Formulario di Elettromagnetismo e ottica
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FORMULARIO DI ELETTROMAGNETISMO E DI OTTICA
NOTA: le grandezze vettoriali sono indicate in neretto.
ELETTROSTATICA
ε = ε0 εr = costante dielettrica assoluta ;
εr = costante dielettrica relativa
Nel vuoto [e con buona approssimazione nell'aria] εr = 1.
Legge di Coulomb nel vuoto:
F=
q1 q2
1
diretta lungo la congiungente q1 - q2
r2
4πε0
attrattiva o repulsiva
la forza elettrostatica di Coulomb e' conservativa
Campo elettrostatico E: è il rapporto tra la forza elettrostatica cui è soggetta una carica q
F
di prova e la carica stessa E =
(da cui si ha F = qE )
( nel S.I. N C )
q
Energia potenziale della forza di Coulomb:
U (r ) =
1 q 1q 2
= U 12 per 2 cariche
4πε 0 r
per un sistema formato da 3 cariche U = U12 + U13 + U 23
Differenza di potenziale fra due punti: VB − VA =
(da cui L 1→2 = q(V1 − V2 ) )
Potenziale elettrico di un punto P:
VP =
L B→ A U (B) − U (A )
=
( nel S.I. J C = Volt )
q
q
L P →∞ U (P ) − U (∞ )
=
q
q
Relazione tra il campo elettrostatico e il potenziale:
Ex = −
∂V
∂x
Ey = −
∂V
∂y
Ez = −
∂V
∂z
E = E x i + E y j + Ez k
Campo elettrostatico e potenziale generati da:
1
q
radiale
4πε 0 r 2
1
q i ri
distribuzione discreta di carica: E =
∑
4πε 0 i ri 2 r i
• carica isolata puntiforme
•
Data ultima revisione: 24/11/05
E=
1
q
4πε 0 r
1
qi
V=
∑
4πε 0 i ri
V=
1
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Il dipolo elettrico
Vettore momento di dipolo p = q d (nel S.I. C ⋅ m ) dove d è il vettore congiungente le due
cariche (orientato dalla carica negativa alla positiva).
Ex =
1
3pxy
4 πε 0 ( x 2 + y 2 ) 52
r = x2 + y2
1 p(2 y2 − x2 )
Ey =
4 πε 0 ( x 2 + y 2 ) 5 2
cosθ =
y
r
A grande distanza dal dipolo (per r >> d):
V( r , θ ) =
r
1 p cos ϑ
4 πε 0 r 2
In un campo esterno E est orientato di un angolo α rispetto a p:
- se il campo è uniforme il dipolo è soggetto a un momento meccanico di rotazione
r
M = p ∧ E est di modulo M = pE sen θ , che tende ad allineare il dipolo con il campo est
- se il campo non è uniforme il dipolo è soggetto anche ad una forza risultante
r
- energia potenziale del dipolo U = - p • E est = - p Eest cos α
Campo elettrostatico e potenziale generati da distribuzioni continue di
carica:
E = ∫ dE
distribuzi one
=∫
1 dq r
4πε 0 r 2 r
V = ∫ dV
distribuzi one
=∫
1 dq
4πε 0 r
• sbarretta (filo) indefinita con densità lineare λ ( C m ) di carica:
E=
λ
radiale al filo
2 πε 0 r
V(r ) = −
λ
lnr
2πε 0
d.d.p. VA − VB =
λ
b
ln
2πε 0 a
• anello di raggio R, carica q in un punto P(z) sull'asse:
E=
qz
4 πε 0 ( z 2 + R 2 )
3
V=
2
q
4 πε 0 z 2 + R 2
• lamina isolante indefinita con distribuzione superficiale σ ( C
m2
) di carica:
σ
perpendicolare alla lamina
2ε 0
σ
V = V0 − (
) z dove V0 = potenziale sulla sup. della lamina
2ε 0
σ
• in prossimità di un conduttore: E = n
dove n = versore della normale esterna alla
ε0
superficie e σ = densità di carica superficiale ( C 2 )
m
q
• disco di raggio R con densità superficiale σ = 2 ( C 2 ) in un punto P(z) sull'asse:
m
πR
σ
z
σ
(1 −
)
E=
V=
( z2 + R 2 − z)
2
2
2ε 0
2ε 0
z +R
E=
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2
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•
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sfera di raggio R con distribuzione volumetrica di carica ρ =
per r ≤ R E =
per r > R
q
(C 3 )
m
4 πR 3
3
1 q ( 3R 2 − r 2 )
ρ 2 r2
V=
R − =
2ε 0
3 8πε 0
R3
ρ R3
1 q
V=
=
3ε 0 r
4πε 0 r
ρr
1 qr
=
radiale
3ε 0 4πε 0 R 3
ρR 3
1 q
E=
=
radiale
2
3ε 0 r
4 πε 0 r 2
• superficie sferica di raggio R con carica totale Q o densità superficiale σ =
per r ≤ R E = 0
per r > R
E=
σR 2
1 Q
radiale
=
2
4πε 0 r 2
ε0r
V=
σR
1 Q
=
ε 0 4πε 0 R
V=
1 Q
σ R2
=
4πε 0 r
ε0 r
Capacita' elettrica
•
di un conduttore
•
di un condensatore
( nel S.I.
C=
Q
V
C=
Coul om b
= Farad )
Volt
capacita' di una sfera isolata C = 4 πε 0 R
Q
∆V
condensatore piano C =
ε0S
d
all'interno il campo e' costante E =
2 πε 0 L
ln b a
a⋅ b
condensatore sferico C = 4 πε 0
b− a
Condensatori in parallelo
C = C1 + C 2
1
1
1
1
Condensatori in serie
=
+
+
....
C C1 C 2 C 3
condensatore cilindrico
∆V
d
C=
Energia immagazzinata in un condensatore carico
Forza tra le armature di un condensatore piano
Densità di energia del campo elettrostatico
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Q
(C 2 )
2
m
4 πR
u=
1
1 Q2
1
C V2 =
= QV
2
2 C
2
Q2
F =
2εA
W =
1
ε E2
2 0
3
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CORRENTI ELETTRICHE
Intensità di corrente
Legge di Ohm
i=
V = Ri
dq
dt
Coul om b
= Ampere )
sec
V
Volt
= Ohm.[Ω] )
( nel S.I. la resistenza R = si misura in
i
Ampere
( nel S.I.
L
S
dipendenza della resistivita' dalla temperatura ρ = ρ0 (1 + α ( T − T0 ))
R = R1 + R 2
Resistenze in serie
1
1
1
1
=
+
+
....
Resistenze in parallelo
R R1 R 2 R 3
Resistenza di un conduttore ohmico
Leggi di Kirchhoff:
Effetto Joule P = i⋅ ∆ V
R=ρ
∑ ik = 0
legge delle maglie ∑ ikRk = ∑ Vk
legge dei nodi
per conduttori ohmici
dove P = potenza media (Watt) e' definita come P =
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∆ V2
P=i R=
R
2
Energia
(da cui En = P⋅ ∆ t )
∆t
4
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MAGNETISMO
(nel S.I. B si misura in Tesla
•
nel CGS in Gauss 1T = 104 gauss)
Campi B generati da circuiti percorsi da una corrente i:
- campo generato da un filo rettilineo indefinito di raggio R:
per r ≥ R
B=
µ0 i
2π r
B=
per r <R
µ 0ir
2 πR 2
- campo sull'asse di una spira circolare di raggio R: B =
-
µ 0 iR 2
(
2 R 2 + z2
B = µ0 i n
campo all'interno di un solenoide indefinito
)
3
dove n =
N spire
l
• Forza magnetica agente su una carica in moto in un campo B
(Forza di Lorentz) F = q v ∧ B modulo F = qvB sen θ
Moto di una carica q in un campo B con velocità v ⊥ B :
imponendo FLorentz = Fcentripeta si ottiene raggio R =
mv
qB
frequenza di ciclotrone f =
qB
2π m
• Forza magnetica agente su un filo lungo l percorso da una corrente i costante
F = i l ∧ B modulo F = i l B sen α
µ 0 i 1i 2 l
2π d
•
Forza magnetica tra due fili paralleli percorsi da corrente:
•
Momento meccanico di rotazione agente su una bobina formata da N spire di area
A percorse da una corrente i costante
M = µ ∧ Best con µ = N i A
F12 =
Legge di induzione di Faraday-Neumann-Lenz:
(il flusso di B attraverso una
superficie chiusa S e' definito come Φ (B) = B⋅S cosθ e nel S.I. si misura in Weber)
ε ind / media = − N
Φ − Φ1
∆Φ ( B )
=−N 2
∆t
t 2 − t1
i ind =
ε ind
R
qind = i ind ∆ t = −N
Φ 2 − Φ1
R
Spira di resistenza R, lati a e b estratta con v = cost (lato a→) da un campo B:
εind = Bav
Induttanza: definizione L =
NΦ( B)
i
Forza necessaria F = iaB =
(nel S.I. si misura in Henry) ==>
B2 a 2 v
R
ε ind / media = − L
2
per un solenoide nel vuoto: L = µ0 n l S
1
Energia immagazzinata in una induttanza W = 2 L i2
Densità di energia di un campo magnetico
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u=
1 2
B
2µ 0
5
∆i
∆t
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ONDE ELETTROMAGNETICHE E OTTICA
Onda e.m. piana - sinusoidale - polarizzata linearmente che si propaga nella direzione z
E = Ex = E0 sen k (z - vt)
B = By = B0 sen k (z - vt)
2π
• relazioni tra i parametri dell'onda sinusoidale:
k=
; λƒ=v ; ω=2πƒ
λ
• nelle precedenti equazioni i campi elettrici e magnetici sono legati dalle relazioni
E0 = v B0
(nel vuoto E = cB)
1
c
con v = velocità di propagazione dell'onda in un mezzo =
=
εrµr
εµ
1
= 3 ⋅ 10 8 m
c = velocità di propagazione nel vuoto =
sec
ε 0µ 0
Vettore di Poynting: S =
1
E ∧ B = energia trasportata nell'unita' di tempo per unita' di area
µ0
Watt
Intensità media di un'onda e.m. sinusoidale = potenza per unità di superficie 2
m
1
1
1
< I > = Smedio = 2 SMAX= cε 0 (E medio ) 2 =
E 0 B0 = cε 0 E 02
2µ 0
Polarizzazione
Legge di Malus
2
I = I0 cos θ
2
tg θΒ = n12
Legge di Brewster
Ottica geometrica
n = εrµ r
Relazione tra indice di rifrazione e costante dielettrica
Velocità della luce e lunghezza d'onda in un mezzo: v =
Leggi di Snell
θ inc = θ riflessione
;
Angolo limite ϕ0 = arcsen
n2
n1
Legge dei punti coniugati
1 1 1
+ =
p q f
sen ϑ1 inc
sen ϑ 2 rifraz
= n 12 =
c
n
λn =
v λ vuoto
=
f
n
n2 v2
=
n1 v 1
[n2 < n1]
r
2
1 1
1 n2
per una lente sottile
= − 1 −
f n1
r1 r2
Ingrandimento G =
himmag
hoggetto
=
q
p
- per uno specchio f =
-
Data ultima revisione: 24/11/05
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potere diottrico di una lente =
1
in diottrie
f (metri )
Interferenza
Date due onde che si propagano nella stessa direzione e i cui vettori elettrici vibrano nello
stesso piano
E1 = A1 sen [k(z - vt) + φ1] e E2= A2 sen [k(z - vt) + φ2]
se φ1-φ2 è costante nel tempo (onde coerenti) ==> l'onda risultante dalla loro
sovrapposizione ha intensità I = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos (φ1 − φ 2 )
Esperimento di Young della doppia fenditura
(d = distanza tra le fenditure, D = distanza fenditure-schermo)
- interferenza distruttiva
d sen ϑ = (n + ½ ) λ
- interferenza costruttiva (bande chiare)
d sen ϑ = n λ
- posizione della n - ma frangia luminosa y n = n
− intensita' risultante
2
I = I0 cos β
con
Dλ
d
β=
πd
sen ϑ
λ
Diffrazione da fenditura circolare:
Posizione del primo minimo nella diffrazione da un foro circolare di diametro d:
sen ϑ = 1.22
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λ
d
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PRINCIPALI COSTANTI DI INTERESSE PER L'ELETTROMAGNETISMO
-12
Costante dielettrica del vuoto
ε0
= 8.86⋅10
Costante di Coulomb
k
=
Permeabilità magnetica del vuoto
µ0
= 4 π⋅10 H/m
Carica dell'elettrone/protone
Massa dell'elettrone
e = 1.60⋅10 C
-31
me = 9.1⋅10 kg
Rapporto e/m per l'elettrone
e
F/m
9
1
=
4 πε 0
9.0⋅10 m/F
-7
-19
11
Massa del protone
= 1.76⋅10 C/kg
m
-27
mp = 1.67⋅10 kg
Velocità delle onde e.m. nel vuoto
Costante di Planck
c
h
8
= 3.0⋅10 m/s
-34
= 6.63⋅10 J⋅s
Spettro elettromagnetico:
___________________________________________
λ (Å)
ƒ (Hz)
tipo
_____________________________________
-1
19
< 10
> 10
raggi γ
-1
2
19
16
10 ÷ 10
10 ÷10
raggi X
2
3
16
15
10 ÷ 10
10 ÷10
ultravioletto
3
14
14
(4 ÷ 8) 10
8 10 ÷4 10
visibile
===== >>>
4
6
14
12
10 ÷10
10 ÷10
infrarosso
6
8
12
10
10 ÷10
10 ÷10
microonde
8
10
> 10
< 10
radioonde
onde e.m. rivelate
dall'occhio umano:
400 - 450 nm violetto
450 - 500 nm blu
500 - 550 nm verde
550 - 600 nm giallo
600 - 650 nm arancio
650 - 700 nm rosso
___________________________________________
FATTORI DI CONVERSIONE
1 eV (elettron-Volt)
1 µ = 1 µm
1 nm
1Å
Data ultima revisione: 24/11/05
=
=
=
=
1.6 ⋅ 10
-6
10 m
10-9 m
-10
10 m
-19
J
8
