PROGRAMMA ANALISI II ANNO ACCADEMICO 2006–2007

PROGRAMMA ANALISI II
ANNO ACCADEMICO 2006–2007
VITTORIO COTI ZELATI
Successioni e serie di funzioni
Convergenzaa puntuale ed uniforme. Criterio di Cauchy. Continuità della funzione limite. Passaggio al limite sotto il segno di integrale e di derivata. Convergenza
assoluta e totale per le serie di funzioni. Serie di potenze. Serie di Taylor.
Funzioni reali di più variabili reali
Spazi metrici ed elementi di topologia: intorni, aperti, chiusi, compatti, connessi.
I compatti di Rn . Continuità. Il teorema dell’esistenza degli zeri, il teorema di
Weirstrass, il teorema dei valori intermedi, il teorema di Cantor. Spazi di Banach.
Funzioni reali di più variabili reali
Derivate parziali, gradiente. Teorema di Schwarz. Funzioni differenziabili. Teorema del differenziale e continuità delle funzioni differenziabili. Jacobiano. Derivazione di funzioni composte. Teorema del valor medio o di Lagrange. Funzioni
con gradiente nullo in un connesso. Funzioni omogenee e loro caratterizzazione.
Formula di Taylor per funzioni di più variabili. Massimi e minimi in più variabili:
condizioni necessarie e sufficienti. Funzioni convessse e loro caratterizzazione.
Curve ed integrali curvilinei
Curve regolari e curve orientate nel piano e nello spazio: definizioni, parametrizzazioni equivalenti, versore tangente, ascissa curvilinea. Lunghezza di una curva e
teorema di rettificabilità. Integrali curvilinei. Versore normale e curvatura di una
curva piana. Curve biregolari nello spazio: versori normale e binormale, curvatura
e torsione.
Forme differenziali lineari
Definizione e integrale curvilineao di una forma differenziale lineare. Forme
differenziali esatte e loro caratterizzazione. Forme differenziali chiuse nel piano
e condizioni sufficienti per l’esattezza.
Integrali multipli
Integrali doppi su domini normali: definizione, integrabilità delle funzioni continue, formule di riduzione. Teorema di Gauss-Green, della divergenza, di Stokes
nel piano. Calcolo delle aree. Cambiamento di variabili negli integrali doppi (senza
dimostrazione). Integrali tripli: definizione, formule di riduzione e di cambiamento
di variabili.
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VITTORIO COTI ZELATI
Cenni su superfici e integrali di superficie
Superfici regolari in R3 : definizione, coordinate locali, cambiamenti di parametrizzazione. Piano tangente e versore normale. Area di una superficie. Superfici
orientabili e superfici con bordo. Integrali di superfice. Formula di Stokes e teorema
della divergenza.
Testo adottato [1].
Testi Consigliati
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N. Fusco, P. Marcellini, and C. Sbordone, Analisi matematica due, Liguori, Napoli.
E. Giusti, Analisi matematica 2, Bollati Boringhieri.
G. Prodi, Lezioni di analisi matematica II, ETS Editrice, Pisa, 1974.
W. Rudin, Principi di analisi matematica, McGraw-Hill, Milano, 1991.