Programma Definitivo
Matematica Discreta (Corso C) a.a. 2002/2003
Docente: Oriella Maria Amici
CENNI DI LOGICA
Logica proposizionale, connettivi logici, tavole di verità, tautologie e
contraddizioni. Formule della logica proposizionale. Equivalenza logica ed
equivalenza semantica. Metodi di dimostrazione: diretta, per
contrapposizione, per assurdo. Logica predicativa; linguaggio con
identità, formule, loro interpretazione.
I NUMERI
Numeri naturali, assioma del buon ordinamento, principio di induzione,
Numeri interi, algoritmo di divisione, massimo comune divisore e minimo
comune multiplo, identità di Bezout, equazioni diofantee, numeri primi e
numeri irriducibili, fattorizzazione di un intero. Criteri di
divisibilità. Relazioni ricorsive: i numeri di Fibonacci come soluzione
del problema delle coppie di conigli. Rappresentazione di numeri interi in
basi qualsiasi. Stima del numero di passi nell’algoritmo per il massimo
comune divisore.
RELAZIONI-FUNZIONI
Relazioni binarie. Relazioni funzionali e applicazioni. Applicazioni
ingettive, surgettive, bigettive. Applicazioni tra insiemi finiti. Modello
delle parole. Rappresentazione grafica di una relazione binaria su un
insieme finito. Relazioni di equivalenza, insiemi quozienti, partizione di
un insieme. Legame tra relazioni di equivalenza e partizioni.
Congruenza “modulo n” e struttura di Zn. Il piccolo teorema di Fermat e
teorema di Eulero. Congruenze lineari. Compatibilità e soluzioni di una
congruenza lineare. Il teorema cinese del resto.
RETICOLI
Insiemi ordinati e totalmente ordinati. Il diagramma di Hasse di un
insieme ordinato finito. Maggioranti, minoranti, estremo superiore,
estremo inferiore di un sottoinsieme di un insieme ordinato. Reticoli,
sottoreticoli. Reticoli distributivi, limitati e complementati. Reticoli
booleiani, morfismi ed isomorfismi di reticoli.
GRAFI
Relazioni simultaneamente simmetriche ed antiriflessive e relativa
rappresentazione grafica (grafo non orientato) nel caso finito. Teoria
elementare dei grafi, grafi regolari, completi, cammini e circuiti, grafi
connessi, cammini e circuiti euleriani. Il problema dei ponti di
Konigsberg e il teorema di Eulero. Alberi e foreste. Grafi piani e planari.
MATRICI
Matrici, somma fra matrici e prodotto per uno scalare, prodotto righe per
colonne. Determinante.
STRUTTURE ALGEBRICHE
a)
Operazione su un insieme e nozione di struttura algebrica.
Semigruppi e monoidi. Potenza di un monoide. Insiemi chiusi per
un’operazione. Sottomonoide. Sottomonoide generato da un insieme e
relativo teorema di struttura. Monoide ciclico. Congruenze su una
struttura algebrica e struttura quoziente. Morfismi ed isomorfismi tra
monoidi. Il Monoide delle parole e proprietà universale del monoide delle
parole.
b)
Gruppi, potenze in gruppo e loro proprietà. Sottogruppi e loro
caratterizzazione. Morfismi ed isomorfismi tra gruppi e relative
proprietà. Sottogruppo generato da un insieme e relativo teorema di
struttura. Sottogruppi ciclici e gruppi ciclici. Periodo di un elemento di
un gruppo. Determinazione e numero dei generatori di un gruppo ciclico.
Teorema di Lagrange. Il reticolo dei sottogruppi. Sottogruppi di gruppi
ciclici. Gruppi quozienti di gruppi ciclici. Classificazione dei gruppi
ciclici. Il gruppo delle matrici invertibili. Il gruppo delle
permutazioni, cicli, fattorizzazione in cicli disgiunti. Fattorizzazione
in trasposizioni, segno di una permutazione. Gruppo alterno.
c)
Anelli e sottoanelli, divisori dello zero, l’anello prodotto
diretto. Campi. L’anello delle matrici quadrate. L’anello degli interi.
TESTI CONSIGLIATI:
q
A. FACCHINI, Algebra e Matematica Discreta, Decibel Zanichelli,
2000.
q
G.M. PIACENTINI-CATTANEO, Algebra un approccio algoritmico,
Decibel Zanichelli.
q
V. ABATANGELO-B. LARATO-A. TERRUSI, Complementi ed esercizi di
Algebra, Editore Laterza, Bari.
