Corso di Laurea in Informatica –Laurea di I livello Programma dell’insegnamento di Matematica Discreta –corso B a.a. 2007/08 Docente Angela Farinola N° Ore lezioni frontali 32 N° Crediti 4 N° Ore esercitazioni 30 N° Crediti 2 N° Ore studio individuale 150 Totale crediti 6 Prerequisiti : proprieta’ elementari dei numeri interi, razionali e reali. Calcolo numerico e letterale. Polinomi e relative operazioni. Equazioni di 1° e 2° grado e loro risoluzione.Il metodo delle coordinate e le funzioni circolari. Operazioni tra insiemi e loro proprieta’ elementari. Obiettivi formativi : Fornire il linguaggio algebrico di base, con la sua terminologia e sintassi ed alcuni concetti fondamentali dell’algebra moderna e della matematica discreta.Sviluppare nello studente capacita’ logiche deduttive e tecniche elementari di dimostrazione. Cenni di logica: proposizioni,connettivi logici,formule preposizionali,tavole di verita’, tautologie e contraddizioni.Conseguenza logica e proposizioni semanticamente equivalenti. Regole di inferenza. Metodi di dimostrazione:diretta, indiretta, per assurdo. Logica predicativa:i predicati,i quantificatori. 6 ore complessive Il principio di induzione completacon esercizi. 2 ore complessive I numeri interi :algoritmo della divisione,massimo comune divisore e identita’ di Bezout. I numeri primi.Fattorizzazione :il crivello di Eratostene e il criterio di Fermat. La funzione di Eulero. Equazioni diofantee: compatibilita’ e soluzioni. Relazioni ricorsive ed esempi:le torri di Ianoi e i numeri di Fibonacci come soluzione del problema delle coppie di conigli. 7 ore complessive Relazioni , funzioni: Relazioni binarie e loro rappresentazione matriciale. Relazioni funzionali ed applicazioni. Applicazioni ingettive,surgettive,bigettive, con particolare riferimento alle applicazioni tra insiemi finiti. I modelli dell’occupazione e delle parole.Numerosi esempi. Permutazioni, cicli,trasposizioni,classe di una permutazione.Operazioni su un insieme e proprieta’.8 ore complessive. Calcolo combinatorio:Numero delle applicazioni tra insiemi finiti, numero delle applicazioni ingettive e bigettive.Coefficiente binomiale con determinazione del numero dei K-sottoinsiemi . La cardinalita’ dell’insieme delle parti.Il triangolo di Tartaglia.Numerosi esempi.2 ore complessive. Relazioni di equivalenza, partizioni,la congruenza modulo n: Relazioni di equivalenza ed insiemi quozienti. Relazioni di equivalenza compatibili con una operazione ,operazioni indotte sul quoziente e relative proprieta’.Partizioni di un insieme e legame tra partizioni e relazioni di equivalenza. Studio della relazione di congruenza” modulo n “e dell’insiemeZn delle classi resto. Il piccolo teorema di Fermat. Il teorema di Eulero-Fermat* e sua applicazione nel sistema R.S.A. nel campo della crittoGrafia. Congruenze lineari: loro compatibilita’ e soluzioni. Sistemi di congruenze lineari. Il teorema cinese del resto*.Numerosi esempi ed esercizi.9 ore complessive Reticoli:Relazioni d’ordine e diagramma di Hasse di un insieme ordinato finito. Maggioranti , minoranti, estremo superiore ed inferiore di un sottoinsieme di un insieme ordinato. Elementi minimali e massimali , massimo e minimo di un insieme ordinato. Reticoli ordinati e reticoli Algebrici. Loro proprieta’ed equivalenza tra le due definizioni.Sottoreticoli, morfismi ed isomorfismi di reticoli . Reticoli distributivi e loro caratterizzazione*Reticoli limitati, complementati e reticoli di Boole. Leggi di de Morgan. Teorema di classificazione dei reticoli di Boole finiti* e loro cardinalita’.Numerosi esempi ed esercizi.8 ore complessive. Strutture algebriche: Monoidi, potenze in un monoide e loro proprieta’*. Morfismi ed isomorfismi di monoidi. Esempi,tra cui il monoide delle parole di un alfabeto.Potenze in un monoide e proprieta’. Monoide generato da una parte e teorema di struttura*.Monoidi ciclici.Gruppi, potenze in un gruppo e loro proprieta’*, leggi di cancellazione, sottogruppi e loro caratterizzazione. Morfismi ed isomorfismi tra gruppi e loro proprieta’.Sottogruppi generati da una parte e relativo teorema di struttura*.Gruppi ciclici . Periodo di un elemento di un gruppo e sua caratterizzazione. Determinazione e numero dei generatori di un gruppo ciclico. Teorema di classificazione dei gruppi ciclici*.. Teorema di Lagrange* e suoi corollari. Il gruppo prodotto diretto di gruppi ed il reticolo dei sottogruppi di un gruppo.I sottogruppi di un gruppo ciclico sono ciclici* La dimostrazione nel caso di (Z,+). IL gruppo (Sn,◦) delle permutazioni su n elementi.Esempi ed esercizi. 11 ore complessive. Anelli, corpi e campi ,definizioni ed esempi: l’anello (Z,+,∙) degli interi, l’anello (Zn,+,∙)delle classi resto,il campo (Q,+,·) dei numeri razionali,Il campo (R,+,·)dei numeri reali . Il campo (Zp,+,.)con p primo.L’anello prodotto diretto di anelli e applicazione del teorema cinese del resto per semplificare i calcoli in Zn, con n grande.Gli anelli di Boole e loro relazione con le algebre di Boole.L’anello dei polinomi (Kx,+,·).Teorema di Ruffini e sua conseguenza sulla riducibilita’ di un polinomio.. Polinomi irriducibili e teorema di fattorizzazione*. Ricerca degli zeri razionali di un polinomio a coefficienti interi..Esempi ed esercizi. 9 ore complessive. N.B. dei teoremi contrassegnati con * non e’ richiesta la dimostrazione. Testi consigliati: A.Facchini Algebra e Matematica Discreta , Decibel Zanichelli Piacentini-Cattaneo, Algebra un approccio algoritmico,Decibel Zanichelli L.Di Martino- M.C. Tamburini, Appunti di Algebra, Clued, Milano Anno di corso Semestre I° I°