I Radicali
→L’estrazione di radice non è una operazione interna in Q
Ad esempio √2 non è un numero razionale
→I numeri irrazionali sono numeri decimali illimitati non periodici e possono essere
approssimati per difetto e per eccesso da due successioni di decimali
< √2 < 2
1
1.4 < √2 <1.5
1.41 < √2 <1.42
………………
→L’insieme dei numeri razionali e irrazionali costituiscono i numeri reali
→Il problema della radice n-esima di un numero reale positivo è sempre risolubile
nell’insieme dei numeri reali.
→ Teorema: Se α è un numero reale positivo ed n è un numero naturale ( diverso da
0), esiste sempre uno ed un solo numero reale positivo x tale che
Xn= α
→ Il numero x si chiama radice n-esima aritmetica di α e si indica con n α
Risulta quindi per definizione
( α)
n
n
n
=α
α si chiama radicale , n indice della radice, α radicando.
L’indice 2 si può omettere
→ n α =0 se e solo se α=0
→ Vale la proprietà 0≤α<β→ n α < n
β
→ Dal teorema si deducono :
la proprietà invariantiva : n α m = nr α mr
1. essa permette di semplificare il radicale
2. di portare più radicali al minimo comune indice ( utile nel confronto fra
radicali, indispensabile per poter eseguire prodotti………)
N.B. Nella semplificazione se il radicando è letterale e non se ne conosce il segno
occorre aggiungere il valore assoluto
le regole per il calcolo con i radicali
α * n β = n αβ
n
≠0
α : n β =n α:β
n
1
( n α ) m= n α m
m n
α = nm α
A queste aggiungiamo (ma sono conseguenze di quelle già considerate )
→ il trasporto di un fattore positivo o nullo sotto radice: β n α = n β nα
→il trasporto di un fattore del radicando scritto sotto forma di potenza con base
non negativa fuori dal segno di radice: può essere fatto se l’esponente del fattore è
maggiore o uguale all’indice di radice. Il fattore esterno ha per esponente il quoziente
della divisione fra m e n, quello interno ha per esponente il resto della divisione.
→l’operazione precedente è utile nelle somme di radicali; il portar fuori il più
possibile permette di riconoscere facilmente i radicali simile che poi andrò a ridurre
E’ evidente che si deve prestare la massima attenzione quando si lavora con
fattori letterali dei quali non si conosce il segno!
La razionalizzazione
Per rendere più spedite alcune operazioni è conveniente talvolta rendere razionale il
numeratore di una frazione ( ma talvolta anche il numeratore…….)
Per realizzare questo obiettivo basterà ricordare la proprietà invariantiva delle
frazioni e qualche prodotto notevole……..
Proviamo a dedurre le regole di razionalizzazione almeno nei casi più semplici
1
α
n
1
1
1
α
α± β
α+ β+ γ
……….
Può essere utile chiedersi qual è l’esponente minimo che un fattore del radicando
deve avere per “uscire completamente dalla radice” , ricordare la scomposizione della
differenza di quadrati e, ricordando l’associativa, pensare che ( α + β ) + γ = α + β + γ …
……..
→ Prova a razionalizzare una frazione avente al denominatore una somma o
differenza di radicali cubici………..
Radicale doppio
E’ del tipo α ± β
se α 2 − β = c 2 ( c non irrazionale ) allora il radicale doppio è sdoppiabile nella somma
dei due radicali semplici
α c
α −c
±
2
2
RADICALI ALGEBRICI
Si definisce radicale algebrico di indice n di un numero reale α, ogni numero reale x
soluzione dell’equazione xn= α
2
√4=2
√4=±2
aritmetico
algebrico
N.B:
le proprietà prima enunciate valgono solo per i radicali aritmetici e così pure le regole
di calcolo dei radicali!
Altrimenti 3 − 8 = 3 ( − 8) 2 = 6 64
??????????????
Purtroppo si è soliti indicare i radicali algebrici con lo stesso simbolo di quelli
aritmetici e ciò è fonte di notevole confusione!
Atteniamoci alle seguenti convenzioni:
un radicale di indice pari è sempre da intendersi in senso aritmetico, se algebrico deve
comparire in modo esplicito il doppio segno davanti al radicale.
Per quanto riguarda radicali algebrici di indice dispari, se il radicando è non negativo,
esso coincide con il corrispondente radicale aritmetico, nel caso di radicando
negativo “ si porta fuori il – “ cioè 3 − 8 = −3 8
Scrivere in questo caso il “ - “ fuori permette di poter applicare poi il calcolo dei
radicali aritmetici.
E’ corretto scrivere a 2 = ±a ?
In caso contrario, quale è la scrittura corretta?
Se α è un numero reale positivo ed n è un numero naturale ( diverso da 0)
1
n
α =α n
Se vogliamo che continuino a valere le proprietà delle potenze già viste dovremo
porre
α
m
n
= ......
α
−m
n
= ......
Proviamo a fare gli stessi calcoli sia nel mondo dei radicali che in quello delle
potenze con esponente frazionario; i risultati non cambieranno……
C’è una identità d’uso, al di là della corrispondenza fra radicali e potenze con
esponente frazionario, che ci consente di operare utilizzando le scritture a noi più
familiari………..
→Hai già incontrato, nei tuoi studi, qualcosa di simile?
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