I Radicali →L’estrazione di radice non è una operazione interna in Q Ad esempio √2 non è un numero razionale →I numeri irrazionali sono numeri decimali illimitati non periodici e possono essere approssimati per difetto e per eccesso da due successioni di decimali 1 < √2 < 2 1.4 < √2 <1.5 1.41 < √2 <1.42 ……………… →L’insieme dei numeri razionali e irrazionali costituiscono i numeri reali →Il problema della radice n-esima di un numero reale positivo è sempre risolubile nell’insieme dei numeri reali. → Teorema: Se α è un numero reale positivo ed n è un numero naturale ( diverso da 0), esiste sempre uno ed un solo numero reale positivo x tale che Xn= α → Il numero x si chiama radice n-esima aritmetica di α e si indica con n Risulta quindi per definizione n n n si chiama radicale , n indice della radice, α radicando. L’indice 2 si può omettere → n =0 se e solo se α=0 → Vale la proprietà 0≤α<β→ n < n → Dal teorema si deducono : la proprietà invariantiva : n m nrmr 1. essa permette di semplificare il radicale 2. di portare più radicali al minimo comune indice ( utile nel confronto fra radicali, indispensabile per poter eseguire prodotti………) N.B. Nella semplificazione se il radicando è letterale e non se ne conosce il segno occorre aggiungere il valore assoluto le regole per il calcolo con i radicali 1 n n * n n : n n : ≠0 ( n )m= n m mn nm A queste aggiungiamo (ma sono conseguenze di quelle già considerate ) n → il trasporto di un fattore positivo o nullo sotto radice: n n →il trasporto di un fattore del radicando scritto sotto forma di potenza con base non negativa fuori dal segno di radice: può essere fatto se l’esponente del fattore è maggiore o uguale all’indice di radice. Il fattore esterno ha per esponente il quoziente della divisione fra m e n, quello interno ha per esponente il resto della divisione. →l’operazione precedente è utile nelle somme di radicali; il portar fuori il più possibile permette di riconoscere facilmente i radicali simile che poi andrò a ridurre E’ evidente che si deve prestare la massima attenzione quando si lavora con fattori letterali dei quali non si conosce il segno! La razionalizzazione Per rendere più spedite alcune operazioni è conveniente talvolta rendere razionale il numeratore di una frazione ( ma talvolta anche il numeratore…….) Per realizzare questo obiettivo basterà ricordare la proprietà invariantiva delle frazioni e qualche prodotto notevole…….. Proviamo a dedurre le regole di razionalizzazione almeno nei casi più semplici 1 n 1 1 1 ………. Può essere utile chiedersi qual è l’esponente minimo che un fattore del radicando deve avere per “uscire completamente dalla radice” , ricordare la scomposizione della differenza di quadrati e, ricordando l’associativa, pensare che ……….. → Prova a razionalizzare una frazione avente al denominatore una somma o differenza di radicali cubici……….. Radicale doppio E’ del tipo 2 2 se c ( c non irrazionale ) allora il radicale doppio è sdoppiabile nella somma dei due radicali semplici α c ± 2 α− c 2 RADICALI ALGEBRICI 2 Si definisce radicale algebrico di indice n di un numero reale α, ogni numero reale x soluzione dell’equazione xn= α √4=2 √4=±2 aritmetico algebrico N.B: le proprietà prima enunciate valgono solo per i radicali aritmetici e così pure le regole di calcolo dei radicali! 2 6 3 8 8 64 ?????????????? Altrimenti 3 Purtroppo si è soliti indicare i radicali algebrici con lo stesso simbolo di quelli aritmetici e ciò è fonte di notevole confusione! Atteniamoci alle seguenti convenzioni: un radicale di indice pari è sempre da intendersi in senso aritmetico, se algebrico deve comparire in modo esplicito il doppio segno davanti al radicale. Per quanto riguarda radicali algebrici di indice dispari, se il radicando è non negativo, esso coincide con il corrispondente radicale aritmetico, nel caso di radicando negativo “ si porta fuori il – “ cioè 3 83 8 Scrivere in questo caso il “ - “ fuori permette di poter applicare poi il calcolo dei radicali aritmetici. E’ corretto scrivere a2 a ? In caso contrario, quale è la scrittura corretta? Se α è un numero reale positivo ed n è un numero naturale ( diverso da 0) n 1 = n Se vogliamo che continuino a valere le proprietà delle potenze già viste dovremo porre m n ...... m n ...... Proviamo a fare gli stessi calcoli sia nel mondo dei radicali che in quello delle potenze con esponente frazionario; i risultati non cambieranno…… 3 C’è una identità d’uso, al di là della corrispondenza fra radicali e potenze con esponente frazionario, che ci consente di operare utilizzando le scritture a noi più familiari……….. →Hai già incontrato, nei tuoi studi, qualcosa di simile? 4