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u.d. 04 CONGIUNZIONE LOGICA, ESCLUSIONE 4.1 Congiunzione logica, prodotto dicotomico Date due proprietà α, β in un universo U, possiamo combinarle con il connettivo “E” (italiano “e”, latino “et”, inglese “and”, simbolo “∧”), ottenendo così il predicato monadico “α E β”. In simboli α ∧ β. Tale operazione si chiama congiunzione logica. Es. 1: U = la popolazione degli studenti del CdL in SFP α(x) = x ha superato l’esame di Matematica e did.mat. β(x) = x ha superato l’esame di Logica informatica γ(x) = α(x) ∧ β(x) = x ha superato entrambi gli esami Esprimendo tale situazione con una tabella, nella quale per ogni individuo x vengono riportati i valori di α(x), β(x), γ(x), avremo: studente α(x) β(x) γ(x) a 1 0 0 b 0 0 0 c 1 1 1 d 1 0 0 e 1 1 1 f 0 1 0 … … … … In cui leggiamo che hanno superato entrambi gli esami gli studenti c, e. Osserviamo che se in ogni riga moltiplichiamo (aritmeticamente) il valore di α(x) per quello di β(x) otteniamo il valore di γ(x). Infatti per la legge dell’annullamento del prodotto, il prodotto è nullo, se o solo se è nullo almeno uno dei due fattori, mentre vale 1 quando sono 1 entrambi i fattori. Perciò, in generale, possiamo scrivere che: α(x) ∧ β(x) = α(x) ∙ β(x) ovvero in parole possiamo dire che, se esprimiamo le proprietà (predicati monadici) con variabili dicotomiche (0/1), la congiunzione logica e la moltiplicazione aritmetica coincidono (sono la stessa operazione). 4.2 Parte comune (intersezione) Date due proprietà α, β e la loro congiunzione logica γ, possiamo considerare gli insiemi: A = insieme corrispondente alla proprietà α, B = insieme corrispondente alla proprietà β, C = insieme corrispondente alla proprietà γ. α
β α∧β Notiamo che l’insieme C, corrispondente alla congiunzione logica α ∧ β è la parte comune (o intersezione) degli insiemi A, B. In simboli: C = A ∩ B Infatti (A ∩ B) per definizione è l’insieme degli elementi che appartengono (contemporaneamente) all’insieme A e all’insieme B. 4.3 Il numero cardinale dell’intersezione Date due proprietà α, β in un universo U, quanti sono gli individui che soddisfano ad entrambe le proprietà? In altri termini, qual è il numero cardinale dell’intersezione A ∩ B ? Per rispondere a questa domanda, combiniamo le nostre due conoscenze seguenti: a) L’operazione logica di congiunzione equivale al prodotto aritmetico delle variabili dicotomiche (dal par. 4.1); b) Il numero cardinale di un insieme si ottiene addizionando i valori (0/1) della sua funzione caratteristica (dal par. 2.4). Combinando le due azioni (a, b), otteniamo che: per trovare il numero cardinale della parte comune di due insiemi, basta moltiplicare i valori corrispondenti delle due variabili dicotomiche, e poi addizionare tutti i prodotti così ottenuti. Es. 2: Nella classe 3° C (universo) abbiamo somministrato una prova oggettiva. Consideriamo le proprietà: α(x) = l’alunno x ha risposto bene al primo quesito, β(x) = l’alunno x ha risposto bene al secondo quesito. Vogliamo calcolare quanti allievi hanno risposto bene ad entrambi i quesiti (primo e secondo). Rappresentiamo i dati nella seguente tabella, dove svolgiamo anche i calcoli suddetti: alunno α(x) β(x) γ(x) = α(x) ∧ β(x) a b c d e f 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1∙1 = 1
1∙0 = 0
0∙1 = 0
0∙0 = 0
1∙0 = 0
1∙1 = 1
Somma = 2 L’operazione appena descritta (somma dei prodotti) si chiama in generale prodotto scalare e si indica di solito col simbolo “⊗” Riassumendo possiamo dire che: il numero degli individui che soddisfano la proprietà congiunta (α ∧ β) è uguale al prodotto scalare delle due variabili dicotomiche. Ovvero: # (A ∩ B) = α⊗ β 4.4 Esclusione, differenza insiemistica Date due proprietà α, β in un universo U, consideriamo ora la proprietà α(x) MA NON β(x) ovvero, in simboli: α ∧ ⌝β [è vero α, e non è vero β] Tale operazione logica considera α escludendo β, perciò si chiama operazione di esclusione. Es. 3: Riprendendo la stessa situazione dell’es. 2 con questa operazione di esclusione: alunno α(x) β(x) δ(x) = α(x) ∧⌝β(x) A B C D E F 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 Passando ai corrispondenti insiemi, abbiamo: AA α ∧ ⌝β
L’insieme D, corrispondente alla proprietà α ∧ ⌝β , si chiama differenza insiemistica. In simboli: D = A \ B In altri termini, (A \ B) è l’insieme degli elementi di A, che non stanno in B. In particolare, se A è l’insieme totale (A=U), abbiamo: A \ B = U \ B = ∁ B cioè il complementare di B è la differenza insiemistica tra l’universo e B. Osserviamo anche che, quando la differenza insiemistica (A \ B) è vuota, allora vuol dire che non esistono elementi di A che non appartengono a B; cioè che tutti gli elementi di A appartengono a B, quindi che A è incluso in B. In sintesi: (A \ B) = 0 ⇒ A ⊆ B 4.5 Proprietà incompatibili, insiemi disgiunti Due proprietà α, β in un universo U si dicono incompatibili, se il verificarsi dell’una esclude il verificarsi dell’altra, cioè se: α(x) ⇒ ⌝β(x) [ovvero β (x) ⇒ ⌝α (x) ] In tali casi gli insiemi corrispondenti A, B stanno nella relazione: A ⊆∁ B Cioè: se x ∈ A ⇒ x ∉ B
cioè non esiste un x che appartenga ad entrambi gli insiemi A, B,
ovvero A ∩ B = 0 (A, B non hanno elementi comuni). Due qualsiasi insiemi A, B, tali che A ∩ B = 0 si dicono insiemi disgiunti. A B Es. 4: Se le norme di una certa università prevedono che non ci si possa iscrivere mai a due corsi di laurea contemporaneamente, allora l’insieme degli studenti iscritti alla Facoltà L e l’insieme degli studenti iscritti alla Facoltà M saranno certamente disgiunti. Infatti, si può dire anche che le due iscrizioni sono incompatibili. Osserviamo che se due insiemi A e B sono disgiunti, allora si ha:
A \ B = A, B \ A = B.