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La media troncata
proprieta’ della media aritmetica
la media geometrica
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La media troncata
proprieta’ della media aritmetica
la media geometrica
Uno dei principali limiti della media aritmetica e’ che essa risente
fortemente dei valori estremi della distribuzione. Cosi’ pu accadere
che se la distribuzione presenta valori anomali (outlier), il valore
calcolato non rappresenti affatto l’intera distribuzione.
Per contenere questo effetto, si puo’ calcolare la media aritmetica
troncata o trimmed mean, ossia una media aritmetica computata
solo sui valori centrali della distribuzione.
ESEMPIO La media aritmetica troncata e’ al 50% se viene
calcolata la media aritmetica del 50% dei valori centrali di un
insieme di osservazioni, ovvero nel calcolo non vengono considerati
il 25% dei valori piu’ piccoli e il 25% dei valori pi alti della
distribuzione.
La trimmed mean al 90% significa che dal calcolo della media sono
stati esclusi il 5% dei valori piu’ piccoli e il 5% di quelli piu’ grandi.
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La media troncata
proprieta’ della media aritmetica
la media geometrica
Il peso in Kg (x) di 8 bambini e’ il seguente:
x = 12, 20, 15, 22, 13, 14, 15, 100.
Si calcoli la media aritmetica, la media aritmetica troncata al 50%
e si commenti il risultato.
Pn
P8
xi
211
i=1 xi
x=
= i=1 =
= 26, 375
n
8
8
ordino la variabile peso = 12, 13, 14, 15, 15, 20, 22, 100
In questo caso, si calcola la media aritmetica del 50% dei termini
centrali, ossia: peso1 = 14, 15, 15, 20
Pn
P4
xi
xi
64
x = i=1 = i=1 =
= 16
n
4
4
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La media troncata
proprieta’ della media aritmetica
la media geometrica
ALTRE PROPRIETA’ DELLA MEDIA ARITMETICA
La somma degli scarti positivi dalla media aritmetica uguale, in
valore assoluto, a quella degli scarti negativi, e quindi la somma
algebrica di tutti gli scarti (positivi e negativi) uguale a zero.
n
X
(xi − x) = 0
i=1
ESEMPIO: Riprendiamo l’es. discusso nell’es precedente: Il peso in
Kg (x) di 4 bambini e’ il seguente: peso1 = 14, 15, 15, 20
x = 16
4
X
(xi − 16) = (14 − 16) + (15 − 16) + (15 − 16) + (20 − 16) =
i=1
= −2 − 1 − 1 + 4 = 0
PROVATE A VERIFICARE QUESTA PROPRIETA’ CON I DATI
DELL’ESEMPIO 1
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La media troncata
proprieta’ della media aritmetica
la media geometrica
La somma dei quadrati degli scarti dei valori della distribuzione
dalla media aritmetica minore della somma dei quadrati degli
scarti da qualsiasi numero c.
n
X
(xi − c)2 = min
i=1
dimostrazione
n
n
n
X
X
X
2
2
[(xi − x) + (x − c)]2
(xi − c) =
(xi − x + x − c) =
i=1
i=1
n
X
i=1
i=1
(xi − x)2 +
n
n
n
X
X
X
(x − c)2 + 2
(xi − x)
(x − c)
i=1
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i=1
i=1
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La media troncata
proprieta’ della media aritmetica
la media geometrica
per la seguente proprieta’
n
X
(xi − x) = 0
i=1
quindi.. =
n
n
X
X
(xi − x)2 +
(x − c)2 =
i=1
i=1
P
xi2 + x 2 −2 xi +n(x 2 +c 2 −2xc) = xi2 +nxi −2nxi2 −2nxc
e’ l’equazione di una parabola con concavita’ rivolta verso l’alto e il
punto di minimo e’ x.
P
P
P
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La media troncata
proprieta’ della media aritmetica
la media geometrica
Se un collettivo di n unita’ statistiche viene suddiviso in L
sottoinsiemi disgiunti di numerosita’
n1 , n2 ...nL
tali che
L
X
nh = n
h=1
con media
x a(1) , x a(2) , ..., x a(L)
La media aritmetica generale x a si puo’ ottenere come media
ponderata delle medie dei sottoinsiemi con pesi uguali alle loro
numerosita’.
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La media troncata
proprieta’ della media aritmetica
la media geometrica
ESEMPIO
Peso
15
10
20
25
15
P3
oppure
sesso
M
F
M
M
F
xi
60
x M = i=1 =
= 20
3
3
P2
xi
25
x F = i=1 =
= 12, 5
2
2
20x3 + 12, 5x2
60 + 25
85
=
=
= 17
x=
5
5
5
x=
15 + 10 + 20 + 25 + 15
85
=
= 17
5
5
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La media troncata
proprieta’ della media aritmetica
la media geometrica
La media geometrica e’ utilizzata quando le osservazioni raccolte
sono in progressione geometrica, anche approssimata, come
succede spesso nei fenomeni economici.
La media geometrica di un insieme di n valori positivi ( n, per
i = 1, , n) di un carattere quantitativo X e’ pari alla radice nesima
del prodotto dei singoli valori. In simboli:
qYn
√
xi
Mg = n x1 , x2 , ..., xn = n
i=1
.
logMg =
logx1 + logx2 , ..., +logxn
n
.
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La media troncata
proprieta’ della media aritmetica
la media geometrica
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Un titolo di borsa e’ stato quotato per quattro settimane
successive ai seguenti prezzi (in euro):
T = 4, 5, 4.5, 4.7
Calcolare il prezzo medio del titolo.
Mg =
qY4
4
i=1
xi =
qY
4
423 = 4, 53
.
logMg =
logx1 + logx2 , ..., +logxn
1.386294 + 1.609438+
=
=
n
4
6.047372
= 1.511843
4
exp(1.511843) = 4, 53
=
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