Programma del corso
MATEMATICA DISCRETA
C.L. Informatica e tecnologie per la produzione del software
corso A - Prof.ssa Luigia Di Terlizzi
(A.A. 2008/2009)
1. Cenni di logica
Logica proposizionale e predicativa. Simboli logici e quantificatori. Tavole
di verità. Regole di inferenza e tecniche di dimostrazione.
2. Numeri naturali ed interi
L’insieme N dei numeri naturali. L’insieme Z dei numeri interi. Principio
di induzione completa. Relazioni ricorsive. Esempi salienti: torri di Hanoi
e numeri di Fibonacci. Algoritmo della divisione. Massimo comun divisore
e identità di Bezout. Minimo comune multiplo. Numeri primi. Teorema
fondamentale dell’aritmetica. Criteri di fattorizzazione di un intero: crivello
di Eratostene e criterio di Fermat. Teorema di rappresentazione di un intero
in base n. Equazioni Diofantee.
3. Relazioni funzionali e di equivalenza
Relazioni e relazioni funzionali. Applicazioni tra insiemi con particolare riferimento alle applicazioni tra insiemi finiti. Applicazioni ingettive, surgettive e bigettive. I modelli dell’occupazione e delle parole. Il numero delle
disposizioni semplici e con ripetizioni. L’insieme Sn delle permutazioni su
n oggetti. Relazioni di equivalenza. Classi di equivalenza e relative proprietà. Partizioni di un insieme. L’insieme quoziente di un insieme rispetto
ad una relazione di equivalenza. La relazione di congruenza mod (n) su Z e la
costruzione dell’insieme Zn delle classi dei resti mod (n). Congruenze lineari
su Z. Teorema di compatibilità di una congruenza lineare e sue soluzioni
non congrue mod (n). Sistemi di congruenze lineari e tecniche di risoluzione.
Cenni sulla crittologia: il sistema crittografico a chiave pubblica R.S.A. come
utile applicazione informatica delle congruenze lineari.
4. Monoidi, gruppi, anelli e campi
Leggi di composizione interne. Monoidi e principali proprietà. Gruppi e
relative proprietà. Esempi fondamentali: (Z, +), (Q, +), (R, +), (Q∗ , · ),
(R∗ , ·), (Sn , ◦). Il gruppo (C, +) dei numeri complessi.
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Operazioni indotte su Zn : il gruppo (Zn , +), il monoide (Zn , ·). Caratterizzazione degli elementi invertibili di Zn . Il gruppo (Z∗p , ·), con p primo.
Sottogruppi e caratterizzazione. Il sottogruppo An di (Sn , ◦) costituito dalle
permutazioni di classe pari. Sottogruppo ciclico generato da un elemento
di un gruppo. Gruppi ciclici ed esempi. Sottogruppi di un gruppo ciclico.
Periodo di un elemento di un gruppo. Somma diretta di gruppi. Teorema di
Lagrange.
Anelli e principali proprietà. Divisori dello zero, elementi unitari e proprietà
relative. Gli anelli (Z, +, ·), (Zn , +, ·). Definizione di campo e principali
proprietà. I campi: (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·), (Zp , +, ·) (con p primo).
L’anello (K[x], +, ·). Algoritmo della divisione tra polinomi. Polinomi irriducibili. Radici di un polinomio e teorema di Ruffini. Molteplicità di una
radice. Teorema fondamentale dell’algebra. Polinomi irriducibili di R[x] e di
C[x] (teorema fondamentale dell’Algebra). Criterio di irriducibilità di Eisenstein per polinomi a coefficienti in Q. Scomposizione di polinomi in Zp [x]
(con p primo).
5. Matrici e sistemi lineari su un campo K
Matrici ed operazioni tra matrici. Matrici invertibili. Determinante di una
matrice quadrata e relative proprietà. Caratterizzazione delle matrici invertibili. Matrici triangolari e diagonali. Rango di una matrice. Teorema di
Kroneker per la determinazione del rango. Algoritmo per il calcolo della
matrice inversa. Gruppi di matrici: (GL(n, K), ·) e (Mn,m (K), +).
Sistemi lineari e loro risoluzione con i teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli.
6. Diagonalizzabilità
Spazi vettoriali (cenni). Lo spazio vettoriale (Mn,1 (K), +) delle matrici colonna. Applicazione lineare su (Mn,1 (K), +) individuata da una matrice quadrata. Autovalori ed autovettori di una matrice quadrata. Matrici simili. Il
polinomio caratteristico di una matrice. Molteplicità algebrica e geometrica
di un autovalore. Diagonalizzabilità e teorema relativo.
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7. Grafi
Grafi semplici e multigrafi. Grafi diretti e pesati. Grafi completi e grafi bipartiti. Legami tra il numero dei lati e i gradi dei suoi vertici. Cammini e
cicli. Cammini Euleriani e Hamiltoniani. Problema dei ponti di Könisberg
e teorema di Eulero. Grafi isomorfi. Grafi connessi e componenti connesse
di un grafo; grafi regolari e completi. Alberi e loro caratterizzazione. Albero
generatore di un grafo connesso. Alberi generatori di peso minimale di un
grafo pesato e algoritmo di Kruskal. Planarità. Grafi planari, rappresentazioni planari e poligonali. Matrici di adiacenza e di incidenza di un grafo.
Grafi isomorfi. Facce di un grafo planare. Proiezione stereografica. Formula
di Eulero per i grafi planari. Cenni sulla non solubilità del problema dei
servizi e sulla non planarità di K5 .
8. Reticoli, reticoli di Boole ed anelli di Boole
Relazioni d’ordine ed insiemi ordinati. Diagrammi di Hasse. Insiemi totalmente ordinati. Estremo superiore ed estremo inferiore. Massimo e minimo.
Reticoli ordinati e reticoli algebrici. Principali proprietà. Corrispondenza
tra reticoli ordinati e reticoli algebrici. Esempi: reticolo delle parti di un
insieme, il reticolo dei divisori di un numero intero. Sottoreticoli. Reticoli
distributivi. Reticoli con zero ed unità. Reticoli complementati. Reticoli di
Boole. Esempi. Reticoli di Boole finiti e loro cardinalità. Anelli di Boole.
L’anello di Boole Z2n . Relazione tra algebre di Boole e anelli di Boole.
Testi Consigliati:
1. A. Facchini: Algebra e matematica discreta, Decibel Zanichelli
2. G.M. Piacentini-Cattaneo: Algebra: un approccio algoritmico, Decibel Zanichelli
3. M.G. Bianchi, A. Gillio Introduzione alla matematica discreta McGraw-Hill
4. L. Di Martino, M.C. Tamburini: Appunti di Algebra, Città Studi, Milano
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