radicali aritmetici

Breve riassunto operativo per equazioni e radicali numerici
EQUAZIONI DI primo GRADO
ax  b  0

ax  b

x
b
a
DAL 1° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA si ottiene
Se un termine dell’equazione viene trasportato dal 1° al 2° membro , (o viceversa) esso cambia
segno
DAL 2° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA si ottiene
Moltiplicando o dividendo ambo i membri di un’equazione per uno stesso numero diverso da zero
si ottiene un’equazione equivalente
EQUAZIONI DI secondo GRADO a  0
- completa
ax 2  bx  c  0 x1, 2
 ac
a
b  4ac  
pure
ax 2  c  0
c=0
2
2
Dove
b=0
b 2 
b 
 b  b 2  4ac
2

formularidotta x1, 2 
2a

ax 2  c

x2  
c
a

x1,2   
c
a
se 
c
 0 impossibile
a
spurie
ax 2  bx  0
x ax  b  0

 x1  0 x 2  
b
a
(per legge annullamento
prodotto)
b=c=0 monomie
ax 2  0

a 2 0
x 
a
a

x1,2  0
RADICALI ARITMETICI
definizioni – proprietà
operazioni
Si definisce
radicale aritmetico
esempi
n
a b
se b  a
25  5
n
a  0 ,b  0 n  N0
52  25
3
8  2
( 2)3  8
Si ha dalla definizione:
 a
n
n
a
( 5 2 )5  2
se a>0 la
n
a appartiene ai
numeri reali
n
a appartiene ai
numeri reali solo se n è dispari
se a<0 la
Ogni radicale può
essere scritto come
una potenza ad
esponente frazionario
1
n
n
a a
n
a a
m
m
n
1
2
2
33
3
25  2 3
5
Elevando alla n ambo i
membri dell’uguaglianza da
verificare si ottiene lo stesso
risultato:
( n a m )n  a m
m
( a n )n  a m
PROPRIETA’
INVARIANTIVA
Moltiplicando l’indice del
radicale e l’esponente
del radicando per uno
stesso numero p
naturale e diverso da
zero il radicale non
cambia.
a 2  34 a 24  12 a 8
3
n
am 
np
am p
p  N0
con
p4
n
np
SEMPLIFICAZIONE
di un radicale
Si raccomanda di
scomporre sempre in
fattori primi gli
“oggetti” (numeri,
polinomi…) che
costituiscono il
radicando
RIDUZIONE
allo stesso indice
N.B.: Se non hanno lo
stesso indice prima si
fa la riduzione allo
stesso indice
a a
m
a
mp
m
n
a
mp
np
m
an
Si osserva che si perviene
allo stesso risultato.
La proprietà invariantiva
permette:
Quando si hanno due
o più radicali è
importante, per
confrontarli
numericamente e per
eseguire le operazioni,
che abbiano lo stesso
indice
MOLTIPLICAZIONE
Il prodotto di due o più
radicali aventi lo stesso
indice, è un radicale
che ha per indice lo
stesso indice e per
radicando il prodotto
dei radicandi.
N.B.: Scrivendo i radicali
come potenze ad esponente
frazionario si possono sempre
utilizzare le proprietà delle
potenze nelle dimostrazioni
Si scrivono i due membri delle
espressioni come potenze ad
esponente frazionario:
10
4a 2 b6 
10
22 a 2 b6 
10
(2ab 3 )2 
5
2ab 3
8
3, 2, 4 5
il m.c.m. degli indici è 8
8 sarà il nuovo indice
n
8
3, 8 24 , 8 52
8
3, 8 16, 8 25
3
2  3 5  3 10
a  b  n ab
n
n
5
23 7 
15
23  15 7 5 
15
23  75
anb 
1
n
1
n
1
n
a  b  (ab ) 
n
ab
DIVISIONE
Il quoziente di due o
più radicali aventi lo
stesso indice, è un
radicale che ha per
indice lo stesso indice
e per radicando il
quoziente dei
radicandi, purchè il
secondo radicale sia
diverso da zero.
n
a :n b  n
con b  0
a
b
ab 2  5 b 
5
(ab 2 )  b 
1
 a
m
n
 5
3
 n am
1
a b
b0
n
2

 3 52
n
a

 n1 
a 


n
m n
a 
nm
a
3 2
a  a
36 a ,  56 a
a,
sono radicali simili
m
an 
1
m
1
 
mn
a   a 
 
nm
6
m

a 
6
1
n
6
m
am
m n
RADICE DI UN
RADICALE
La radice di un radicale
è uguale alla radice
dello stesso radicando
avente per indice il
prodotto degli indici
1
a n  b n  (a  b ) n 
ab
b0
POTENZA
La potenza di un
radicale è un radicale
che ha per indice lo
stesso indice e per
radicando la potenza
del radicando con lo
stesso esponente del
radicale
anb 
n
5
N.B.: Se non hanno lo
stesso indice prima si
fa la riduzione allo
stesso indice
SOMMA ALGEBRICA
Non ci sono proprietà
delle potenze e,quindi
dei radicali,che
riguardino le somme.
Si possono sommare
algebricamente solo
radicali detti simili,
PORTAR FUORI
5
a
a  3 a 5 a 
6
6
(1  3  5) 6 a 
1 6 a
n
a n pb  a p
n
b
3
a 6b  a 2 3 b
n
a np b  n (a p )n  n b 
ap n b
PORTAR DENTRO
a b  n an b
n
a n b  n an  n b 
n
anb