programma 2006/07 - Dipartimento di Matematica

Corso di Laurea in Informatica –Laurea di I livello
Programma dell’insegnamento di Matematica Discreta –corso B a.a. 2006/07
Docente Angela Farinola
N° Ore lezioni frontali
32
N° Crediti 4
N° Ore esercitazioni
30
N° Crediti 2
N° Ore studio individuale
150
Totale crediti
6
Prerequisiti : proprieta’ elementari dei numeri interi, razionali e reali. Calcolo numerico
e letterale. Polinomi e relative operazioni. Equazioni di 1° e 2° grado e loro
risoluzione.Il metodo delle coordinate e le funzioni circolari. Operazioni tra insiemi e
loro proprieta’ elementari.
Obiettivi formativi : Fornire il linguaggio algebrico di base, con la sua terminologia e
sintassi ed alcuni concetti fondamentali dell’algebra moderna e della matematica
discreta.Sviluppare nello studente capacita’ logiche deduttive e tecniche elementari di
dimostrazione.
Cenni di logica: proposizioni,connettivi logici,formule preposizionali,tavole di verita’,
tautologie e contraddizioni.Conseguenza logica e proposizioni semanticamente equivalenti.
Regole di inferenza. Metodi di dimostrazione:diretta, indiretta, per assurdo.
Logica predicativa:i predicati,i quantificatori. 6 ore complessive
Il principio di induzione completacon esercizi. 2 ore complessive
I numeri interi :algoritmo della divisione,massimo comune divisore e identita’ di Bezout.
I numeri primi.Fattorizzazione :il crivello di Eratostene e il criterio di Fermat. La funzione di Eulero.
Equazioni diofantee: compatibilita’ e soluzioni. Relazioni ricorsive ed esempi:le torri di Ianoi e i
numeri di Fibonacci come soluzione del problema delle coppie di conigli. 7 ore complessive
Relazioni , funzioni: Relazioni binarie e loro rappresentazione matriciale. Relazioni funzionali ed
applicazioni. Applicazioni ingettive,surgettive,bigettive, con particolare riferimento alle applicazioni
tra insiemi finiti. I modelli dell’occupazione e delle parole.Numerosi esempi.
Permutazioni, cicli,trasposizioni,classe di una permutazione.Operazioni su un insieme e proprieta’.8
ore complessive.
Calcolo combinatorio:Numero delle applicazioni tra insiemi finiti, numero delle applicazioni
ingettive e bigettive.Coefficiente binomiale con determinazione del numero dei K-sottoinsiemi . La
cardinalita’ dell’insieme delle parti.Il triangolo di Tartaglia.Numerosi esempi.2 ore complessive.
Relazioni di equivalenza, partizioni,la congruenza modulo n: Relazioni di equivalenza ed insiemi
quozienti. Relazioni di equivalenza compatibili con una operazione ,operazioni indotte sul quoziente e
relative proprieta’.Partizioni di un insieme e legame tra partizioni e relazioni di equivalenza. Studio
della relazione di congruenza” modulo n “e dell’insiemeZn delle classi resto. Il piccolo teorema di
Fermat. Il teorema di Eulero-Fermat* e sua applicazione nel sistema R.S.A. nel campo della
crittologia. Congruenze lineari: loro compatibilita’ e soluzioni. Sistemi di congruenze lineari. Il
teorema cinese del resto*.Numerosi esempi ed esercizi.9 ore complessive
Reticoli:Relazioni d’ordine e diagramma di Hasse di un insieme ordinato finito. Morfismi ed
isomorfismi di insiemi ordinati. Maggioranti , minoranti, estremo superiore ed inferiore di un
sottoinsieme di un insieme ordinato. Elementi minimali e massimali , massimo e minimo di un insieme
ordinato. Reticoli, sottoreticoli, morfismi ed isomorfismi di reticoli .Operazioni in un reticolo e loro
proprieta’. Reticoli distributivie loro caratterizzazione*Reticoli limitati, complementati e reticoli di
Boole. Leggi di de Morgan. Teorema di classificazione dei reticoli di Boole finiti* e loro
cardinalita’.Numerosi esempi ed esercizi.8 ore complessive.
Strutture algebriche: Monoidi, potenze in un monoide e loro proprieta’*. Morfismi ed isomorfismi di
monoidi. Esempi,tra cui il monoide delle parole di un alfabeto.Potenze in un monoide e proprieta’.
Monoide generato da una parte e teorema di struttura*.Monoidi ciclici.Gruppi, potenze in un gruppo
e loro proprieta’*, leggi di cancellazione, sottogruppi e loro caratterizzazione. Morfismi ed
isomorfismi tra gruppi e loro proprieta’.Sottogruppi generati da una parte e relativo teorema di
struttura*.Gruppi ciclici . Periodo di un elemento di un gruppo e sua caratterizzazione.
Determinazione e numero dei generatori di un gruppo ciclico. Teorema di classificazione dei gruppi
ciclici*.. Teorema di Lagrange* e suoi corollari. Il gruppo prodotto diretto di gruppi ed il reticolo dei
sottogruppi di un gruppo. Sottogruppi di un gruppo ciclico e i sottogruppi di (Z,+). IL gruppo
(Sn,◦) delle permutazioni su n elementi.Esempi ed esercizi. 11 ore complessive.
Anelli, corpi e campi ,definizioni ed esempi: l’anello (Z,+,·) degli interi, l’anello (Zn,+,·)delle classi
resto,il campo (Q,+,·) dei numeri razionali,Il campo (R,+,·)dei numeri reali . Il campo (Zp,+,.)con p
primo.L’anello prodotto diretto di anelli e applicazione del teorema cinese del resto per semplificare i
calcoli in Zn, con n grande.Gli anelli di Boole ..L’anello dei polinomi (K[x],+,·).Teorema di Ruffini e
sua conseguenza sulla riducibilita’ di un polinomio.. Polinomi irriducibili e teorema di
fattorizzazione*. Ricerca degli zeri razionali di un polinomio a coefficienti interi. Condizione
sufficiente per l’irriducibilita’ in Q di polinomi primitivi. Polinomi irriducibili nel campo R dei
numeri reali. Il criterio di Eisenstein*per l’irriducibilita’ di un polinomio a coefficienti interi su
Q..Esempi ed esercizi. 9 ore complessive.
N.B. dei teoremi contrassegnati con * non e’ richiesta la dimostrazione.
Testi consigliati:
A.Facchini Algebra e Matematica Discreta , Decibel Zanichelli
Piacentini-Cattaneo, Algebra un approccio algoritmico,Decibel Zanichelli
L.Di Martino- M.C. Tamburini, Appunti di Algebra, Clued, Milano
Anno di corso
Semestre
I°
I°