x - iis bona mosso

Consideriamo il seguente problema: si vuole trovare il numero reale x tale che:
2x = 64
(1)
L’esponente (x) a cui elevare la base (2) per ottenere il numero 64 è detto logaritmo (logaritmo in base 2 di 64),
indicato così:
x  log 2 64
In particolare in questo caso x è uguale a 6 ed è il logaritmo in base 2 di 64. La base DEVE essere un numero
POSITIVO. Pertanto un modo di calcolare il logaritmo di un numero è di vederlo come operazione inversa (NON è
1 fratto…) a quella di elevare a esponente.
Definizione. Sia b un numero reale positivo (detto anche argomento), a un numero reale positivo diverso da 1; si
chiama logaritmo nella base a del numero b, l’esponente x da dare ad a per ottenere b e si scrive: x  log a b
Esercizi tratti dal libro “Approccio alla matematica, VOL. E”, Minerva Italica
Es. 33 pag. 32. Basandoti sulla definizione di logaritmo, calcola:
A) log 9 27
vuol dire: cerca l’esponente x tale che 9 x  27
1)
Riscrivendo come potenze di 3 si ha:
(32 ) x  33
3 2 x  33 la base è la stessa quindi confrontando gli esponenti si ha 2x = 3 da cui x = 3/2
1
1
B) log 9
vuol dire: cerca l’esponente x tale che 9 x 
27
27
2 x
1)
Riscrivendo come potenze di 3 si ha:
(3 )  33
quindi 2x = -3
da cui x = -3/2
2)
C) log 4
9
27
8
4
9
x
27
.
8
vuol dire: cerca l’esponente x tale che   
x
1)
Riscriviamo come potenze di 2/3 e 3/2:
2)
3 2
Poiché    si ha:
2 3
1
  2  2   3 3
      
 3    2 
2x
2
2
   
3
3
3
quindi 2x = -3
x
  1 2 
quindi      35 (perchè 243 = 35)
 3  


x
D) log 1 243
9
1
vuol dire: cerca l’esponente x tale che    243 ,
9
1
3
Poiché 3 1    si ha
1)
1
 
3
2x
da cui x = -3/2
1
 
3
5
quindi 2x = -5
da cui x = -5/2
Es. 34 pag. 32. Basandoti sulla definizione di logaritmo, calcola:
A) log 2 4 2
1)
vuol dire: cerca l’esponente x tale che 2 x  4 2
1
5
2 x  22  2 2
vuol dire: cerca l’esponente x tale che 3x  3 27
quindi 2 x  2 2
Riscrivendo come potenze di 2 si ha:
B) log 3 3 27
1)
Riscrivendo come potenze di 3 si ha:
C) log 1 2 2
D) log 7 49
x
x
1
quindi 3  3
3
2
x
vuol dire: cerca l’esponente x tale che    2 2
2
3
3  3 3
1
2
1
3 2
 
x
da cui x = 5/2
1
2 3
 
vuol dire: cerca l’esponente x tale che 7  7
quindi 2  x  2  2 da cui x = -3/2
x
quindi 7  7
2
3
Es. 45 pag. 33. Determina l’argomento del logaritmo, dato il valore del logaritmo e la base.
A) log 0.4 x 
1
Dalla definizione di logaritmo:
2
1
x  0.4 2 
1/11
da cui x = 5/2
1
2
4
2

10
5
da cui x = 2/3
B) log 0.09
1
x   Si ha:
2
C) log 3 x  3
x  0.09
3
x 
4
Si ha:
4

1
2
 9 


 100 
3

1
2
1
 100  2 10

  3
 9 
3
64
4
  
27
3
Es. 46 pag. 33. Determina l’argomento del logaritmo, dato il valore del logaritmo e la base.
A) log
B) log
C) log
2
2
3
x4
 2
x   2
2
x
3
4
4
 22  4
x
Si ha:
Si ha:
1
x   Si ha:
2
x
 3
2
3

1
2
2
1 2

2 3
1
3
2  32
 1
  32 
 

1
2

3
1
4
1

3

1
4
1
3
4
Es. 52 pag. 33. Determina la base x dei seguenti logaritmi.
A) log x 128  7 Si ha:
x 7  128
ma 2 7  128
16
B) log x
 2 Si ha:
9
C) log x 243  5 Si ha:
x
2
x 5
quindi x = 2
2
16

9
 243
2
16  3 
16
4
ma   
e  
9
9 4
3
5
ma 3  243
quindi x = 3 / 4
quindi x = 3-1= 1/3
Oppure:
1)
5
x  243
si eleva tutto a -1/5:
2)
1
5  5
1
5 5
x 
 
 3
x
3)
 1
 5   
 5
 1
5   
 5
3
1
4)
x  3  1/ 3
Es. 56 pag. 34. Determina la base x dei seguenti logaritmi.
1
A) log x 3 3  2
 
x 2  3 3 quindi x  3 3
Si ha:
B) log x 4 2  2 Si ha:
x
2
 4 2 quindi
 
x 4 2

1
2
1
2
1
3
 1 1  2  3  2
  3 2    3 2   3 4  4 33  4 27

  
1


  2 2  2 2 



1
2
 2 1 
  2 2 



1
2
5  1
  
 2
 22
2

5
4

1
4
2
5

1
4
32
Es. 76 pag. 36. Applicando le proprietà inverse dei logaritmi, trasforma le seguenti espressioni in un unico
logaritmo, qualunque sia la base.
1
A) 2 log x  2 y   log( x  y )  log x
2
2)
1) Si ha: log x  2 y   log x  y   log x 
2
 log x  2 y    x  y  : x  log
Es. 77 pag. 36.
A) 3log 2  log a  2 log 9  4 log b
2)
 log 23  a 
 log
x
2
 x  2 y 2  x  y 
x
1) Si ha: log 23  log a  log 9 2  log b 4 
1 1
8a
 4  log
2
9 b
81b 4
Es. 79 pag. 36.
A) logx 2  y 2   logx 2  y 2   2 log3x  y 
2)
1
2
2


1) Si ha: logx 2  y 2  x 2  y 2  3 x  y 2 

 x2  y2  y2
x4  y4
 log
2
3x  y 
3x  y 2
Es. 80 pag. 36.
A) 2(log a  3 log b) 
1
1

 log 5  log c 
2
2

1) Si ha: 2 log a  6 log b 
2/11
1
1
log 5  log c 
2
4
 log a 2  log b 6  log 5
2)

1
2
 log c

1
4
3)

 log a 2  b 6
1
5
3)
1
4
possiamo riscrivere c  c
1 1

2 2
1
2
1
2
 1
  c 2  e quindi  log a 2  b 23
 
1

c
1
4

 ab 
 log
3
1
1
1
2
 1 2
5 c2 
 
2
1
 ab 
 log
3
2
5 c
 12  2
 5c 


Es. 88 pag. 37. Ricava il valore della x dalle seguenti uguaglianze.
A) log 3 x  1 
1
log 3 a  2 log 3 b
2
Si cerca di scrivere l’espressione a destra dell’uguale con un unico
logaritmo, nella stessa base di quello dell’espressione a sinistra dell’uguale. Poi si possono confrontare i due argomenti.
1
1
log 3 x  log 3 3  log 3 a 2  log 3 b 2
1)
1
2
x  3a b  2 
 x  3
Quindi
log 3 x  log 3 3a 2 b 2
2)
a
b2
Per gli esercizi da 90 a 98 pag. 37: una tecnica per risolverli è utilizzare le proprietà dei logaritmi. Una alternativa
è quella di riscrivere l'argomento (del logaritmo) in modo che compaiano solo potenze della stessa base rispetto a
cui è calcolato il logaritmo.
Es. 90 pag. 37. Calcola il valore delle espressioni
A) log 2


 
 log 2 8  log 2 2  log 2 23
8  2 1) Si ha:

2)
1
1
2
3
1
 log 2 2 2  log 2 2 2  log 2 2 2 
3
1
3 1
log 2 2  log 2 2    2
2
2
2 2
1
B) log 3 27 3
1 2
1
7
3


1
1
1 7
7
 log 3  33  3 2   log 3 3 2  log 3 3 2   log 3 3 
2
2
2 2
4


Si ha:
Es. 91 pag. 36. Calcola il valore delle espressioni
A) log 2
2 2
3
1
2
 log 2 2  2  4
1) Si ha:
4
 log 2 2  log 2 2  log 2 4
A’) Altro modo
2
5
B) log 5
25  5
3

 log 5
1) Si ha:
5
5 5
5
1
3
1
3

1
3
1
2
1
2 3
 
 log 2 2  2  2
 log 2 2
1 2
1 
2 3
 log 2 2
6  3 4
6
 10  10 

 10 2



5
A) log10 
1) Si ha:
5
1
5
 log 5 5
1 1
2 
5 3

30  3  5 28

15
15
1
 12
 10  10 3
 log10 
2
 10






5
5
1
3 2 12
35
5

 12

 12  13  2 
35
2
3
6




2)
 log10 10  10  10   log10 10
 log10 10 6  
  log10 10
6




A') Un altro modo:
5
I)
5
6
1
1
1 2 634 5
 log 2 2  log 2 2  log 2 4  1   

2
3
2 3
6
6
Es. 92 pag. 36. Calcola il valore delle espressioni
3

 10  3 10 
10  3 10
1 


log10 

5
log
 5 log10 10  log 10 3 10  log10 2  
10
2
2

10
10 

 10

1
1


3  2  12
35
1 1

2

 5 log10 10  log10 10 3  log10 10  2   5   2   5

6
6
2 3



3/11
1
B) log10 10 3  10
1
1 2
7


 7 2
7
 log10 10 3  10 2   log10 10 2   log10 10 4 
4




1) Si ha:
Es. 93 pag. 36. Calcola il valore delle espressioni
A) log 4 2 8
 log 4 4 4  2  log 4 4  4  2  log 4 4  4 
1) Si ha:
4 
1
2
4  log 4
= log 4
2)
 12 
1 1 1 5
4  log 4  4     
2 2 4 4
 
1
B) log 27  3  3 3  1) Si ha:
2)
Visto che la base è 27 e che 27 = 33 allora 3  27 3
 log 27 3  log 27 3 3
1
1
3
1
1
1
 13  2
 13  3
1 1 3 2 5
6




log 27 27  log 27 27  log 27  27   log 27  27   log 27 27  log 27 27 9   

6 9
18
18




1
1 1
5
1

5
Un altro modo: 1) Si ha: log 27 3  3 3  log 27 3 2  3 3  log 27 3 2 3  log 27 3 6  log 27 3
6
1
1
sapendo che log a b 
si ha che log 27 3 
e utilizzando questo risultato si ha:
log b a
log 3 27
5
1
5 1 5
2)
 
  
6 log 3 27 6 3 18
3
1
3
Es. 94 pag. 36. Calcola il valore delle espressioni
3
A) log 2
B) log 9
2
8 2
3  27
3
9

1
2
1
1
1
1 2  18  3
19
 log 2 2  3 log 2 2  log 2 2   3  

3
2
3
2
6
6
1) Si ha:
 log 2 3 2  2 3  2
1) Si ha:
 log 9 3  log 9 9  3  log 9 3 9  log 9 9  log 9 9  3  log 9 3 9 
1
1
3
1
2
2)
 1 2 1
1 1
1 1 12  3  4 11
9  log 9 9    log 9  9 2    1   

2 2
3
4 3
12
12
 
 log 9 9  log 9 9  log 9
Es. 95 pag. 36. Calcola il valore delle espressioni
A) log 2 4 2
9 3
3
1
2
1) Si ha:
1
2
1 5
 2  22
2
 22
 log 2       log 2    log 2    2  
3
3
3
2 2
3
3 
3 
3 
2
B) log 1 25  5
5
1) Si ha:
125
 log 1
1
  1  1 
      1 
 5  
5


  1  1 
  
 5  


Es. 96 pag. 36. Calcola il valore delle espressioni
5
5
3
 log 1
5
5
1
 
5
2
1
 
5
1
 
5
3

5

1
2
 2 
1 3  20  5  6
19
 

2 5
10
10
 4  125 
 log 10 
  log 10 4  25  log 10 100   2
 5 
Es. 97 pag. 36. Calcola il valore delle espressioni
A) log 6 9  log 6 48  log 6 3 1) Si ha:
 log 6 9  48  3  log 6 9  6  8  3  log 6 3 2  6  2 2  2  3
A) log 10 4  log10 125  log10 5 1) Si ha:
 log 6 3 2  2 2  6  6  log 6 6 2  6  6  log 6 6 211  4
Es. 98 pag. 36. Calcola il valore delle espressioni
A) 2 log10 5  3 log 10 2  log10 20
1) Si ha:
 log10 5 2  log10 2 3  log10 20  log10
4/11
25  8
 log10 5  2  1
20
Per gli esercizi da 100 a 111 pag. 38: L’argomento di un logaritmo deve essere un numero positivo.
L’esercizio 100 verrà svolto fornendo anche richiami sulla teoria.
Es.100 pag. 38. Stabilisci per quali valori delle variabili ha significato l’espressione del membro di sinistra delle
seguenti uguaglianze e per quali valori sono vere dette uguaglianze.
a2
log
 2 log a  loga  5  loga  10
a  5a  10
1) L’argomento del logaritmo, nella espressione a sinistra dell’uguale deve essere maggiore di zero:
a2
 0 Si tratta di valutare il segno del rapporto a 2 e a  5a  10
a  5  a  10
Ma valutare il segno di un rapporto è la stessa cosa di valutare il segno di un prodotto. Ad esempio il
segno del prodotto di tre espressioni è positivo se:
tutte e tre le espressioni sono positive oppure
se due su tre sono positive
ma anche il segno di un rapporto tra tre espressioni è positivo se:
tutte e tre le espressioni sono positive oppure
se due su tre sono positive
Quindi: valutare il segno di un rapporto di espressioni è la stessa cosa di valutare il segno di un prodotto
di espressioni. Inoltre si sa valutare il segno del prodotto: si usa una tabella.
Tornando all’esercizio:
-5
10
a2
2)
0
a  5  a  10
se
sempre vera
a2  0
a5 0 

a  5
a  10  0
a  10
+
-
+
3) Quindi i valori della variabile a per cui ha significato l’espressione a sinistra dell’uguale sono dati


dall’insieme S1: S1  a   : a  5  a  10 .


4) Ora occorre stabilire per quali valori di a è vera l’uguaglianza (data dal testo):
a2
log
 2 log a  loga  5  loga  10
a  5a  10
Quindi per l’espressione a sinistra dell’uguale, i valori sono stati trovati al punto 3).
Per quelli a destra dell’uguale: ogni argomento di ogni logaritmo deve essere un numero positivo.
Quindi
2 log a deve avere arg omento positivo :
a0
e
 log a  5 deve avere arg omento positivo :
a5  0
e
 log a  10  deve avere arg omento positivo :
a  10  0
Quindi deve essere vera la prima disequazione (a>0) e la seconda (a+5>0) e la terza (a-10>0): la “e”
significa contemporaneamente e quindi si deve considerare un sistema di disequazioni.
a  0
a  0


Quindi le soluzioni sono date da S2: S 2  a   : a  10
a  5  0
 a  5
a  10  0
a  10


5) I valori per cui è definita l’equazione sono quindi quelli che rendono definite sia l’espressione a
sinistra dell’uguale che quella a destra e quindi sono i valori comuni (->sistema) a S1 e a S2.
5/11
-5
10
Quindi i valori comuni si hanno per a>10.
S1:
S2:
Es.101 pag. 38. Stabilisci per quali valori delle variabili ha significato l’espressione
2a
 log 2  log a  log b
b
2a
1) log
è definito se l’argomento è positivo:
b
log
2a
a
 0
  0 se a  0 e b  0
b
b
oppure
che si esprime anche dicendo che a, b devono essere concordi.
se a  0 e b  0
Quindi
l’insieme
S1
dei
valori
per
cui
log
2a
b
è
definito,
è
dato
da:
S1  a.b   : a  0  b  0  a  0  b  0
2) Si considerano ora gli argomenti dei logaritmi dell’espressione a destra dell’uguale:

log2 è sempre definito (2>0)

log a è definito se a>0

 log b è definito se b>0
Quindi l’insieme S2 dei valori per cui l’espressione a destra dell’uguale è definita, è dato da:
S1  a.b   : a  0  b  0
3) Quindi confrontando S1 con S2 si ricava che l’uguaglianza è definita se a.b   : a  0  b  0
Es.102 pag. 38.
4
log 4 x  9   log 4  4 log x  9 
4
4
1) log 4 x  9  è definito se 4 x  9   0 . Ma una espressione reale elevata ad un esponente intero pari
è sempre non negativa. Quindi basta che sia x-9  0 ovvero x  9.
4
Quindi log 4 x  9  è definita per S1  x   : x  9
2) Si considerano ora gli argomenti dei logaritmi dell’espressione a destra dell’uguale:

log 4
è sempre definito (4>0)

4 log( x  9)
è definito se x-9>0 quindi x>9
Quindi l’espressione a destra dell’uguale è definita per S 2  x   : x  9
3) I valori di x che rendono definite le due espressioni a sinistra e a destra dell’uguale, sono dati
dall’intersezione tra S1 e S2 (valori comuni). Quindi: S 3  S1  S 2  x   : x  9
Es.103 pag. 38.
log
1)
2 x  33  3 log2 x  3  2 log4  x 
4  x 2
2 x  33 è definito se 2 x  33  0 . Occorre valutare il segno del rapporto.
log
4  x 2
4  x 2
6/11
2 x  33  0
4  x 2
2 x  32 2 x  3  0
0
se 2 z  3 0
2
poichè 2 x  3 è sempre  0   2 x  3  0
x
3
2
è sempre non negativa. Quindi 4  x  0 
 x  4
2 x  33
4  x 2


3
è definito per x tale che: S1   x   : x  , con x  4
2


3

Nota. Il libro fornisce come risultato:   x  4 e x  4 che formalmente non è corretto (non è
2

corretta la “e”) perché x non può essere contemporaneamente minore di 4 e maggiore di 4; si indica con
3

  x  4 o x  4 ed è la stessa cosa di dire x>3/2 con x diverso da 4 cioè S1.
2

2) Si considerano ora gli argomenti dei logaritmi dell’espressione a destra dell’uguale:
3

3 log(2 x  3)
è definito se 2 x  3  0 
 x 
2

 2 log(4  x)
è definito se 4  x  0 
 4  x 
 x  4
e le due condizioni trovate devono essere entrambe vere quindi:
3/2
4
Quindi log
x
3
2
3


Quindi S 2   x   :  x  4
2


x4
3) Quindi l’equazione log
2 x  33
4  x 2
 3 log2 x  3  2 log4  x  è definita per i valori di x che
appartengono sia ad S1 (quelli per cui è definita l’espressione a sinistra dell’uguale) che ad S 2 (quelli
per cui è definita l’espressione a destra dell’uguale):
3

 3
 3

S  S1  S 2   x  , x  4     x  4     x  4
2

 2
 2

Es.104 pag. 38.
2x 2  5
 log 2 x 2  5  2 log x  7 
2
x  7
2x 2  5
2x 2  5
1) log
è
definito
se
 0 . Occorre valutare il segno del rapporto.
 x  7 2
 x  7 2

log

2 x 2  5 è sempre positivo
2
1A)
2x  5  0
 x  7 2  0
1B)
1C )
x  7  0 perchè
 x  7 2
sempre vera x
è0
x  7
2x 2  5
è definito per S1  x   : x  7
 x  7 2
2) Si considerano ora gli argomenti dei logaritmi dell’espressione a destra dell’uguale:
Quindi log
2x 2  5  0 
 è sempre vera


log 2 x 2  5

è definito se
perchè 2 x 2 è sempre  0 e sommiamo 5
7/11

 2 log( x  7)
è definito se x  7  0 
 x  7
Quindi l’espressione a destra dell’uguale è definita per S 2  x   : x  7
2x 2  5
3) Quindi l’equazione log
 log 2 x 2  5  2 log x  7  è definita per i valori di x appartenenti a:
2
x  7
S  S1  S 2  x  7  x  7  x  7

Es.111 pag. 38.





log x 2  6 x  5  log 1  x 2  log x  5  log1  x 
1) Consideriamo i termini a sinistra dell’uguale.
1A) log x 2  6 x  5 è definito se x 2  6 x  5  0 .


1
6  36  20 6  4


2
2
 x  1  x  5
Le radici di x 2  6 x  5 sono date da: x1, 2 
Quindi x 2  6 x  5  0 per S1 A

5

1B) log 1  x 2 è definito se 1  x 2  0
Le radici di 1  x 2 sono date da x  1 .
Quindi
per S1B   1  x  1
1C) Quindi l’espressione a sinistra dell’uguale è definita per i valori di x comuni a S1A e S1B:
S1  S1 A  S1B  x  1  x  5   1  x  1:
-1
1
5
x  1 x  5

 1  x  1
Quindi
S1   1  x  1
2) Consideriamo i termini a destra dell’uguale.
2A) log x  5 è definito se x  5  0 . Quindi S 2 A  x  5
2B)  log1  x  è definito se 1  x  0 . Quindi S 2 B  x  1
2C) Quindi l’espressione a destra dell’uguale è definita per i valori di x comuni a S2A e S2B:
S 2  S 2 A  S 2 B  x  5  x  1  x  5
3) Quindi l’equazione log x 2  6 x  5  log 1  x 2  log x  5  log1  x  è definita per i valori di x
appartenenti a:
S  S1  S 2   1  x  1 x  5


-1

1

5
 1  x  1

 x5
Quindi non ci sono valori
comuni per cui S = 
8/11
Per gli esercizi da 113 a 118 pag. 39: La spiegazione fa riferimento alla calcolatrice di Windows.
Es.113 pag. 38. Calcola i logaritmi decimali dei seguenti numeri
Apriamo: “StartTutti i programmiAccessoriCalcolatrice” e impostiamo “VisualizzaScientifica”.
A) Per calcolare log10 52 : sulla calcolatrice è presente il tasto
che indica il logaritmo naturale
(ovvero in base e) e il tasto
che in questo caso indica il
logaritmo in base 10 (più spesso è indicato con Log).
Quindi
1) Si digita l’argomento di cui calcolare il Log: 52
2) Poi si clicca su log e si ottiene:
Per verifica: proviamo a calcolare 10 elevato al
numero che abbiamo ottenuto. A tal fine si deve
selezionare “Inv” e poi click su log (lasciando il
numero ottenuto sul display: si riottene 52).
Nota: controllare che la calcolatrice usi il sistema in base 10:
Esercizio (applicazione delle proprietà dei log e della calcolatrice)
Calcolare il valore approssimato dell’esponente a cui elevare 2 per ottenere 100.
1) Si tratta di calcolare: log 2 100 . Tuttavia su una calcolatrice è possibile calcolare ln oppure Log.
2) Si utilizza la proprietà del “cambio di base”, che si riporta di seguito:
log a N  log a b  log b N
dove a = la base “e” o “10” cioè quella che si trova sulla calcolatrice
b invece è in questo caso uguale a 2
N in questo caso è 100
3) Quindi log10 100  log10 2  log 2 100
da cui (si deve esprimere log 2 100 in funzione di log10 ), usando la calcolatrice di Windows:
log 2 100 
log10 100
2

 6,6438561897747246957406388589788
log10 2
0,30102999566398119521373889472449
9/11
Chiaramente non è necessario scrivere il valore “approssimato” con tutti quei decimali (es. 6.6438).
Verifica: si calcola 2 6.6438 .
4) Si scrive 2
5)
Click sul tasto
6) Si scrive 6.6438 7) Click su
8) Si ottiene
Es.141 pag. 41 Calcola il valore approssimato
A)
358  3 7594
2.37 5
Si digita 7594; poi click su
. Poi si scrive 3 e dopo click su
(si sta elevando 7594 alla
1/3 cioè la radice cubica) e dopo su
Click su “tasto di moltiplicazione”
e si digita 358 e poi
Click su
, si scrive 2 e dopo click su
e click su
Click su
e poi si digita 2
(è lo stesso scrivere “.”) e poi 37.
Click su
poi si digita 5 e poi
Es.148 pag. 41 Problema
. Si ottiene:
Consideriamo 1 cellula e cosa succede ad ogni scissione, per stabilire cosa succede alla ventesima scissione.

1a scissione 1 cellula
2 1
cellule

2 cellule
diventano
22
cellule

4 cellule
diventano
24
cellule

8 cellule
diventano
2 8
cellule
2a scissione
3a scissione
diventa
4a scissione

Cioè 23 = 24-1 dove 4 è il numero della scissione corrente

20a scissione

2201 cellule
2  2201
diventano
cellule
Quindi ci sono 2  220 1 2 20 cellule
Es.149 pag. 41 Problema
Si può considerare cosa succede con una ninfea “quadrata” (solo per comodità) per capire cosa vuol dire che le
dimensioni raddoppiano ogni giorno:
giorno 1
L’area della ninfea al giorno 1 è A1  L  L  L2 ,
dove A1 indica l’area raggiunta nel giorno 1
10/11
giorno 2
L’area
della
ninfea
al
giorno
2
2
A2   2 L    2 L   4 L ,
dove A2 indica l’area raggiunta nel giorno 2
è
Si può esprimere A2 in funzione di A1:
A2  4 L2  A2  4 A1
giorno 3
L’area della ninfea al giorno 3 è A3   4 L    4 L   16 L2
(4L perché il lato raddoppia rispetto a 2L)
Si può esprimere A2 in funzione di A1:
A3  42 L2  4 2 A1  A3  431 A1
giorno 4
L’area della ninfea al giorno 4 è A4   8L    8L   64 L2
(8L perché il lato raddoppia rispetto a 4L)
Si può esprimere A2 in funzione di A1:
A4  64 L2  4 16 L2  4 A3  4  431 A1  43 A1  A4  4 41 A1
…
giorno k
In base ai ragionamenti precedenti, si può esprimere Ak in funzione di A1:
Ak  4 k 1  A1
Quindi si deve intervenire al limite il giorno precedente a quello in cui si ha
ANINFEA  ALAGO
Se k = 126 allora l’area ricoperta dalla ninfea è pari a quella del lago:
ALAGO  41261  A1
Tenendo conto che l’area della ninfea diventa 4 volte più grande del giorno precedente allora si deve
intervenire il giorno in cui si ha ANINFEA  ALAGO / 4
Da cui:
1
4k 1 A1   41261 A1   4 k 1  412611  k  125
4
11/11