Programma Definitivo
Matematica Discreta (Corso A) a.a. 2002/2003
Docente: Maria Falcitelli
CENNI DI LOGICA MATEMATICA:
La logica proposizionale, connettivi logici, tavole di verità, tautologie
e contraddizioni. Equivalenza logica ed equivalenza semantica. Metodi di
dimostrazione: diretta, per contrapposizione, per assurdo. Calcolo dei
predicati del primo ordine: linguaggi con identità, formule, loro
interpretazione. Negazione di una formula chiusa.
ARITMETICA
Numeri naturali, assioma del buon ordinamento, principio d'induzione,
Numeri interi relativi, algoritmo di divisione, divisori di un intero,
massimo comun divisore e minimo comune multiplo, algoritmo di Euclide e
sua correttezza. Algoritmo di Euclide esteso, identità di Bezout,
equazioni diofantee, numeri primi e irriducibili, crivello di Eratostene,
fattorizzazione unica. Espansione di un numero su una base, congruenze
modulo n, la prova del 9 e criteri di divisibilità. Sistemi di congruenze
lineari, teorema cinese del resto.
RELAZIONI, FUNZIONI, COMBINATORIA
Prodotto cartesiano di insiemi. Relazioni, relazioni funzionali e
funzioni. Immagini e controimmagini: funzioni ingettive, surgettive e
bigettive. Funzioni tra insiemi finiti, modello di occupazione e delle
parole, regole del prodotto e del pastore. Enumerazione di funzioni:
funzioni ingettive, permutazioni e combinazioni. Formula di Stifel e
binomio di Newton. Principio dei cassetti generalizzato, principio di
inclusione-esclusione e sue applicazioni.
RELAZIONI DI EQUIVALENZA E PARTIZIONI
Relazioni di equivalenza, classi di equivalenza, insieme quoziente.
Relazione di equivalenza associata ad una funzione. Partizioni di un
insieme e teorema di corrispondenza fra relazioni di equivalenza e
partizioni. Congruenze modulo n e struttura di Zn.
RELAZIONI D'ORDINE E RETICOLI
Insiemi ordinati e totalmente ordinati: esempi fondamentali. Relazione
d'ordine indotta su un sottoinsieme. Il diagramma di Hasse di un insieme
ordinato finito. Elementi minimali, massimali, minimo e massimo. Il
problema del sorting topologico. Estremo inferiore e superiore: reticoli.
Operazioni algebriche indotte su un reticolo, il principio di dualità dei
reticoli. Reticoli distributivi, limitati e complementati: reticoli
booleani. Insiemi totalmente ordinati e reticoli booleani. Omomorfismi fra
reticoli.
STRUTTURE ALGEBRICHE E MONOIDI
Primi esempi di strutture algebriche. Operazioni su un insieme, la nozione
di struttura algebrica. Semigruppi e monoidi. Potenza in un monoide.
Insiemi chiusi per una operazione, sottomonoidi. Sottomonoide generato da
un sottoinsieme. Monoidi ciclici: esempi. Congruenze su una struttura
algebrica e struttura quoziente: le operazioni su Zn. Omomorfismi fra
strutture algebriche, teorema di isomorfismo. Il monoide delle parole su
un alfabeto e proprietà universale dei monoidi liberi. Elementi
invertibili di un monoide.
GRUPPI
Nozione di gruppo, esempi fondamentali: (Zn, +) munito della somma, il
gruppo degli elementi invertibili di un monoide, gli elementi invertibili
di (Zn, •) munito del prodotto. Leggi di cancellazione Sottogruppi,
sottogruppi di (Z, +). Sottogruppo generato da un insieme, gruppi ciclici.
Periodo di un elemento. Determinazione del periodo di un elemento di (Zn,
+). Relazioni di equivalenza e sottogruppi: classi laterali modulo un
sottogruppo. Il teorema di Lagrange, il reticolo dei sottogruppi di un
gruppo, esempi fondamentali. Omomorfismi fra gruppi. Determinazione degli
omomorfismi fra gruppi ciclici. Classificazione dei gruppi ciclici. Nucleo
di un omomorfismo e relativo gruppo quoziente: teorema fondamentale di
isomorfismo. Il gruppo delle permutazioni, cicli, loro periodo,
fattorizzazione in cicli disgiunti. Fattorizzazione in trasposizioni,
segno di una permutazione, gruppo alterno. Struttura dei gruppi S3, S4.
Gruppi ciclici come gruppi di rotazioni del piano che fissano poligoni
regolari.
ANELLI, CAMPI
Anelli e sottoanelli, divisori dello zero, domini d'integrità, il gruppo
degli elementi unitari di un anello. Campi: definizioni ed esempi.
L'anello degli interi, l'anello dei polinomi, grado di un polinomio e sue
proprietà, divisione fra polinomi, l'algoritmo di Euclide fra polinomi,
equazioni diofantee su polinomi. Polinomi irriducibili, fattorizzazione
unica per i polinomi, teorema di Ruffini, molteplicità di una radice,
radici razionali di un polinomio, criterio di irriducibilità di
Eisenstein, fattorizzazione di un polinomio a coefficienti razionali,
lemma di Gauss. Irriducibilità e fattorizzazione di un polinomio modulo p:
prime applicazioni alla fattorizzazione su Q. Omomorfismi di anelli,
nucleo e immagine di un omomorfismo, teorema fondamentale dell'omomorfismo
per gli anelli. Anelli di Boole e loro associazione a reticoli: esempi
fondamentali.
Testi consigliati:
Ø
A. Facchini, Algebra e Matematica Discreta, Decibel, Zanichelli
(2000).
Ø
G. M. Piacentini Cattaneo, Algebra: un'approccio algoritmico,
Decibel, Zanichelli (1996).
Ø
M. G. Bianchi, A. Gillio, Introduzione alla Matematica Discreta,
McGraw Hill (2001).
Ø
Alzati, M. Bianchi, M. Cariboni, Matematica Discreta: esercizi,
Città Studi Edizioni (1995).
