Probabilità
Eventi composti
(1)
Problema (i figli della Sig.ra Lucia)
La sig.ra Lucia ha potuto prendere parte ad un concorso perché ha almeno tre figli ed il primogenito è stato un maschio.
a) Se Lucia ha esattamente tre figli, qual è la probabilità che gli altri due figli siano femmine?
b) Se Lucia ha quattro figli, qual è la probabilità che abbia due maschi e due femmine?
Soluzione
a) Per la nascita del secondo e terzo figlio, considerate come equiprobabili la nascita di un
maschio e quella di una femmina, si possono essere presentate le seguente eventualità
Secondo-genito Maschio, terzo-genito Maschio MM;
Secondo-genito Maschio, terzo-genito Femmina MF;
Secondo-genito Femmina, terzo-genito Maschio FM;
Secondo-genito Femmina, terzo-genito Femmina FF.
Le quattro eventualità sono equiprobabili e quindi che gli altri due figli siano femmine è ¼.
b) Per risolvere il quesito si devono elencare le modalità con cui si sono potute presentare le
nascite dei tre figli, dal secondo al quarto. Con ovvio significato dei simboli, la modalità di
nascita può essere stata solo una delle seguenti
FFF, FFM, FMF,FMM,MFF, MFM, MMF, MMM.
Tenendo conto che il primo-genito è maschio, la probabilità che Lucia abbia due maschi e
due femmine è uguale a 3/8 perché si deve essere verificata una delle tre sequenze FFM,
FMF, MFF, delle otto elencate.
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(2)
Problema (estrarre coppie di palline colorate da due urne)
Si hanno due urne U1, U2, contenenti la prima 10 palline rosse e 5 bianche, la seconda 2
palline rosse e 3 bianche. Si vogliono estrarre da una delle due urne due palline
contemporaneamente con la seguente regola:
<<Si estrae una carta da un mazzo di 40 carte napoletane, se la carta
estratta è una figura si estraggono le palline dall’urna U1, altrimenti si
estraggono dall’urna U2.>>
Calcolare la probabilità dei seguenti eventi.
E1=” Si estraggono due palline rosse”
E2=”Si estraggono due palline bianche”
E3=”Si estraggono due palline di colore diverso”
Soluzione
Premessa
Ricordiamo che delle 40 carte del mazzo 12 sono figure e 28 sono non figure. Pertanto, la
probabilità di estrarre una figura dal mazzo è 12/40=0,3; così, la probabilità che si estragga una
carta non figura è 0,7. Dunque la probabilità che l’estrazione delle due palline avvenga dall’urna n.1
è 0,3, mentre è 0,7 la probabilità che l’estrazione avvenga dall’urna n.2.
Evento E1
(1)
(2)
Problema proposto nella prova scritta M3_4D-20-12-11 (in una classe quarta di Liceo Scientifico, Ind.PNI)
Problema proposto nella prova scritta M3_4D-20-12-11 (in una classe quarta di Liceo Scientifico, Ind.PNI)
Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it
1
La probabilità che dall’urna U1 siano estratte due palline rosse è il rapporto tra il numero
delle coppie di due palline rosse che si possono formare con le 10 palline rosse ed il numero
complessivo di coppie di palline che si possono formare con le 15
palline presenti nell’urna.
La probabilità che dall’urna U2 siano estratte due palline rosse è il
rapporto tra il numero delle coppie di due palline rosse che si possono
formare con le 2 palline (quindi una sola coppia) ed il numero
complessivo di coppie di palline che si possono formare con le 5
palline presenti nell’urna.
Poiché le palline possono essere estratte da una sola delle due urne in
base al risultato della carta estratta, la probabilità che si abbiano due
palline rosse è:
10
3 C
7 1
3 2 7 1
3 10 9 7 1
9
7
139
P E1 10;2
10 C15;2 10 C5;2 10 15 10 5 10 15 14 10 5 2 70 100 700
2
2
Evento E2
Sviluppando considerazioni analoghe per il calcolo della probabilità dell’evento E1,
possiamo scrivere l’espressione della probabilità dell’evento E2. Si ha:
5
3
3 C5;2 7 C3;2
3 2 7 2
3 54
7 3 2
1
21 167
P E2
10 C15;2 10 C5;2 10 15 10 5 10 15 14 10 5 2 35 100 700
2
2
Evento E3
Primo metodo di risoluzione
Per questo evento si deve osservare che il numero delle coppie di palline di colore diverso
che si possono formare con le palline dell’urna n.1 sono 105=50 , mentre quelle dello stesso tipo
che si possono formare con le palline dell’urna n.2 sono 23=6. La probabilità che si estraggano due
palline di colore diverso con la regola fissata è:
3 50
7 6
3 50
7 6
1 21 197
P E3
10 C15;2 10 C5;2
10 15 7 10 5 2
7 50 350
Secondo metodo di risoluzione
Osserviamo che estraendo in blocco due palline queste possono essere o dello stesso colore
(entrambe rosse o entrambe bianche), oppure di colore diverso. L’evento E3 risulta essere il
complementare dell’evento E1E2, e gli eventi E1, E2 sono incompatibili. Pertanto, la probabilità di
E3 si può ottenere anche dalla relazione
139 167
153 197
1
P E3 1 P E1 E2 1 P E1 P E2 1
700 700
350 350
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Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it
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