33 LIMITE FINITO PER UNA FUNZIONE IN UN PUNTO

LIMITE FINITO PER UNA FUNZIONE IN UN PUNTO
Limite finito per una funzione in un punto
Sia f ( x ) una funzione reale definita nello insieme D , In simboli :
∀ε > 0 ∃δ > 0 t. c. ∀x ∈ D I (c - δ , c + δ )
e c un punto di accumulazione per D .
Si dice che la funzione f ( x ) ha per limite il numero e x ≠ c si ha che f(x) - L < ε
reale L , al tendere di x al numero reale c , e si scrive:
lim f ( x ) = L
y
x →c
quando, in corrispondenza ad un qualsiasi intorno
completo I di L , scelto piccolo a piacere, è sempre
possibile determinare un intorno completo H del
punto c , tale che per tutti i punti x del dominio D
della funzione ed appartenenti a tale intorno H ,
escluso al più il punto c (dove la funzione può non
essere definita), i corrispondenti valori f ( x ) della
funzione cadono nell’intorno I di L .
Limite sinistro
Si dice che la funzione f ( x ) ha per limite il numero
reale L , al tendere di x al numero reale c da sinistra,
e si scrive:
lim f ( x ) = L
x →c −
quando, in corrispondenza ad un qualsiasi intorno
completo I di L , scelto piccolo a piacere, è sempre
possibile determinare un intorno sinistro H del punto
c, tale che per tutti i punti x del dominio D della
funzione ed appartenenti a tale intorno H, escluso al
più il punto c (dove la funzione può non essere
definita), i corrispondenti valori f ( x ) della funzione
cadono nell’intorno I di L .
Limite destro
Si dice che la funzione f(x) ha per limite il numero
reale L , al tendere di x al numero reale c da destra,
e si scrive:
lim f ( x ) = L
x →c +
f (x)
y = f ( x)
.
.
.
. ...
c− δ c c + δ
x
x
In simboli :
∀ε > 0 ∃δ > 0 t. c. ∀x ∈ D I (c - δ , c )
e x ≠ c si ha che f(x) - L < ε
y
.
l .
l −ε .
.
l +ε
.
.
. .
c− δ c
x
In simboli :
∀ε > 0 ∃δ > 0 t. c. ∀x ∈ D I (c, c + δ )
e x ≠ c si ha che f(x) - L < ε
y
l +ε
quando, in corrispondenza ad un qualsiasi intorno
completo I di L , scelto piccolo a piacere, è sempre
possibile determinare un intorno destro H del punto c,
tale che per tutti i punti x del dominio D della
funzione ed appartenenti a tale intorno H, escluso al
più il punto c (dove la funzione può non essere
definita), i corrispondenti valori f(x) della funzione
cadono nell’intorno I di L .
APPUNTI DI MATEMATICA
.
.
l.
l −ε .
l +ε
.
l .
l −ε .
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
.
.
.
.
c
.
c−δ
x
33
LIMITE INFINITO PER UNA FUNZIONE IN UN PUNTO
Limite infinito per una funzione in un punto
Sia f ( x ) una funzione reale definita nell’insieme D, e c un punto di accumulazione per D.
Si dice che la funzione f ( x ) ha per limite l’infinito ∞, al tendere di x al numero reale c, e si scrive :
lim f ( x ) = ∞
x →c
quando, in corrispondenza ad un qualsiasi intorno completo di infinito I = (−∞, −M) U (M, +∞), con
M > 0 scelto grande a piacere, è sempre possibile determinare un intorno completo H del punto c, tale
che per tutti i punti x del dominio D della funzione ed appartenenti a tale intorno H, escluso al più il
punto c (dove la funzione può non essere definita), i corrispondenti valori f(x) della funzione cadono
nell’intorno I di infinito.
∀M > 0 ∃δ > 0 t. c. ∀x ∈ D I (c - δ , c + δ ) e x ≠ c si ha che f(x) > M
In simboli :
y
f (x) .
M.
y
.
.. .cc.+ δ
c−δ
c −. δ.c .
c+ δ
x
.
−M
lim f ( x ) = +∞
.
−M
lim f ( x ) = −∞
x →c −
.
M.
x
lim f ( x ) = −∞
x →c +
lim f ( x ) = +∞
x →c +
x →c −
Altri sottocasi
lim f ( x ) = +∞
lim f ( x ) = −∞
x →c
x →c
y
y
M
.
. .
c.
.
.
c− δ c + δ
c − δ c+ δ
. .c .
x
−M
∀M > 0 ∃δ > 0 t. c. ∀x ∈ D I (c - δ , c + δ )
e x ≠ c si ha che f(x) > M
APPUNTI DI MATEMATICA
x
. .
∀M > 0 ∃δ > 0 t. c. ∀x ∈ D I (c - δ , c + δ )
e x ≠ c si ha che f(x) < - M
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34
LIMITE FINITO PER UNA FUNZIONE ALL’INFINITO
Limite finito per una funzione all’infinito
Sia f ( x ) una funzione reale definita nell’insieme D .
Si dice che la funzione f ( x ) ha per limite il numero reale L , al tendere di x all’infinito ∞, e si scrive :
lim f ( x ) = L
x →∞
quando, in corrispondenza ad un qualsiasi intorno completo I di L , scelto piccolo a piacere, è
sempre possibile determinare un intorno completo di infinito H = (−∞, −Ν) U (N, +∞), tale che per
tutti i punti x del dominio D della funzione ed appartenenti all’intorno di infinito H , i corrispondenti
valori f ( x ) della funzione cadono nell’intorno I di L .
In simboli : ∀ε > 0 ∃ N > 0 t. c. ∀x ∈ D e x > N si ha che f(x) - l < ε
y
y
.
l +ε .
.l
.
l−ε .
.
lim f ( x ) = L+
.
l +ε
.
l.
.l−ε
.
.x
.
N
-N
x → −∞
f (x)
.
.
.
N
x
lim f ( x ) = L−
lim f ( x ) = L−
x → +∞
x
lim f ( x ) = L+
x → −∞
x → +∞
Altri sottocasi
y
f (x)
l +ε
..
.
lim f ( x ) = L+
x →∞
.
x
l
.
. .x
x
N
-N
In simboli : ∀ε > 0 ∃ N > 0 t. c. ∀x ∈ D e x > N si ha che f(x) ∈ (l, l + ε )
y
f (x)
lim f ( x ) = L−
x →∞
. .
x -N
l
..
. −ε
l
. .x
N
x
In simboli : ∀ε > 0 ∃ N > 0 t. c. ∀x ∈ D e x > N si ha che f(x) ∈ (l - ε , l )
APPUNTI DI MATEMATICA
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35
LIMITE INFINITO PER UNA FUNZIONE ALL’INFINITO
Limite infinito per una funzione all’infinito
Sia f ( x ) una funzione reale definita nell’insieme D .
Si dice che la funzione f ( x ) ha per limite l’infinito ∞, al tendere di x all’infinito ∞, e si scrive :
lim f ( x ) = ∞
x →∞
quando, in corrispondenza ad un qualsiasi intorno completo di infinito I = (−∞, −Μ) U (M, +∞), con
M>0 scelto grande a piacere, è sempre possibile determinare un intorno completo di infinito
H=(−∞, −Ν) U (N,+∞) , tale che per tutti i punti x del dominio D della funzione ed appartenenti
all’intorno di infinito H , i corrispondenti valori f ( x ) della funzione cadono nell’intorno I di infinito ∞ .
In simboli :
∀M > 0 ∃ N > 0 t. c. ∀x ∈ D e x > N si ha che f(x) > M
y
y
.
M.
.
f(x)
x -N
..
.
.
.
.N . x
.
x
.
N
-N
.-M
.
.M
x
-M
.
.
f(x)
lim f ( x ) = −∞
lim f ( x ) = +∞
x → −∞
lim f ( x ) = +∞
x → +∞
lim f ( x ) = −∞
x → −∞
x → +∞
Altri sottocasi
lim f ( x ) = −∞
lim f ( x ) = +∞
x →∞
x →∞
y
y
N
-N
.
.
x
M
.
.
.
-M
.
.
.
.
.
N
-N
∀M > 0 ∃ N > 0 t. c. ∀x ∈ D e
∀M > 0 ∃ N > 0 t. c. ∀x ∈ D e
x > N si ha che f(x) < - M
x > N si ha che f(x) > M
APPUNTI DI MATEMATICA
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x
36
TEOREMI SUI LIMITI
Teorema dell’unicità del limite
⎛
⎞
⎜ Se esiste il lim f ( x ) = L ⎟
x→ c
⎝
⎠
⇒
(il
limite L è unico
)
Dimostrazione
Supponiamo per assurdo che lim f ( x ) = L
e
x→ c
lim f ( x ) = M
x→ c
con L < M
allora, per la definizione di limite, ∀ ε > 0 esistono due intorni, H1 e H 2 di c tale che:
∀x ∈ H1 , escluso al più il punto c , si ha L − ε < f ( x ) < L + ε e
∀x ∈ H1 , escluso al più il punto c , si ha M − ε < f ( x ) < M + ε
H2
Nell’intorno H1 I H 2 le relazioni suddette valgono simultaneamente
H1
Avendo supposto L < M si ha:
L − ε < m − ε < f( x) < L + ε < m + ε
da cui si ha:
m − ε < f( x) < L + ε ;
m−ε <L+ε ;
m −L < 2 ⋅ε ;
ε>
cioè
c
H
m−L
.
2
Ε questa condizione su ε contraddice la definizione di limite, secondo il quale ε deve poter essere un
numero positivo qualunque . E quindi assurdo supporre che la funzione abbia in c due limiti diversi.
Similmente si dimostrano gli altri casi (limite infinito, limite per x tendente all’infinito).
Teorema della permanenza del segno
⎛
⎞
⎜ Se esiste il lim f ( x ) = L ≠ 0 ⎟
x→ c
⎝
⎠
⇒
⎛ Esiste un intorno I del punto c, tale che
⎜
⎜ ∀x ∈ I e x ≠ c la funzione assume valori
⎜ dello stesso segno del suo limite .
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Teorema del confronto o dei due carabinieri
⎛ Se f (x) , h (x) e g (x) sono tre funzioni⎞
⎟
⎜
g (x)
⎜ definite nello stesso intervallo (a, b) , ⎟
⎜ escluso al più un punto c di esso e se ⎟
⎟
⎜
⎛ lim h (x) = l ⎞
l °
⎟⎟
⎟ ⇒ ⎜⎜
⎜ risulta ∀x ∈ (a, b) che :
h
(x)
x
→
c
⎟
⎜ f (x) ≤ h (x) ≤ g (x)
⎝
⎠
⎟
⎜
f (x)
⎟
⎜ lim f (x) = lim g (x) = l ≠ 0
⎟
⎜
x→c
⎠
⎝x → c
APPUNTI DI MATEMATICA
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°
c°
37
FUNZIONI CONTINUE
Una funzione f ( x ) , definita in [a, b ] , è continua nel punto c ∈ [a, b ] se risulta che lim f ( x ) = f ( c )
x→ c
Una funzione f ( x ) è continua a destra del punto c se risulta che
lim f ( x ) = f ( c )
x→ c+
lim f ( x ) = f ( c )
Una funzione f ( x ) è continua a sinistra del punto c se risulta che
x→ c−
Una funzione f ( x ) è continua nell’intervallo [a, b ] se essa è continua in ogni punto c ∈ [a, b ] .
Teorema 1
Se f ( x ) e g ( x ) sono due funzioni continue in un punto c , allora sono continue nel punto c anche le
f( x)
funzioni f ( x ) + g ( x ) , f ( x ) − g ( x ) , f ( x ) ⋅ g ( x ) , f ( x ) + g ( x ) ,
g( x )
Teorema 2
Se g ( x ) è continua nel punto x0 e f ( z ) è continua nel punto z0 = g ( x0 ) , allora la funzione composta
f ( g ( x0 )) è continua nel punto x0 .
Teorema 3
Un funzione y = f ( x ) continua in un intervallo [a, b ] nel quale è crescente (o decrescente), definisce una
funzione inversa x = g ( y ) che è continua e crescente (o decrescente) nell’intervallo [m , M ] , dove m e
M sono rispettivamente il minimo ed il massimo della y = f ( x ) in [a, b ] .
Teorema di Weierstrass
⎛ Se f (x) è continua in ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ un intervallo chiuso [a, b] ⎠
⎛ f (x) assume in [a, b] il massimo
⎜⎜
⎝ assoluto e il minimo assoluto
⇒
⎞
⎟⎟
⎠
Teorema di Darboux-Bolzano
⎛ Se f (x) è continua in un ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ intervallo chiuso [a, b]
⎠
⎛ f(x) assume in [a, b] ogni valore compreso
⎜⎜
⎝ fra il suo minimo e il suo massimo assoluto
⇒
⎞
⎟⎟
⎠
f (a)
Max
a
f (x)
o
x1
min
x2
o
x3
o
b
f (b)
a
x
b
Teorema dell’esistenza degli zeri
⎛ Se f (x) è continua in un intervallo chiuso
⎜
⎜ [a, b] , e se agli estremi dell' intervallo
⎜ assume valori di segno opposto
⎝
APPUNTI DI MATEMATICA
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⇒
⎛ f (x) si annulla in almeno un punto ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ interno all' intervallo [a, b]
⎠
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38
LA CONTINUITA’ DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
La conoscenza della continuità di una funzione f ( x ) in un punto c , è un’informazione molto importante
per il calcolo del suo limite. Infatti, in questo caso, non solo esiste il lim f(x) , ma il valore di tale limite
coincide con f ( c ) . Pertanto il calcolo del limite si riduce al calcolo del valore f ( c ) .
Di seguito sono elencate le principali funzioni continue:
La funzione razionale intera y = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an −1 x n −1 + an x n è continua ∀x ∈ R .
N( x )
La funzione razionale fratta y =
è continua nell’insieme { x ∈ R / D (x ) ≠ 0}.
D( x )
La funzione irrazionale di indice dispari y = dispari f ( x ) è continua ∀x ∈ R .
La funzione irrazionale di indice pari y = pari f ( x ) è continua nell’insieme { x ∈ R / f (x ) ≥ 0}.
La funzione logaritmica y = log a f ( x ) è continua nell’insieme { x ∈ R / f (x ) > 0} .
La funzione esponenziale y = a f ( x ) è continua ∀x ∈ R .
La funzione esponenziale y = f ( x )g ( x ) è continua nell’insieme
{ x ∈ R / f (x ) > 0} .
Le funzioni goniometriche y = sen f ( x ) e y = cos f ( x ) sono continue ∀x ∈ R .
π
⎫
⎧
La funzione goniometrica y = tg f ( x ) è continua nell’insieme ⎨ x ∈ R / f ( x ) ≠ + kπ ⎬
2
⎭
⎩
La funzione goniometrica y = cot g f ( x ) è continua nell’insieme {x ∈ R / f ( x ) ≠ kπ }
La funzione goniometrica y = arcsen f ( x ) è continua nell’insieme {x ∈ R / − 1 ≤ f ( x ) ≤ 1} .
La funzione goniometrica y = ar cos f ( x ) è continua nell’insieme {x ∈ R / − 1 ≤ f ( x ) ≤ 1} .
Le funzioni goniometriche y = arctg f ( x ) e y = arc cot g f ( x ) sono continue ∀x ∈ R .
PUNTI DI DISCONTINUITA’ PER UNA FUNZIONE
I punti di discontinuità di una funzione si dividono in tre specie :
Ia specie : la funzione f ( x ) ha nel punto c una discontinuità di Ia specie, se in tale punto esistono finiti
destro e sinistro e sono fra loro diversi.
IIa specie : la funzione f ( x ) ha nel punto c una discontinuità di IIa specie, se in tale punto uno almeno
dei due limiti destro e sinistro è infinito oppure non esiste.
IIIa specie : la funzione f ( x ) ha nel punto c una discontinuità di IIIa specie (o eliminabile), se in tale
punto esiste finito il limite, ma il valore di f ( c ) o non esiste, oppure esiste ma risulta diverso dal limite.
APPUNTI DI MATEMATICA
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39
Esempio 1
y
se x ≥ 1 è continua ∀x ≠ 1 .
La funzione f ( x ) = ⎧⎨ x − 2
x
+
1
se
x <1
⎩
In x = 1 la funzione ha una discontinuità di Ia specie.
mentre
Infatti lim f ( x ) = lim (x − 2 ) = − 1
x → 1+
lim f ( x ) =
x → 1−
x → 1+
lim (x + 1) = 2 .
x → 1−
O 1
x
Dal grafico si nota il salto che la funzione ha in x = 1 .
Esempio 2
La funzione f ( x ) = tg x è continua ∀x ≠
π
+ kπ .
2
π
+ kπ la funzione ha una discontinuità di IIa specie.
2
e
lim tg x = +∞ .
Infatti lim tg x = −∞
In x =
x→
π+
2
x→
π−
2
π
2
Esempio 3
sen x
è continua ∀x ≠ 0 .
x
In x = 0 la funzione ha una discontinuità di IIIa specie.
sen x
=1
mentre f ( 0 ) non esiste, poiché il dominio di f ( x ) è R − {0} .
Infatti lim
x→0
x
Tale tipo di discontinuità è detta anche eliminabile, perché ridefinendo la funzione nel seguente modo:
⎧ 1
se x = 0
⎪
⎪
la funzione diventa continua in tutto R .
f( x) = ⎨
sen
x
⎪
se x ≠ 0
⎪⎩ x
La funzione f ( x ) =
APPUNTI DI MATEMATICA
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40
ALGEBRA DEI LIMITI
Somma e prodotto
n +∞ = +∞
+∞ +∞ = +∞
n−∞=−∞
−∞ −∞ = −∞
n • ∞=∞
∞ • ∞=∞
Quoziente
0
=0
n
0
=0
∞
n
=0
∞
∞
=∞
n
∞
=∞
0
n
=∞
0
Potenza
0 n >0 = 0
n0 = 1
( 0 < n < 1 )−∞ = +∞
0 n <0 = +∞
( n > 1 )+∞ = +∞
+ ∞( m >0 ) = +∞
0 +∞ = 0
( n > 1 )−∞ = 0 +
+ ∞( m<0 ) = 0 +
0 −∞ = +∞
( −∞ )
( 0 < n < 1 )+∞ = 0 +
(pari > 0)
+ ∞ −∞ = 0 +
+ ∞ +∞ = +∞
(pari < 0)
= +∞
( −∞ )
= 0+
( −∞ ) (dispari < 0) = 0 −
( −∞ ) (dispari > 0) = −∞
Forme indeterminate
+∞−∞=? −∞+∞=?
0 • ∞=?
0
=?
0
∞
=?
∞
00 = ?
∞0 = ?
1∞ = ?
Limiti fondamentali
sen x
=1
lim
x→0
x
x
1⎞
⎛
lim ⎜1 + ⎟ = e
x →∞ ⎝
x⎠
Limiti derivati dai limiti fondamentali
1 - cos x 1
=
x→0
2
x2
lim
1
lim (1 + x ) x = e
x→0
ax −1
= log e a
lim
x →0
x
log x
lim
=0
x → +∞ x α
lim x α ⋅ log x = 0 ( α > 0)
x →0 +
lim sen x = non esiste
1 - cos x
=0
x→0
x
log e (1 + x )
lim
=1
x→0
x
tg x
=1
x→0 x
log b (1 + x )
1
lim
=
x→0
x
log e b
lim
ex −1
=1
lim
x →0
x
xα
lim x = 0
x → +∞ a
lim
(
1 + x )α − 1
=α
lim
x
log x
lim
=0
x → +∞ a x
= lim e [g ( x )⋅ log f ( x )]
x →0
lim [f ( x )]g ( x )
x → +∞
lim cos x = non esiste
x → +∞
x → +∞
sen x
=0
x →∞
x
cos x
=0
x →∞
x
lim
APPUNTI DI MATEMATICA
x → +∞
lim
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41
Dimostrazioni
1 - cos x ⎛ 0
⎞
= ⎜ =?⎟.
2
x →0
x
⎝0
⎠
1 - cos x
x→0
x2
lim
=
sen 2 x
x →0 x 2 ⋅ (1 + cosx )
2
1 - cos x ⎛ 0
⎞
= ⎜ =?⎟ .
x →0
x
⎝0
⎠
lim
=
lim
x →0
1 - cos 2 x
x ⋅ (1 + cosx )
=
lim
x →0
lim
x →0
tg x
⎛0
⎞
lim
= ⎜ =?⎟ .
x →0 x
⎝0
⎠
= 1⋅
1
1
1 - cos x
x
sen 2 x
x ⋅ (1 + cosx )
tg x
lim
x →0 x
= 1⋅ 1
=
1 +1
=
lim
x →0
lim
x →0
1 - cos x 1 + cos x
⋅
x
1 + cos x
=
lim
x →0
=
lim
1
.
2
1
sen x
⋅ sen x ⋅
x
1 + cosx
sen x
lim cos x
x →0
x
=
=
1 - cos 2 x
x →0 x 2 ⋅ (1 + cosx )
=
sen x 1
⋅
cos x x
=
= 1⋅0 ⋅ 1
2
=
lim
x →0
= 0.
sen x
1
⋅
x
cos x
= 1.
(
1
)
lim (1 + x ) x = 1 ∞ = ? .
x →0
1
lim (1 + x ) x
x →0
lim
1
⎛ sen x ⎞
lim ⎜
⎟ ⋅
x →0 ⎝
x ⎠ 1 + cosx
=
lim
1 - cos x 1 + cos x
⋅
x →0
1 + cos x
x2
=
lim
=
1⎞
⎛
lim ⎜1 + ⎟
t →∞ ⎝
t⎠
Si pone x =
t
log b (1 + x ) ⎛ 0
⎞
= ⎜ =?⎟ .
x →0
x
⎝0
⎠
1
.
= log b e =
log e b
ax −1 ⎛ 0
⎞
= ⎜ =?⎟ .
x →0
x
⎝0
⎠
lim
ricavando poi x = log a (1 + t ) =
per cui (x → 0 ) ⇔ (t → ∞ ) , sostituendo:
= e.
log e (1 + x ) ⎛ 0
⎞
lim
= ⎜ =?⎟ .
x →0
x
⎝0
⎠
= log e e = 1 .
lim
1
t
1
log e (1 + x )
1
= lim
⋅ log e (1 + x ) = lim log e (1 + x ) x =
lim
x →0
x →0 x
x →0
x
1
log b (1 + x )
1
= lim
lim
⋅ log b (1 + x ) = lim log b (1 + x ) x =
x →0
x →0
x
0
→
x
x
Si pone a x − 1 = t da cui si ottiene a x = 1 + t ;
log e (1 + t )
per cui (x → 0 ) ⇔ (t → 0 ) , sostituendo:
log e a
ax −1
1
t
1
t
= lim
= lim log e a ⋅
= lim log a ⋅
= log e a ⋅ = log e a
e
x →0
t
0
→
x
1
log e (1 + t )
t →0
log e (1 + t )
t →0 log e (1 + t )
t
log e a
lim
ex −1 ⎛ 0
⎞
= ⎜ =?⎟ .
x →0
x
⎝0
⎠
lim
APPUNTI DI MATEMATICA
ex −1
= log e e = 1 .
x →0
x
Per il limite precedente lim
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42
Limiti delle funzioni razionali
Limiti delle funzioni razionali intere
Il calcolo del limite di una funzione razionale intera f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an −1 x n −1 + an x n è
effettuato nel seguente modo:
A. Se x → c il limite è dato dal valore della funzione f ( x ) per x = c , cioè: lim f ( x ) = f ( c ) ;
X →c
B. Se x → ±∞ il calcolo del limite, nel caso in cui si presenta la forma indeterminata + ∞ − ∞ , è
effettuato raccogliendo a fattor comune la variabile x n (x di grado max ).
(
lim a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an −1 x n −1 + an x n
x → ±∞
( essendo lim
x →±∞
a0
x
n
a1
lim
=
x →±∞
x
n −1
=
lim
x →±∞
a2
x n −2
)
a
a
⎛a
⎞
lim x n ⋅ ⎜ 0n + n1−1 + ... + n −1 + an ⎟ =
x → ±∞
x
x
⎝x
⎠
a
= . . . = lim n −1 = 0 ).
x →±∞ x
=
lim an ⋅ x n
x → ±∞
Il valore del limite dipende esclusivamente dal termine di grado massimo:
(
lim a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an −1 x n −1 + an x n
x → ±∞
Esempi
(
)
= 2 + 3 ⋅ 02 − 4 ⋅ 03 = 2 .
(
)
= 2 + 3 ⋅ 2 2 − 4 ⋅ 2 3 = − 18 .
lim 2 + 3 x 2 − 4 x 3
x →0
lim 2 + 3 x 2 − 4 x 3
x →2
(
)
)
=
lim an x n
x → ±∞
⎞
⎛ 2 3
lim x 3 ⋅ ⎜ 3 + − 4 ⎟ = [→ −∞] • [→ (0 + 0 − 4 )] = + ∞ .
x → −∞
x → −∞
x
⎝x
⎠
2
3
Più velocemente si ha: lim 2 + 3 x − 4 x
= lim − 4 x 3 = + ∞ .
lim 2 + 3 x 2 − 4 x 3
=
x → −∞
(
)
x →−∞
Limiti delle funzioni razionali fratte
a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n
Il calcolo del limite di una funzione razionale fratta f ( x ) =
è effettuato nel
b0 + b1 x + b2 x 2 + ... + bp x p
seguente modo:
a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n
(con c valore finito e diverso
x → c b + b x + b x 2 + ... + b x p
0
1
2
p
da zero) è effettuato distinguendo i seguenti sottocasi:
N(x) N(c)
lim
=
.
1. Se D( c ) ≠ 0 allora
X → c D(x)
D(c)
N(x)
2. Se D( c ) = 0 e N( c ) ≠ 0 allora
lim
= ∞.
X → c D(x)
N(x)
0
3. Se D( c ) = 0 e N( c ) = 0
lim
allora
si presenta nella forma indeterminata .
X → c D(x)
0
Per eliminare l’indeterminazione occorre scomporre numeratore e denominatore raccogliendo il
fattor comune (x − c ) .
A. Se x → c , il calcolo del limite lim
APPUNTI DI MATEMATICA
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
43
Esempi
2 − 3x + 7 x2
X → −1 5 x 4 − 8 x 3
lim
3x + 3
X → −1 5 x 4 − 8 x 3
=
5x4 − 8x3
lim
X → −1
3x + 3
=
lim
2 − 3 ⋅ (− 1) + 7 ⋅ (− 1)2
=
=
5 ⋅ (− 1)4 − 8 ⋅ (− 1)3
3 ⋅ (− 1) + 3
=
5 ⋅ (− 1) − 8 ⋅ (− 1)
4
3
5 ⋅ (− 1)4 − 8 ⋅ (− 1)3
3 ⋅ (− 1) + 3
2x3 − x2 −7 x + 2
X →2
2x2 − 5x + 2
lim
=
12
.
13
0
. = 0
13
13
. = ∞.
→0
Il limite si presenta nella forma indeterminata
0
. Occorre scomporre numeratore
0
e denominatore raccogliendo il fattor comune (x − 2 ) . Per fare ciò si utilizza Ruffini.
2
2
−1
−7
2
2
4
3
6
−1
−2
=
2x3 − x2 − 7 x + 2
X →2
2x2 − 5x + 2
lim
=
2
(x − 2 ) ⋅ (2 x 2 + 3 x − 1)
X →2
(x − 2 ) ⋅ (2 x − 1)
lim
=
2
−5
2
2
4
−1
−2
=
13
2 ⋅ 2 2 + 3 ⋅ 2 −1
2 x 2 + 3 x −1
=
=
X →2
3
2 x −1
2 ⋅ 2 −1
lim
N(x)
0
può presentare la forma di indecisione
.
X → 0 D(x)
0
L’indeterminazione è eliminata dividendo numeratore e denominatore per la x di grado minimo.
B. se x → 0 , il calcolo del limite
lim
.
Il limite dipende esclusivamente dai termini di grado minimo as x s e b t x t
a x s + a x s +1 + ... + an −1 x n −1 + an x n
as x s
lim s t s +1 t −1
=
lim
x →0
x →0 b x t
bt x + bt −1 x ... + bp −1 x p −1 + bp x p
t
⎧
⎪0
⎪⎪
= ⎨∞
⎪a
⎪ s
⎪⎩ bt
se s > t
se s < t
se s = t
s = esponente min della x a numeratore
t = esponente min della x a denominatore
Esempi
lim
2 − 3x + 7 x2
X →0 5 x 4 − 8 x 3
=
2 −0 +0
0 −0
= ∞.
3 − 2x + 7 x2
X →0
5x4 − 8
=
3 −0 +0
0 −8
=
3x − 2x2
X →0 2 x − 5
0 −0
0 −5
lim
lim
=
APPUNTI DI MATEMATICA
= 0.
−
Il limite è immediato
3
.
8
Il limite è immediato
Il limite è immediato
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
44
3 x 5 − x 4 + 17 x 2 ⎛ 0
⎞
= ⎜ =?⎟
4
3
X →0
2 x + 23 x
⎝0
⎠
Dividendo per x 2 (x di grado minimo) si ha:
lim
3 x 5 − x 4 + 17 x 2
X →0
2 x 4 + 23 x 3
lim
=
3 x 3 − x 3 + 17
X →0 2 x 2 + 23 x
lim
3 x 5 − x 4 + 17 x 2
X →0
2 x 4 + 23 x 3
→ (0 − 0 + 17 )
= ∞.
→ (0 + 0 )
=
17 x 2
X →0 23 x 3
17
17
=
= ∞.
23 x
→0
In modo più veloce lim
=
2 x 5 − x 4 + 17 x 3 ⎛ 0
⎞
= ⎜ =?⎟
3
X →0
2 x + 23 x
⎝0
⎠
Dividendo per x ( x di grado minimo) si ha:
lim
lim
=
lim
X →0
0 −0 +0
2 x 4 − x 3 + 17 x 2
=
= 0.
2
X →0
2 +0
2 + 23 x
17 x 3
17 x 2
2 x 5 − x 4 + 17 x 3
= lim
= lim
In modo più veloce lim
X →0 2 x
X →0
X →0
2
2 x + 23 x 3
2 x 5 − x 4 + 17 x 3
X →0
2 x + 23 x 3
lim
=
lim
2x5 − x4 + 7 x3 ⎛ 0
⎞
= ⎜ =?⎟
4
3
X →0
2x − 8x
⎝0
⎠
2x5 − x4 +7x3
X →0
2x4 − 8x3
=
2x5 − x4 +7x3
X →0
2x4 − 8x3
In modo più veloce lim
C. Se x → ∞
= 0.
7
0 − 0 +7
= − .
8
0 −8
3
7
7x
7
= lim
= lim
= − .
X →0 − 8
X →0 − 8 x 3
8
2x2 − x + 7
X →0
2x − 8
lim
0
2
Dividendo per x 3 ( x di grado minimo) si ha:
lim
lim
=
=
il calcolo del limite lim
X →0
N(x)
D(x)
può presentare la forma di indecisione
∞
.
∞
L’indeterminazione viene eliminata raccogliendo a fattor comune la variabile x n a numeratore e la
variabile x p a denominatore.
Il limite dipende esclusivamente dai termini di grado massimo an x n e bp x p
a + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n
an x n
lim 0
lim
=
x → ∞ b + b x + b x 2 + ... + b x p
x →∞ b x p
0
1
2
p
p
⎧
⎪
⎪⎪0
= ⎨∞
⎪a
⎪ n
⎪⎩ bp
se n < p
se n > p
se n = p
In particolare, se x → +∞ e n > p si ha:
a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n ⎧⎪+ ∞
= ⎨
x → +∞ b + b x + b x 2 + ... + b x p
0
1
2
p
⎪⎩− ∞
lim
APPUNTI DI MATEMATICA
se an e bp sono concordi
se an e bp sono discordi
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
45
In particolare, se x → −∞ e n > p si ha:
a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n
lim
x → −∞ b + b x + b x 2 + ... + b x p
0
1
2
p
⎧
⎪+ ∞
⎪
⎪
⎪
= ⎨
⎪
⎪
⎪− ∞
⎪
⎩
se an e bp sono concordi e n − p è pari
oppure
se an e bp sono discordi e n − p è dispari
se an e bp sono concordi e n − p è dispari
oppure
se an e bp sono discordi e n − p è pari
Esempi
2 − 5x3
X → −∞
3
lim
lim
X → −∞
3
=
+∞.
Il limite è immediato
−
3
5x − 2
= 0 .
Il limite è immediato
3 x 5 − x 4 + 17 x 2 ⎛ ∞
⎞
=⎜
=?⎟
4
3
X →∞
2 x + 23 x
⎠
⎝∞
lim
Dividendo per x 5 (x di grado massimo) si ha:
1 17
+
x x 3 = → (3 − 0 + 0 ) = ∞ .
= lim
→ (0 + 0 )
X →∞
2 23
+ 2
x x
3x
3 x 5 − x 4 + 17 x 2
3x5
Senza fare i calcoli invece, lim
= lim
= lim
4
3
4
X
→
∞
→
∞
X →∞
X
2
2 x + 23 x
2x
3−
3 x 5 − x 4 + 17 x 2
lim
X →∞
2 x 4 + 23 x 3
= ∞.
3 x 6 − x 4 + 17 x 2 ⎛ ∞
⎞
=?⎟
=⎜
3
4
X → −∞
2x − 5x
⎝∞
⎠
lim
Raccogliendo x 6 (x di grado massimo) al numeratore) e x 4 (x di grado massimo) al denominatore, si ha:
6
4
3 x − x + 17 x
lim
X →−∞
2x3 − 5x4
=
(→ +∞ ) ⋅ ⎛⎜ → − 3 ⎞⎟
⎝
5⎠
2
=
1 17 ⎞
⎛
x6 ⋅ ⎜3 − + 2 ⎟
x x ⎠
⎝
lim
X →−∞
⎛2
⎞
x4 ⋅ ⎜ − 5 ⎟
⎝x
⎠
=
lim x 2 ⋅
1 17
+
x x2
2
−5
x
3−
X →−∞
=
(→ +∞ ) ⋅ → (3 − 0 + 0 )
→ (0 − 5 )
= −∞.
3 x 6 − x 4 + 17 x 2
X →−∞
2x3 − 5x4
Senza fare i calcoli invece, lim
5 − 2x2 − x4 ⎛ ∞
⎞
=⎜
=?⎟
7
X → ∞ 2 x + 23 x
⎝∞
⎠
lim
=
Dividendo per
3x6
X →−∞ − 5 x 4
lim
=
3x6
X →−∞ − 5
lim
= −∞.
x 7 ( x di grado massimo) si ha:
5
2
1
− 5 − 3
7
→ (0 − 0 − 0 )
x
x
= lim x
=
= 0.
→ (0 + 23 )
X →∞
2
+ 23
x6
5 − 2x2 − x4 =
− x4 =
−1
Senza fare i calcoli invece, lim
lim
lim
X →∞ 23 x 3
X → ∞ 2 x + 23 x 7
X →∞ 23 x 7
5 − 2x2 − x4
lim
X → ∞ 2 x + 23 x 7
APPUNTI DI MATEMATICA
= 0.
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
46
=
2x5 − x4 + 7 x3 ⎛ ∞
⎞
=⎜
=?⎟
4
5
X →∞
2x − 3x
⎝∞
⎠
lim
Dividendo per x 5 ( x di grado minimo) si ha:
1
7
+ 2
2
→ (2 − 0 + 0 )
x x
= lim
=
= − .
3
→ (0 − 3 )
X →∞
2
−3
x
2
2x5 − x4 + 7 x3 =
2x5
= lim
Senza fare i calcoli invece, lim
lim
4
5
5
X →∞ − 3
X →∞
X →∞ − 3 x
2x − 3x
2x5 − x4 + 7 x3
lim
X →∞
2x4 − 3x5
APPUNTI DI MATEMATICA
2−
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
= −
2
.
3
47
Limiti delle funzioni irrazionali
Limiti delle funzioni irrazionali intere
Il calcolo del limite di una funzione irrazionale intera f ( x ) =
n
f ( x ) è effettuato nel seguente modo:
A. Se x → c , dove c è un punto al finito del Dominio della funzione, il calcolo del limite è dato dal
valore della funzione f ( x ) per x = c , cioè: lim f ( x ) = f ( c ) .
X →c
B. Se x → ±∞ , il calcolo del limite, nel caso in cui si presenta la forma indeterminata + ∞ − ∞ , è
effettuato razionalizzando il termine che crea l’indeterminazione.
Esempi
(
lim
x →4
lim
x → +∞
lim
x →+∞
=
=
x +5 −3 x +4
(
(
x +5 − x −5
x +5 − x −5
(
lim
lim
x →+∞
lim
( 2x
lim
x →∞
=
9 −38
=
(+ ∞ − ∞ = ? )
=
lim
x →+∞
)(
( 2x
=
)
x +5 − x −5 ⋅
lim
x →∞
)
4 +5 −3 4 +4
=
(
) ((
2
2
−1 − 2x2 − x −1
(
)
2 x 2 −1 − 2 x 2 − x −1
( 2x
)
=
=
lim
( 2x
=
lim
−1 − 2x2 − x −1
)
x +5 + x −5
2
=
2
)
−1 + 2 x 2 − x −1
)
(+ ∞ − ∞ = ? )
x →∞
x →∞
2
lim
x →∞
x
⎛ 2 ⎛
⎜ x ⋅ ⎜ 2 − 1 ⎞⎟ + x 2 ⋅ ⎛⎜ 2 − 1 − 1
⎜
x x2
x2 ⎠
⎝
⎝
⎝
) (( 22 xx
x
2
=
−1 + 2x2 − x −1
lim
x →∞
=
razionalizzando il numeratore si ha:
−1 − 2x2 − x −1 ⋅
( 2x
⎞ ⎞⎟
⎟⎟
⎠⎠
2
x +5 + x −5
10
= 0
→ +∞
No, basta raccogliere a fattor comune la variabile x, ricordando che
=
3-2 = 1
) =
x +5 + x −5)
( x +5) − ( x −5)
lim
x +5 − x −5 ⋅
x +5 + x −5
=
razionalizzando il numeratore si ha:
x →+∞
x +5 + x −5
x + 5 − (x − 5 )
x + 5 − (x − 5 )
= lim
=
x →+∞
x +5 + x −5
x +5 + x −5
x →+∞
x →∞
)
)
)
− x −1)
2
−1 + 2x2 − x −1
2
−1 + 2x2
=
=
⎛∞
⎞
⎜ = ? ⎟ dalla padella nella brace?
⎝∞
⎠
⎧
⎪
x 2 = x = ⎨+ x
⎪⎩− x
x
⎛
1
1
1
x ⋅ ⎜⎜ 2 − 2 + 2 − − 2
x x
x
⎝
se x ≥ 0
se x < 0
⎞
⎟
⎟
⎠
=
x
1
1
⎧
=
= lim
⎪ xlim
→+∞
x →+∞ ⎛
⎛
1
1
1 ⎞
1
1
1 ⎞ 2 2
⎪
⎜ 2−
+ 2 − − 2 ⎟⎟
+ x ⋅ ⎜⎜ 2 − 2 + 2 − − 2 ⎟⎟
2
⎜
x x ⎠
x x ⎠
x
x
⎪
= ⎪
⎝
⎝
⎨
x
1
1
⎪ lim
lim
=−
=
→
−∞
→
−∞
x
x
⎛
⎛
⎪
2 2
1
1
1 ⎞
1
1
1 ⎞
− ⎜⎜ 2 − 2 + 2 − − 2 ⎟⎟
− x ⋅ ⎜⎜ 2 − 2 + 2 − − 2 ⎟⎟
⎪
x x ⎠
x x ⎠
x
x
⎪⎩
⎝
⎝
APPUNTI DI MATEMATICA
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
48
lim
(x
lim
(x
x → −∞
x → −∞
+ 2x + x
+ 2x + x
)
x2 + 2x − x2
lim
x →−∞
=
2
2
2
)
(+ ∞ − ∞ = ? )
=
=
=
lim
x →−∞
x →−∞
2x
x →−∞
⎛
⎞
2
− x ⋅ ⎜⎜ 1 + + 1 ⎟⎟
x
⎝
⎠
)
x2 + 2x − x
+ 2x + x ⋅
2x
lim
x + 2x − x
lim
(x
2
razionalizzando il numeratore si ha:
2
x2 + 2x − x
=
x + 2x − x
=
lim
x →−∞
⎛
− ⎜⎜
⎝
(x
lim
=
x →−∞
2x
lim
2
+ 2x
2
2
=
x2 + 2x − x
=
2
x ⋅ 1+ − x
x
2
2
=
=
(
)
→
−
1
+
1
⎞
2
1 + + 1 ⎟⎟
x
⎠
) −x
2x
lim
x →−∞
x →−∞
2
−2
=
=
2
− x⋅ 1+ − x
x
−1 .
Limiti delle funzioni irrazionali fratte
Il calcolo del limite di una funzione irrazionale fratta f ( x ) =
n
N( x )
è effettuato nel seguente modo:
D( x )
A. Se x → c il calcolo del limite, nel caso in cui si presenta la forma indeterminata
0
, è effettuato
0
razionalizzando il termine che crea l’indeterminazione.
Esempi
1 + x2 −1
⎛0
⎞
= ⎜ =?⎟
x
⎠
⎝0
lim
X →0
lim
X →0
=
1 + x2 −1
=
x
lim
X →0
X →5
lim
=
1 + x2 +1
1 + x 2 −1 1 + x 2 +1 =
⋅
X →0
x
1 + x 2 +1
→0
=
= 0.
→2
lim
x −1 − 2
⎛0
⎞
= ⎜ =?⎟
x −5
⎝0
⎠
lim
X →5
x
Razionalizzando si ha:
x −1 − 2
x −5
lim
X →5
=
1
x −1 + 2
lim
X →5
=
APPUNTI DI MATEMATICA
5 −1 + 2
X →0
1 + x2 −1
(
2
x ⋅ 1 + x +1
)
=
lim
X →0
(
x2
2
x ⋅ 1 + x +1
)
=
Razionalizzando si ha:
x −1 − 2 x −1 + 2
⋅
x −5
x −1 + 2
1
lim
=
=
lim
X →5
x −1 − 4
(x − 5 ) ⋅
x −1 + 2
=
lim
X →5
x −5
(x − 5 ) ⋅
x −1 + 2
=
1
.
4
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
49
B. Se x → ∞ il calcolo del limite, nel caso in cui si presenta la forma indeterminata
∞
, è effettuato
∞
raccogliendo a fattor comune x n a numeratore e x p a denominatore.
Il limite dipende esclusivamente dai termini di grado massimo an x n e bp x p
lim
x →∞
k
a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n
b0 + b1 x + b2 x 2 + ... + bp x p
=
lim
x →∞
k
an x n
bp x p
⎧
⎪
⎪0
⎪
= ⎨∞
⎪ a
⎪k n
⎪⎩ bp
se n < p
se n > p
se n = p
Esempi
x −1
⎛∞
⎞
= ⎜
=?⎟
x
⎝∞
⎠
lim
X → +∞
x =
Questo limite tende a zero, perché il grado del numeratore è minore del grado del denominatore (
Raccogliendo a fattor comune x =
lim
X → +∞
x −1
=
x
1
−1
x
=
x
x2 ⋅
lim
X →+∞
x
2
1
x2
).
(uguaglianza valida per x → +∞ )
⎛ 1 1⎞
x ⋅ ⎜⎜
− ⎟
x x ⎟⎠
⎝
=
lim
X →+∞
x
⎛ 1 1⎞
x ⋅ ⎜⎜
− ⎟
x x ⎟⎠
⎝
=
lim
X →+∞
x
⎛ 1 1⎞
lim ⎜⎜
− ⎟⎟ = 0 .
X →+∞
x
x⎠
⎝
Oppure
lim
X → +∞
x −1
x
⎛ x 1⎞
lim ⎜⎜
− ⎟⎟ =
X →+∞ x
x⎠
⎝
=
⎛ x
1⎞ =
⎟
lim ⎜⎜
−
2
⎟
X →+∞
x
x
⎠
⎝
⎛ 1 1⎞
lim ⎜⎜
− ⎟⎟ = 0 − 0
X →+∞
x
x⎠
⎝
= 0.
Oppure
lim
X → +∞
=
x −1
x
=
x −1 x +1 =
⋅
x
x +1
lim
X →+∞
lim
X →+∞
x −1
x⋅
(
x +1
)
⎛ 1⎞
x ⋅ ⎜1 − ⎟
x⎠
⎝
= lim
X →+∞ x ⋅
x +1
(
)
1
x =
x +1
1−
=
lim
X →+∞
→1
= 0.
→ +∞
lim
X → +∞
x2 + x
2x
⎛∞
⎞
=?⎟
⎝∞
⎠
= ⎜
Questo limite tende a 1 (coefficienti dei termini di grado max), perché il grado del numeratore è uguale al grado
2
x 2 = x ).
del denominatore (
Raccogliendo a fattor comune x =
2
lim
X → +∞
lim
X → +∞ 3
x +x
2x
=
lim
X →+∞
x4
x5 + x4 +1
x 2 (uguaglianza valida per x → +∞ )
1⎞
⎛
x 2 ⋅ ⎜1 + ⎟
x⎠
⎝
2x
x ⋅ 1+
=
lim
X →+∞
2x
1
x
x⋅ 1+
=
lim
X →+∞
2x
1
x
1+
=
lim
X →+∞
2
1
x
=
1
.
2
⎛∞
⎞
=?⎟
⎝∞
⎠
= ⎜
APPUNTI DI MATEMATICA
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
50
Questo limite tende a + ∞ , perché il grado del numeratore è maggiore di quello del denominatore (
lim
X → +∞ 3
=
x4
5
4
=
x + x +1
x2
lim
X →+∞
3
x
lim
X →+∞
3
=
4
1 ⎞
⎛1 1
x6 ⋅ ⎜ + 2 + 6 ⎟
x ⎠
⎝x x
=
lim
X →+∞
x
4
3
5
x =
5
x3
=
1
1
1
x ⋅3 + 2 + 6
x x
x
2
+∞.
1 1
1
+ 2 + 6
x x
x
APPUNTI DI MATEMATICA
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
51
)
Limiti di funzioni goniometriche
Il calcolo dei limiti delle funzioni goniometriche viene effettuato utilizzando il limite fondamentale:
sen x
lim
=1
e i limiti derivati dal limite fondamentale:
x→0
x
1 - cos x
tg x
1 - cos x 1
lim
=0
lim
=1 .
=
lim
2
x→0
x→0 x
x→0
x
2
x
sen x
cos x
lim
=0
lim
=0
x →∞
x →∞
x
x
lim sen x = non esiste
lim cos x = non esiste
x → +∞
x → +∞
Esempi
lim
x →0
sen px p
= .
nx
n
sen px
x →0
nx
lim
Il limite è della forma ⎛⎜
= lim
x →0
sen px p
⋅
nx
p
ax + sen px a + p
=
x →0
nx
n
lim
lim
x →0
ax + sen px
nx
0
⎞
= ?⎟ .
⎝0
⎠
⎛ a sen px p ⎞ =
ax sen px ⎞ =
= lim ⎛⎜
+
⋅ ⎟⎟
lim ⎜⎜ +
⎟
x →0 ⎝ nx
x →0 ⎝ n
nx ⎠
px
n⎠
tg px p
= .
x → 0 nx
n
lim
tg px
x→0 nx
lim
0
⎞
= ?⎟ .
⎝0
⎠
p
p
sen px p =
= lim
=
.
1⋅
⋅
x →0
n
n
px
n
Il limite è della forma ⎛⎜
a
p
+1 ⋅
n
n
=
a+p
.
n
0
⎞
= ?⎟ .
⎝0
⎠
p
p
tg
px
p
tg
px
p
= lim
= lim
= 1⋅
=
.
⋅
⋅
x →0 nx
x →0 px
n
n
p
n
APPUNTI DI MATEMATICA
Il limite è della forma ⎛⎜
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
52
Limiti di funzioni esponenziali e logaritmiche
Il calcolo dei limiti delle funzioni esponenziali e logaritmiche viene effettuato utilizzando il limite
fondamentale:
x
1⎞
⎛
lim ⎜1 + ⎟ = e
x →∞ ⎝
x⎠
e i limiti derivati dal limite fondamentale:
log b (1 + x )
1
=
x→0
x
log e b
log e (1 + x )
=1
x→0
x
1
lim (1 + x ) x = e
lim
lim
x→0
(
1 + x )α − 1
lim
=α
ex −1
lim
=1
x →0
x
xα
lim x = 0
x → +∞ a
ax −1
lim
= log e a
x →0
x
log x
lim
=0
x → +∞ x α
lim x α ⋅ log x = 0 ( α > 0)
x
log x
lim
=0
x → +∞ a x
= lim e [g ( x )⋅ log f ( x )]
x →0
lim [f ( x )]g ( x )
x →0 +
x → +∞
x → +∞
Esempi
p
⎞x
x
⎛
lim ⎜1 + ⎟ =
n⎠
⎝
n
x →0
Si pone
x
n
=
1
t
(
ep .
)
Il limite è della forma 1 ∞ = ? .
e si ottiene x =
n
⎛
1⎞
x ⎞x
⎛
lim ⎜⎜1 + ⎟⎟ = lim ⎜1 + ⎟
t →∞ ⎝
x →0 ⎝
t⎠
p⎠
t⋅
n
t
p
n
e
p
p p
= = t ⋅ Inoltre (x → 0 ) ⇔ (t → ∞ ) ;
n
n
x
t
p
n
t⎤
⎡
= lim ⎢⎛⎜1 + 1 ⎞⎟ ⎥
t →∞ ⎝
t ⎠ ⎦⎥
⎣⎢
log e (1 + nx ) n
= .
x →0
px
p
p
n
e
=
=
n
sostituendo:
ep .
Il limite è della forma ⎛⎜
0
⎞
= ?⎟ .
⎝0
⎠
lim
1
log e (1 + nx )
1
= lim
⋅ log e (1 + nx ) = lim log e (1 + nx ) px .
x →0
x
0
→
x →0
px
px
1
1
Si pone nx =
e si ottiene x =
e 1 = 1 = 1 = nt = t ⋅ n Inoltre (x → 0 ) ⇔ (t → ∞ ) ; sostituendo:
t
nt
p
1
p
p
px
p⋅
nt nt
lim
lim log e (1 + nx )
1
px
x →0
1
= lim log e ⎛⎜1 + ⎞⎟
x →0
⎝
t⎠
t⋅
n
p
t⎤
⎡
= lim log e ⎢⎛⎜1 + 1 ⎞⎟ ⎥
x →0
t ⎠ ⎦⎥
⎣⎢⎝
n
p
n
= log e e p
=
n.
p
Oppure
log e (1 + nx ) n
log e (1 + nx ) n
log e (1 + nx )
n
n
= lim
= lim
= 1⋅
=
.
⋅
⋅
x →0
x →0
x →0
px
p
px
n
nx
p
p
lim
e nx − 1 n
= .
lim
x →0
p
p
Il limite è della forma ⎛⎜
0
⎞
= ?⎟ .
⎝0
⎠
n = n.
e nx − 1 =
e nx − 1 n =
e nx − 1 n =
1⋅
⋅
⋅
lim
lim
x →0
x →0
x →0
p
p
n
n
p
p
p
lim
APPUNTI DI MATEMATICA
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
53
log e x − 1 1
= .
x →e
x −e
e
Il limite è della forma ⎛⎜
lim
0
⎞
= ?⎟ .
⎝0
⎠
(x → e ) ⇔ (t → o ) ;
Si pone x − e = t e si ottiene x = e + t ;
e sostituendo 1 = log e e : si ha:
log e (e + t ) − log e e )
log e ( x − 1 )
log e (e + t ) − 1 )
= lim
= lim
= lim
lim
t →o
x →e
t →o
t →o
x −e
t
t
t⎞
⎛
t⎞
⎛
log e ⎜1 + ⎟
log e ⎜1 + ⎟
e
e⎠
⎝
e ⎠ 1 = 1⋅ 1 = 1 .
⎝
= lim
= lim
⋅
⋅
t →o
t
e
e
e
t →o
t
e
e
x +1
2x
2 -1
lim
x →∞
log e
e+t
e
t
t⎞
⎛
log e ⎜1 + ⎟
e⎠ =
⎝
= lim
t →o
t
= 2
1
x
1
2x
1+
lim
x →∞
x +1
2x
2 -1
lim
=
lim
x +1
2x -1
2 x →∞
= 2
x →∞
= 2
log e2 x + 1
⎞
⎛∞
=
⎜ =?⎟
2
+
log e x + 2 log e x ⎝ ∞
⎠
x →0
lim
lim
x →0 +
log e2 x + 1
log e x +
t2 +1
= lim
t → −∞ t + 2 t 2
2 log e2 x
1
(
⎛ 1 ⎞ loge x + 3
0
lim ⎜ ⎟
= 0 =?
x → +∞ ⎝ x ⎠
lim e
1
1
⋅ loge
loge x + 3
x
x → +∞
x → +∞
2.
=
Si pone t = log e x
=
1+
lim
t →−∞
1
t2
1
+2
t
1
.
2
=
[
]g ( x )
Ricordando che f ( x )
lim e
x → +∞
1
⋅ (− loge x )
loge x + 3
=
lim e
x → +∞
⇒ Inoltre (x → 0 + ) ⇔ (t → −∞ )
−
= e
g ( x ) ⋅ loge f ( x )
loge x
loge x + 3
il limite si riscrive:
dividendo per log e x si ha:
1
−
lim e
=
)
1
2
1+
3
loge x
= e
APPUNTI DI MATEMATICA
−1
=
1
.
e
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
54
Infinitesimi
Una funzione f (x) si dice un infinitesimo per x → c , se è lim f(x) = 0
x →c
(c può essere uguale anche a ∞)
Gli infinitesimi vengono, solitamente, indicati con le lettere α , β , χ , ecc.
α
α
α
α
⎧l ≠ 0
⎪
α ⎪0
Se lim = ⎨
β ⎪∞
⎪⎩non ∃
e β sono dello stesso ordine
è un infinitesimo di ordine superiore a β
è un infinitesimo di ordine inferiore a β
e β non sono confrontabili
Principio di sostituzione degli infinitesimi
Se il rapporto di due infinitesimi ammette un limite, questo limite resta invariato se si sostituisce ciascuno
di essi con un infinitesimo equivalente.
Infinitesimi equivalenti
aα - 1
α
k
(1 + α)
kα
Infinitesimi equivalenti
sen α
α
tg α
α
α2
1– cos α
2
arcsen α
α
arctg α
α
α
n 1+α − 1
n
ln (1+α)
ln aeα - 1
α
α
Esempio
lim
x →0
lim
x →0
2arctg x + 3 sen x − 4log(1 + x)
7x
2arctg x + 3 sen x − 4 log(1 + x)
7x
APPUNTI DI MATEMATICA
Il limite è della forma ⎛⎜
0
⎞
= ?⎟ .
⎝0
⎠
= lim
x →0
2x + 3 x - 4x
7x
= lim
x
x →0 7x
= lim
1
x →0 7
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
=
1
.
7
55
ASINTOTI
Una retta r è detta asintoto della curva C se la distanza PH tra il generico
punto P∈C e la retta r tende a zero allorchè il punto P si allontana
indefinitivamente sulla curva C, tendendo a un suo punto all’infinito.
H
r
Asintoti verticali
⎛
⎞
⎜ Se lim f (x) = ± ∞ ⎟
⎜⎜
⎟⎟
x→ c
⎝
⎠
⎛ Se x → c +
⎜
⎜ Se x → c −
⎝
P
(
⇒
la retta x = c è Asintoto Verticale
)
C
⎞
⎟
la retta x = c è Asintoto Verticale a sinistra ⎟⎠
⇒
la retta x = c è Asintoto Verticale a destra
⇒
Asintoti orizzontali
⎛
⎜ Se lim f (x) = k
⎜
x →∞
⎝
⎛ Se x → + ∞
⎜⎜
⎝ Se x → - ∞
⎞
(k ≠ ∞) ⎟
⎟
⎠
⇒
⇒
⇒
(
la retta y = k è Asintoto Orizzontale
)
la retta y = k è Asintoto Orizzontale a destra
la retta y = k è Asintoto Orizzontale a sinistra
⎞
⎟⎟
⎠
Asintoti obliqui
⎛ Se lim f (x) = ∞
⎞
⎜
⎟
x →∞
⎜
⎟
f (x)
0
⎧
⎜
⎟
=m ≠ ⎨
∞
⎜ x lim
⎟
⎩
x
→∞
⎜
⎟
⎜ lim [f (x) - mx ] = q ≠ ∞ ⎟
⎝ x →∞
⎠
⎛ Se x → + ∞
⎜⎜
⎝ Se x → − ∞
⇒
⇒
⇒
⎞
⎛
⎟
⎜
⎜ la retta y = mx + q è Asintoto Obliquo ⎟
⎟
⎜
⎠
⎝
la retta y = mx + q è Asintoto Obliquo a destra
la retta y = mx + q è Asintoto Obliquo a sinistra
⎞
⎟⎟
⎠
Osservazioni
Le funzioni algebriche razionali intere non hanno asintoti di alcun genere.
Le funzioni algebriche razionali fratte hanno:
- tanti asintoti verticali quanti sono gli zeri del denominatore;
- un asintoto orizzontale quando il grado del numeratore è minore o uguale a quello del denominatore
- un asintoto obliquo quando il grado del numeratore supera di 1 quello del denominatore.
Le funzioni irrazionali il cui insieme di definizione si estende all’infinito possono avere due asintoti
obliqui e/o orizzontali (uno a destra e uno a sinistra).
APPUNTI DI MATEMATICA
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
56
DERIVATA DI UNA FUNZIONE
Tangente ad una curva
Prima di dare la definizione di derivata di una funzione, diamo la definizione di retta tangente.
Si chiama tangente ad una curva piana in un suo punto P, la posizione limite, se esiste, della retta
(secante) che unisce P con un altro punto Q qualsiasi della curva, allorchè si fa avvicinare Q
indefinitivamente a P.
Ricordiamo però che la posizione limite della retta secante PQ deve esistere (ed essere sempre la stessa)
comunque Q si avvicini a P (cioè sia che Q si avvicini a da destra, sia che Q si avvicini a P da sinistra).
Pertanto la tangente ad una curva, come si può notare dal grafico sottostante, può anche non esistere.
s''
s'
s''
t
s'
P
P
t'
Q'
Q'
Q''
Q''
Comunque si prende un punto Q' nel ramo
t''
In questo caso invece, non esiste la retta tangente
destro della curva e un punto Q'' nel ramo
sinistro, e li facciamo tendere al punto P,
alla curva nel punto P. Poichè facendo tendere
Q' al punto P si ottiene la retta t', mentre facendo
si ottiene che entrambe le rette secanti s' e
s'' tendono alla retta t che risulta essere la
tendere Q'' al punto P si ottiene la retta t'' .
la tangente alla curva nel punto P .
Definizione di derivata e suo significato geometrico
t
y
s
Q
f(x + h)
°
β
P
f(x )
T
°
β
α
O
x
°
x +h
x
°
Data una funzione y = f (x) definita in certo dominio (a, b) , per trovare la retta tangente alla curva in un
suo punto P (x0 ; f ( x0 ) ), consideriamo un altro punto Q ( x 0 + h , f (x 0 + h) ) della curva e facciamolo
avvicinare indefinitivamente al punto P.
APPUNTI DI MATEMATICA
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
57
Si osserva che man mano che Q si avvicina P la retta per PQ varia la sua inclinazione, fino ad assumere la
posizione limite della retta tangente t.
L 'equazione di tale retta tangente t si trova con la nota formula della geometria analitica :
y – y P = m · ( x – x P ) dove m è il coefficiente angolare della retta t , cioè m = tg α .
Osservando la figura, l’angolo α rappresenta l'inclinazione limite della retta secante, al tendere del punto
⇒
lim tg β = tg α
⇒
lim tg β = tg α
Q al punto P, cioè lim β = α
Q→P
Q→P
h →0
Dalla trigonometria sappiamo poi, che in un triangolo rettangolo : la tangente di un angolo è uguale al
rapporto fra il cateto opposto all’angolo e il cateto adiacente, pertanto nel triangolo rettangolo PQT :
tg β =
QT
PT
=
f (x 0 + h ) − f (x 0 )
h
⇒
m = tg α = lim tg β = lim
h →0
f (x 0 + h ) − f (x 0 )
h
h →0
Pertanto il coefficiente angolare m della retta tangente t alla curva y = f (x) nel punto x 0 è dato dal limite
f (x 0 + h ) − f (x 0 )
m = lim
h
h →0
h è detto incremento della variabile indipendente x ( ∆x ) ;
f (x 0 + h ) - f (x 0 ) è detto incremento della variabile dipendente y ( ∆y ) ;
∆ y f (x 0 + h ) − f (x 0 )
=
è detto rapporto incrementale di f (x) relativo al punto x 0 e all’incremento h
h
∆x
Derivata di una funzione
La derivata di una funzione y = f (x) , nel punto x 0 interno al suo dominio, è il limite, se esiste ed è
finito, del rapporto incrementale per h → 0 , e si scrive :
f ' ( x0 ) = lim
h →0
f (x0 + h ) − f (x0 )
h
Se il limite in questione non esiste finito si dice che la funzione non è derivabile in x0 .
Se esiste finito solo il limite destro (o il limite sinistro) si dice che la funzione è derivabile solo a destra (o
derivabile solo a sinistra).
Se la funzione f (x) è derivabile in ciascun punto x di un intervallo (a, b) , si dice che essa è derivabile
nell’intervallo (a, b) .
dy
.
I simboli utilizzati per indicare la derivata di una funzione sono : f I ( x ) , y I ( x ) , D f ( x ) ,
dx
Concludendo, la derivata di una funzione y = f (x) calcolata in un punto x 0 , rappresenta il coefficiente
angolare m della retta tangente t alla curva in questione nel suo punto P (x 0 , f (x 0) ) ,
cioè : f ' (x 0) = m t .
APPUNTI DI MATEMATICA
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
58
TEOREMI SULLE DERIVATE
Derivata della somma
D
[ f (x)
+ g (x) ] = f I (x) + g I (x)
Derivata del prodotto
D
[ f (x)
⋅ g (x) ] = f I (x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g I (x)
Derivata del prodotto di una costante per una funzione
D
[ k ⋅ g (x) ] =
k ⋅ f I (x)
Derivata del quoziente
⎡ f(x) ⎤ f I ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g I ( x )
D⎢
⎥=
[g( x )] 2
⎣ g(x) ⎦
Derivata della funzione composta
D g [ f (x)] = g I [f(x)] ⋅ f I (x)
Esempio:
D log e sen x =
1
⋅ cos x = cotg x .
sen x
Derivata della funzione inversa
D f (x) =
1
g (y)
I
dove g ( y ) = f −1 ( y )
Esempio
⎡ π π⎤
Sia y = arcsen x . La funzione inversa è x = sen y definita in ⎢− , ⎥ ⇒
⎣ 2 2⎦
1
1
1
1
=
D arcsen x =
=
=
2
D sen y cos y
1 − sen y
1 − x2
APPUNTI DI MATEMATICA
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
59
TEOREMI SULLE DERIVATE (dimostrazioni)
Derivata della somma
D[f ( x ) + g( x )] = lim
D
[ f (x)
[f (x + h ) + g (x + h )] − [f (x) + g (x)] = lim f (x + h ) − f (x) + g (x + h ) − g (x) =
h
h →0
= lim
f (x + h ) − f (x )
h
+ lim
h →0
Derivata del prodotto
D[f ( x ) ⋅ g ( x )] = lim
+ g (x) ] = f I (x) + g I (x)
h
h →0
g (x + h ) − g (x )
= f I (x) + g I (x)
h
h →0
[ f (x)
D
⋅ g (x) ] = f I (x) ⋅ g(x) + f(x) ⋅ g I (x)
[f (x + h ) ⋅ g (x + h )] − [f (x) ⋅ g (x)] =
aggiungendo e sottraendo f (x + h) • g (x)
h
h →0
f (x + h ) ⋅ g (x + h ) − f (x ) ⋅ g (x ) + f (x + h ) ⋅ g (x ) − f (x + h ) ⋅ g (x )
=
h
= lim
h →0
= lim
f (x + h ) ⋅ [g (x + h ) − g (x )] + g( x ) ⋅ [f (x + h ) − f (x )]
=
h
h →0
= lim f (x + h ) ⋅
h →0
f (x + h ) − f (x )
g (x + h ) − g (x )
= f(x) • g I (x) + f I (x)
+ lim g ( x ) ⋅
h
h
•
g (x)
h →0
Derivata del prodotto di una costante per una funzione
D[k ⋅ f ( x )] = lim
D
[ k ⋅ g (x) ] =
k ⋅ f I (x)
k ⋅ f (x + h) − k ⋅ f (x)
f (x + h) − f (x)
k ⋅ f (x + h) − k ⋅ f (x)
= k • f I (x)
= lim
= lim k ⋅
h
k
h
h →0
h →0
h →0
⎡ f(x) ⎤ f I ( x ) ⋅ g ( x ) − f ( x ) ⋅ g I ( x )
Derivata del quoziente D ⎢
⎥=
[g( x )] 2
⎣ g(x) ⎦
f (x + h) f (x)
f ( x + h ) ⋅ g( x ) − g( x + h ) ⋅ f ( x )
−
f(x)
g( x + h ) g( x )
g(x + h) ⋅ g(x)
D
aggiungendo e sottraendo f(x)•g(x)
= lim
= lim
g(x) x → 0
h
h
x→ 0
1 f ( x + h ) ⋅ g( x ) − f ( x ) ⋅ g( x ) − g( x + h ) ⋅ f ( x ) + f ( x ) ⋅ g( x )
=
= lim
g( x + h ) ⋅ g( x )
x→ 0 h
f (x + h) − f (x)
g( x + h ) − g( x ) ⎤
1
⎡
− f (x)
g( x ) ⋅
⎢
⎥ =
h
h
x → 0 g( x + h ) ⋅ g( x ) ⎣
⎦
= lim
=
[
]
g( x ) ⋅ f I ( x ) − f ( x ) ⋅ g I ( x )
1
g( x ) ⋅ f I ( x ) − f ( x ) ⋅ g I ( x ) =
.
g( x ) ⋅ g( x )
[g( x)]2
APPUNTI DI MATEMATICA
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
60
TABELLA DELLE PRINCIPALI REGOLE DI DERIVAZIONE
D g [ f (x)] = g I [f(x)] ⋅ f I (x)
D f(x)
D costante = 0
D x n = n x n-1
D [f (x)] n = n [f (x)] n-1 • f I ( x)
1
1
=−
x
x2
D
D nx =
D n xp =
D
1
D n f ( x) =
n x n −1
n
p
D n [f ( x)]p =
n x n −p
D x=
n
1
2 x
1
1
sen 2 x
D log a x =
1
1
log a e =
x
x ⋅ log e a
1
x
2 f ( x)
f I ( x)
cos 2 f ( x )
D cotg f (x) = −
D log a x =
1− x2
D arccos x = −
1
1− x2
1+ x2
D x x = x x • ( 1 + log e x)
sen 2 f ( x)
1
1+ x2
f I ( x)
f ( x)
D a f (x) = a f (x) • log e a •f I (x)
D e f (x) = f I (x) • e f (x)
f I ( x)
D arcsen f (x) =
1 − [f ( x)] 2
D arccos f (x) = −
1
D arccotg x = −
f I ( x)
f I ( x)
f ( x) ⋅ log e a
1
D arcsen x =
APPUNTI DI MATEMATICA
f I ( x)
D log e f (x) =
D a x = ax ⋅ log e a
D e x = ex
D arctg x =
nn [f ( x )]n −p
D tg f (x) =
= −(1 + cotg 2 x)
D log e x =
p ⋅ f I ( x)
D sen f (x) = f (x) • cos f (x)
D cos f (x) = − f I (x) • sen f (x)
cos x
D cotg x = −
nn f ( x ) n −1
I
= 1 + tg 2 x
2
f I ( x)
D f ( x) =
D sen x = cos x
D cos x = − sen x
D tg x =
f I (x)
1
=−
f (x)
[f ( x)] 2
D arctg f (x) =
D arccotg x = −
f I ( x)
1 − [f ( x )] 2
f I ( x)
1 + [f ( x )] 2
f I ( x)
1 + [f ( x)]2
⎡
g (x) I ⎤
⋅ f (x)⎥
D [f (x)] g (x) = [ f (x)] g (x) ⋅ ⎢g I (x) ⋅ log e f (x) +
f (x)
⎣
⎦
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
61
DERIVATE DI ALCUNE FUNZIONI ELEMENTARI (dimostrazioni)
La derivata della funzione y = k è zero ∀ ∈ R
Infatti f ' ( x) = lim
h →0
f (x + h ) − f (x )
k−k
0
= lim
= lim
= 0
h
h
h
h →0
h →0
Questo risultato può essere ottenuto anche graficamente, infatti la funzione y = k rappresenta una retta
orizzontale e pertanto la retta tangente ad essa è la retta stessa, la quale essendo orizzontale ha
coefficiente angolare zero.
∀∈ R
Dx=1
Infatti f ' ( x) = lim
h →0
f (x + h ) − f (x )
x+h−x
h
= lim
= lim
=1
h
h
h
h →0
h →0
Questo risultato può essere ottenuto anche graficamente, infatti la funzione y = x è la bisettrice del I° e
III° quadrante e pertanto la retta tangente ad essa è la retta stessa, la quale ha coefficiente angolare uno.
∀∈ R
f (x + h ) − f (x )
= lim
f ' ( x) = lim
h
(x + h ) 2 − x 2
∀∈ R
f (x + h ) − f (x )
= lim
f ' ( x) = lim
h
(x + h )3 − x 3
D x 2 = 2x
h →0
D x 3 = 3 x2
= lim
h →0
h →0
3
h →0
h
h →0
2
= lim
h ⋅ (h + 2x )
x 2 + h 2 + 2hx − x 2
=2x
= lim
h
h
h →0
x 3 + h 3 + 3hx 2 + 3h 2 x − x 3
=
h
h →0
2
h ⋅ (h + 3x + 3hx )
h + 3hx + 3h x
= lim (h 2 + 3x 2 + 3hx ) = 3 x 2
= lim
h
h
h →0
2
2
h →0
D x n = n x n-1
∀∈ R
f (x + h ) − f (x )
= lim
f ' ( x) = lim
h
= lim
h
h →0
= lim
h →0
n
x + nx
n −1
⋅h + a 2x
h →0
n −2
h →0
2
(x + h ) n − x n
h
=
⋅ h + . . . + a n -1 x ⋅ h n −1 + h n − x n
=
h
h ⋅ (nx n −1 + a 2 x n − 2 ⋅ h + . . . + a n -1 x ⋅ h n − 2 + h n -1 )
= n x n-1
= lim
h
h →0
APPUNTI DI MATEMATICA
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62
D
x=
1
∀x ≥ 0
2 x
f (x + h ) − f (x )
= lim
h
f ' ( x) = lim
h →0
= lim
h →0
h⋅
D log e x =
(
h →0
x+h−x
x+h + x
1
x
)
= lim
h →0
h⋅
x+h + x
x+h − x
⋅
=
h
x+h + x
x+h − x
= lim
h
h →0
(
h
x+h + x
)
1
= lim
x+h + x
h →0
h →0
h →0
⇒
2 x
∀x > 0
log e ( x + h ) − log e x
f (x + h ) − f (x )
f ' ( x) = lim
= lim
= lim
h
h
= lim
1
=
1
x+h
⎛
= lim ⎜ log e
log e
h
x
⎝
h →0
t
1⎞ x
⎛
= lim log e ⎜1 + ⎟
⎝ t⎠
t →∞
h →0
1
x +h ⎞h
⎟
x ⎠
log e
h →0
1
h ⎞h
⎛
= lim log e ⎜1 + ⎟
⎝ x⎠
x+h
x
=
h
ponendo
h →0
1
t ⎤x
1⎞
⎡⎛
= lim log e ⎢⎜1 + ⎟ ⎥
⎢⎣⎝ t ⎠ ⎥⎦
= log e
1
ex
=
h 1
=
x t
⇒
h=
x
t
1
x
t →∞
1
1
1
⋅
= ⋅ log a e ∀ x > 0
x log e a x
log e x
1
1
1 1
1
⇒ D log e x = D
⋅ log e x =
⋅ D log e x =
⋅ = ⋅ log a e
Essendo log a x =
log e a
log e a
log e a x x
log e a
D log a x =
∀∈ R
f (x + h ) − f (x )
e x+h − e x
f ' ( x) = lim
= lim
h
h
D ex = ex
h →0
h →0
= lim
h →0
ex ⋅eh − ex
e h −1
= ex
= lim e x
h
h
h →0
D sen x = cos x ∀ ∈ R
f (x + h ) − f (x )
sen(x + h ) − sen x
sen x ⋅ cos h + cos x ⋅ sen h − sen x
f ' ( x) = lim
=
= lim
= lim
h
h
h
h →0
h →0
h →0
sen x ⋅ (cos h - 1) + cos x ⋅ sen h
cos h - 1
sen h ⎤
⎡
= lim ⎢senx ⋅
+ cos x
= cos x poiché
= lim
h
h ⎥⎦
h
⎣
h →0
h →0
sen h
lim
=1
h
h →0
APPUNTI DI MATEMATICA
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
63
e lim
h →0
cos 2 h - 1
− sen 2 h
cos h - 1
sen h sen h
0
= lim
= lim −
= lim
⋅
=− 1⋅ = 0
h
h ⋅ (cos h + 1)
h ⋅ (cos h + 1)
h cos h + 1
2
h →0
h →0
h →0
D cos x = − sen x ∀ ∈ R
f (x + h ) − f (x )
cos ( x + h ) − cos x
cos x ⋅ cos h − sen x ⋅ sen h − cos x
f ' ( x) = lim
= lim
=
= lim
h
h
h
h →0
h →0
h →0
cos x ⋅ (cos h - 1) − sen x ⋅ sen h
cos h - 1
sen h ⎤
⎡
= lim
= lim ⎢cosx ⋅
− sen x
= - sen x
h
h ⎥⎦
h
⎣
h →0
D tg x =
h →0
1
∀x ≠
cos 2 x
sen x
=
D tg x = D
cos x
APPUNTI DI MATEMATICA
π
+ kπ
2
cos x ⋅ cos x − (− sen x ) ⋅ sen x
cos 2 x
=
cos 2 x + sen 2 x
cos 2 x
=
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
1
cos 2 x
64
MAX MINIMI E FLESSI
Sia y = f (x) una funzione reale definita nell’intervallo [a, b] ed x 0 un punto di tale intervallo ;
se per ogni x appartenete ad [a, b] risulta :
f (x) < f (x 0) : si dice che x 0 è un punto di massimo assoluto per la funzione ;
f (x) > f (x 0) : si dice che x 0 è un punto di minimo assoluto per la funzione ;
se esiste un intorno H del punto x 0 , per ogni x del quale, diverso da x 0 , risulta :
f (x) < f (x 0) : si dice che x 0 è un punto di massimo relativo per la funzione ;
f (x) > f (x 0) : si dice che x 0 è un punto di minimo relativo per la funzione ;
Un punto P ( x 0 , f (x 0) ) è un punto di flesso per la funzione y = f (x) se la curva passa da una parte
all’altra della tangente in esso.
y
Max
assoluto
.
.
.
.
Max relativo
Flesso
.
.
Min
assoluto
O
.
.
Flesso
Flesso
.
.
Min relativo
.
a
.
x'o
.
b
x''o
x
Regola per la determinazione dei max e dei min relativi
Si calcola la derivata prima della funzione y = f (x) e si trovano le soluzioni dell’equazione f I (x) = 0 ; e
sia x 0 una di queste soluzioni.
⎧< 0 x 0 max
⎪
Si calcola la derivata seconda f I I (x) . Se risulta f I I ( x 0 ) = ⎨ > 0 x 0 min
⎪= 0 x
?
0
⎩
Se f I I (x 0) = 0 si calcola f I I I (x) . Se risulta f I I I (x) ≠ 0 allora x 0 non è ne max ne min.
Se risulta f I I I (x) = 0 , si calcolano le derivate successive fino a trovare quella che non si annulla in x 0.
Se quest’ultima è di ordine pari, si ha in x 0 un massimo se tale derivata è negativa, oppure un minimo , se
essa è negativa; se invece è di ordine dispari, x 0 non è nè punto di max nè punto di min relativo per la
funzione .
Determinazione dei max e dei min relativi
( II ° metodo )
Si calcola la derivata prima della funzione y = f (x) e si studia il segno della derivata prima f I (x) > 0 ;
negli intervalli dove la derivata prima è positiva la funzione è crescente;
negli intervalli dove la derivata prima è negativa la funzione è decrescente;
Regola pratica per la determinazione dei flessi
Si calcola la derivata seconda della funzione y = f (x) e si trovano le soluzioni dell’equazione f I I (x) = 0 e
sia x 0 una di queste soluzioni.
Se la prima derivata , dopo la derivata seconda , che non si annulla in x 0 è :
di ordine dispari, la curva ha un flesso in P0 (x 0, f (x 0) )
se la derivata è positiva
⎧l' alto
di ordine pari, la curva volge in P0 (x 0, f (x 0) ) la concavità verso ⎨
⎩ il basso se la derivata è negativa
APPUNTI DI MATEMATICA
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
65
TEOREMA DI ROLLE
⎛ Sia f (x) una funzione continua nell' intervallo ⎞
⎜
⎟
⎜ chiuso [a, b] e derivabile nell' intervallo aperto ⎟
⎜ ( a, b ) e sia inoltre f (a) = f (b)
⎟
⎝
⎠
⇒
⎛ Esiste almeno un punto c ∈ (a, b) nel
⎜
⎜ quale la derivata della funzione è nulla,
⎜⎜
f I (c) = 0
⎝ cioè :
⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
Il significato geometrico del teorema di Rolle è il seguente:
⎛ Se un arco di curva , di equazione y = f (x),
⎜
⎜ è dotato di tangente in ciascuno dei suoi
⎜ punti, esclusi al più gli estremi, ed inoltre
⎜
⎜ ha le ordinate dei due estremi uguali
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⇒
⎛ Esiste almeno un punto, interno all' arco,⎞
⎜
⎟
⎜ nel quale la retta tangente è parallela
⎟
⎜ all' asse delle ascisse.
⎟
⎝
⎠
y
y
f (a) = f ( b)
f (a) = f ( b)
a
c
a
x
b
c1
c2
b
x
Se invece viene a mancare una delle ipotesi del Teorema, l’esistenza del punto c ∈ (a, b) nel quale la
tangente è orizzontale non è assicurata. Si osservano i seguenti controesempi:
f (a) ≠ f (b)
f (x) non è continua in tutto (a, b) f (x) non è derivabile in tutto (a, b)
y
y
y
f ( b)
f (a) = f ( b)
f (a) = f ( b)
f (a)
a
b
APPUNTI DI MATEMATICA
x
a
b
x
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
a
b
x
66
TEOREMA DI LAGRANGE
⎛ Sia f (x) una funzione continua nello ⎞
⎜
⎟
⎜ intervallo chiuso [a, b] e derivabile ⎟
⎜ nell' intervallo aperto ( a, b )
⎟
⎝
⎠
⇒
⎛
⎞
⎜ Esiste almeno un punto c ∈ (a, b)
⎟
⎜
⎟
⎜ nel quale la derivata è uguale al
⎟
⎜
⎟
⎜ rapporto incrementale della funzione ⎟
⎜ relativo all' intervallo (a, b), cioe :
⎟
⎜
⎟
f(b) - f(a)
I
⎜
⎟
f (c) =
⎜
⎟
b-a
⎝
⎠
Il significato geometrico del teorema di Lagrange è il seguente:
⎛ Se un arco di curva , di equazione y = f (x),⎞
⎜
⎟
⎜ è dotato di tangente in ciascuno dei suoi ⎟
⎜ punti, esclusi al più gli estremi
⎟
⎝
⎠
⇒
⎛ Esiste almeno un punto, interno all' arco, la ⎞
⎜
⎟
⎜ cui la retta tangente è parallela alla corda ⎟
⎜ congiungente i punti estremi dell' arco stesso.⎟
⎝
⎠
t1
t
y
f ( b)
f ( b)
B
B
t2
f (a)
f (a)
A
c
a
A
a
x
b
c1
c2
x
b
Se invece viene a mancare una delle ipotesi del Teorema, l’esistenza del punto c ∈ (a, b) nel quale la
tangente è parallela alla corda AB non è assicurata. Si osservano i seguenti controesempi:
f (x) non è continua in tutto (a, b)
f (x) non è derivabile in tutto (a, b)
y
y
f ( b)
B
f ( b)
f (a)
f (a)
A
a
APPUNTI DI MATEMATICA
b
x
B
A
a
xoomer.virgilio.it/mimmocorrado
b
x
67
TEOREMA DI DE L’HOPITAL
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜ Sia x 0 ∈ (a, b) e siano f (x) e g (x) due funzioni : ⎟
⎜ - continue in [a, b] e derivabili in (a, b) - {x }
⎟
0
⎜
⎟
⎜ - g I (x) ≠ 0 ∀x ∈ (a, b) - {x0 }
⎟
⎜
⎟
⎜ - f (x 0 ) = g (x 0 ) = 0
⎟
⎜
⎟
I
⎜ - esiste (finito o infinito) il lim f (x)
⎟
I
⎜
⎟
x → x0 g (x)
⎝
⎠
⇒
⎛
f (x)
f I (x) ⎞
⎜ lim
=
lim I ⎟⎟
⎜ x → x g (x)
x
→ x0 g (x) ⎠
0
⎝
La validità del teorema suddetto si estende anche:
al caso in cui x → ∞
al caso in cui le due funzioni sono infinite (forma indeterminata
∞
).
∞
Applicazioni del Teorema di De L’Hopital
Il teorema di De L’Hopital permette di calcolare molti limiti che si presentano nelle forme indeterminate
0
∞
. Inoltre, mediante particolari accorgimenti, permette di calcolare anche quelli che si presentano
e
∞
0
nelle forme indeterminate 0 ⋅ ∞ e + ∞ - ∞ .
Esempi
0
2
- 2x
1 - x2
1 - x2
=
applicando De L’Hopital si ha : lim
= lim
= −
.
lim 3
3
2
0
3
x→ 1 3x
x→1 x − 1
x→1 x − 1
5 sen x 0
5 sen x
5 cos x 5
=
applicando De L’Hopital si ha : lim
= lim
=
.
0
3
3
x→ 0 3 x
x→ 0 3 x
x→ 0
lim
2 ⋅ ex − 2 0
2 ⋅ ex − 2
2 ⋅ ex
=
applicando De L’Hopital si ha : lim
= lim
=2.
0
x→ 0 sen x
x→ 0 sen x
x→ 0 cos x
lim
lim
x→ ∞
1 - 3x 2
5x 2 + 4 x − 6
=
∞
∞
- 6x
1 - 3x 2
applicando De L’Hopital si ha : lim
= lim
=
∞
∞
x→ ∞ 10x + 4
x → ∞ 5x 2 + 4 x − 6
-6
applicando nuovamente De L’Hopital si ha : lim
= −
x → ∞ 10
3
.
5
log x ∞
=
e con De L’Hopital si ha:
1
∞
+
x→ 0
x
lim x log x = 0 ⋅ ∞ ma il limite può essere scritto: lim
x→ 0 +
lim
x→ 0 +
−
1
x
1
x2
=
1 2
⋅ x = lim - x = 0 .
x
+
x→ 0
x→ 0 +
lim -
APPUNTI DI MATEMATICA
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68
STUDIO DEL GRAFICO DI UNA FUNZIONE
Lo studio del grafico di una funzione avviene esaminando i seguenti punti :
1. Determinazione del nome e del grado della funzione
2. Determinazione del dominio della funzione
3. Determinazione dei punti di discontinuità della funzione
4. Determinazione di eventuali simmetrie e periodicità
5. Determinazione degli eventuali punti di intersezione della curva con gli assi cartesiani
6. Determinazione del segno della funzione
7. Calcolo dei limiti agli estremi di definizione
8. Determinazione degli asintoti della curva
9. Calcolo della derivata prima della funzione
10. Determinazione del dominio della derivata prima della funzione
11. Determinazione dei punti di non derivabilità
12. Determinazione dei punti in cui la derivata prima vale zero.
13. Determinazione del segno della derivata prima
14. Determinazione dei Max e dei Min relativi
15. Calcolo della derivata seconda della funzione
16. Determinazione del segno della derivata seconda
17. Determinazione della concavità della curva e dei punti di flesso.
18. Calcolo dei limiti della derivata prima nei punti di frontiera dell’insieme di esistenza
19. Rappresentazione grafica della curva, con l’aiuto anche del calcolo di altri punti della curva.
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69
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