
x −2
11 x +1
0
> 11
x+
passiamo agli esponenti:
→
11
x+
2 ( x −3) x − 2
−
x +1
5
> 110
2x − 6 x − 2
−
>0
5
x +1
5 x ( x + 1) + (2 x − 6)( x + 1) − 5( x − 2 )
>0
5( x + 1)
facciamo il m.c.m. a denominatore:
7x 2 − 4x + 4
>0
5( x + 1)
sviluppando i calcoli otteniamo:
è una disequazione fratta che si risolve col confronto dei segni…
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3.
5 x + 5 x +1 + 5 x + 2 ≤ 155
spezziamo le potenze:
raccogliamo il fattore comune 5 x :
5 x ⋅ 31 ≤ 155
→
5x ≤
155
31
→
→
5 x + 5 x ⋅ 5 + 5 x ⋅ 5 2 ≤ 155
→
(
)
5 x ⋅ 1 + 5 + 5 2 ≤ 155
5x ≤ 5
→
5 x ≤ 51
→
otteniamo poi:
x ≤1
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4.
3 x +1 + 5 ⋅ 3 x −1 + 63 > 7 ⋅ 3 x
portiamo le x a sinistra e i numeri a destra: 3 x +1 + 5 ⋅ 3 x −1 − 7 ⋅ 3 x > −63
spezziamo le potenze:
→
3 x ⋅ 3 + 5 ⋅ 3 x ⋅ 3 −1 − 7 ⋅ 3 x > −63
raccogliamo il fattore comune 3 x
otteniamo poi:
 7
3 x ⋅  −  > −63
 3
→
→
 3
3 x < −63 ⋅  − 
 7
→
3x ⋅ 3 +
5 x
⋅ 3 − 7 ⋅ 3 x > −63
3
5


3 x ⋅  3 + − 7  > −63
3


→
3 x < 27
→
3 x < 33
→
x<3
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