Confronto locale, infiniti e infinitesimi

Confronto locale di funzioni
Un modo naturale per confrontare il comportamento di due funzioni nell’intorno bucato
di c (comportamento locale) è di valutare il limite del loro rapporto per x $ c.
I casi interessanti da approfondire sono il confronto di infiniti e di infinitesimi, ad esempio
perché il limite del loro rapporto è indeterminato a priori.
Definizione (di infinitesimi e infiniti in c). Si dice che
1) f è infinitesima in c (o un infinitesimo in c) se lim f (x) = 0 , cioè f = o (1)x<c .
x<c
1
= 0 , cioè 1 = o (f )x<c .
x<c f (x)
2) f è infinita in c (o un infinito in c) se lim
La definizione 2) comprende anche il caso di f (x) $ infiniti discordi per x $ x±
0.
Ad esempio, f (x) =
1
x
è un infinito in 0 perché lim+
x<0
1
x
= +4 e lim3
x<0
1
x
= 4.
Definizione (terminologia per il confronto locale di infiniti e infinitesimi).
• Dati due infiniti f, g in c, diciamo rispettivamente che:
f ha ordine inferiore a g, f ha ordine superiore a g, f e g hanno lo stesso ordine
se
f (x)
= 0,
x<c g (x)
f (x)
= ±4,
x<c g (x)
lim
lim
f (x)
= 5 R \ {0}
x<c g (x)
lim
cioè
f = o (g)x<c ,
g = o (f )x<c ,
f g
x<c
• Dati due infinitesimi f, g in c, diciamo rispettivamente che:
f ha ordine superiore a g, f ha ordine inferiore a g, f e g hanno lo stesso ordine
se
f (x)
= 0,
x<c g (x)
f (x)
= ±4,
x<c g (x)
lim
lim
f (x)
= 5 R \ {0}
x<c g (x)
lim
cioè
f = o (g)x<c ,
(x)
• Se lim fg(x)
(=
x<c
" 0
, )
" 0
g = o (f )x<c ,
f g
x<c
non esiste, diciamo che f e g sono non confrontabili in c.
Nota1 Ammesso che siano confrontabili e non equigrandi:
tra due infiniti è trascurabile quello di ordine inferiore,
tra due infinitesimi è trascurabile quello di ordine superiore.
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1
Esempio. Confrontare, se possibile, f (x) = cos
sin x e g (x) = x per x $ 0.
x
Esempi notevoli (rilettura di equivalenze e trascurabilità fondamentali).
1) Limiti notevoli.
Per x $ 0 si ha sin x log (1 + x) ex 1 x (1 + x)k 1 (k 9= 0) :
sono tutti infinitesimi dello stesso ordine.
Inoltre si ha cos x 1 x2 : cos x 1 è un infinitesimo dello stesso ordine di x2 .
2) Potenze.
Per x $ 0+ si ha xk = o xq per ogni q < k :
se k, q > 0, allora xk è un infinitesimo di ordine superiore ad ogni xq con q < k;
se k, q < 0, allora xk è un infinito di ordine inferiore ad ogni xq con q < k.
q
k
Per x $ +4 si ha x = o x per ogni q > k :
se k, q > 0, allora xk è un infinito di ordine inferiore ad ogni xq con q > k;
se k, q < 0, allora xk è un infinitesimo di ordine superiore ad ogni xq con q > k.
3) Confronti di crescita.
Per x $ +4 si ha log x = o (xk ) e xk = o (ex ) per ogni k > 0 :
log x è un infinito di ordine inferiore rispetto a qualsiasi potenza positiva,
la quale è un infinito di ordine inferiore rispetto ad ex .
x
Per x $ 4 si ha e = o |x|1k per ogni k > 0 :
ex è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a qualsiasi potenza negativa.
Per x $ 0+ si ha log x = o x1k per ogni k > 0 :
log x è un infinito di ordine inferiore rispetto a qualsiasi potenza negativa.
Analizziamo il caso di due infiniti f, g di cui f trascurabile rispetto a g: f = o (g)x<c .
f (x) 4 Intuitivamente: lim
=
= 0 si interpreta dicendo che f diverge più lentamente.
x<c g (x)
4
Graficamente: per x $ c, il grafico di |f | si “innalza” più piano.
Più precisamente: ;0 > 0 esiste IrW0 (c) in cui |f (x)| < 0 |g (x)|.
10
8
14
6
12
4
10
2
8
00
-2
0.5
1
x
1.5
6
2
4
-4
2
x $ +4
log x = o (xk ) e xk = o (ex ), ;k > 0
(log x è un infinito inferiore ad ogni xk ,
che è inferiore ad ogni x con q > k,
q
x
che è inferiore ad e )
(attenzione ai grafici fuorvianti...)
x $ 0+
log x = o
00
0.2
1
x2
e
0.4
1
x2
0.6
x
=o
0.8
1
(log x è inferiore ad ogni
che è inferiore ad ogni
1
1
xq
x4
1
xk
con k > 0,
con q > k)
Analizziamo il caso di due infinitesimi f, g di cui f trascurabile rispetto a g: f = o (g)x<c .
f (x)
0
Intuitivamente: lim
=
= 0 si interpreta dicendo che f $ 0 più velocemente.
x<c g (x)
0
Graficamente: per x $ c, il grafico di |f | si “appiattisce” più in fretta.
Più precisamente: ;0 > 0 esiste IrW0 (c) in cui |f (x)| < 0 |g (x)|.
1.2
1.6
1
1.4
0.8
1.2
0.6
1
0.8
0.4
0.6
0.2
0.4
0.2
x $ 0+
00
-4
0.2
0.4
0.6
x
0.8
1
1.2
x3 = o (x2 ) , x2 = o x1/2 , x1/2 = o x1/3
(per esponenti positivi, x è un infinitesimo
k
di ordine superiore ad ogni x con q < k)
q
x $ 4
ex = o x14 e
-3
1
x4
=o
-2
x
-1
00
1
x2
(ex è un infinitesimo superiore ad ogni
con k > 0, che è superiore ad ogni
1
|x|q
1
|x|k
con 0 < q < k)
(attenzione ai grafici fuorvianti...)
Nota2 Ammesso che siano confrontabili e non equigrandi:
tra due infiniti è trascurabile quello con grafico che si innalza più piano
(ordine inferiore),
tra due infinitesimi è trascurabile quello con grafico che si schiaccia più in fretta
(ordine superiore).
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Tutto ciò induce a definire rigorosamente l’idea di velocità di divergenza/convergenza a 0
di un infinito/infinitesimo, cercandone una misura.
Naturalmente sarà un concetto relativo: occorre scegliere un’unità di misura con cui
confrontare, cioè un infinito/infinitesimo campione ) (x) in c.
Si dà quindi la seguente:
Definizione (di ordine e parte principale in c). Sia ) un infinito/infinitesimo in c.
Si dice che f è un infinito/infinitesimo di ordine k rispetto al campione ) se esistono
k > 0 ed 5 R \ {0} tali che
f (x)
k
k
k
k = , cioè f (x) ) (x) , cioè f (x) = ) (x) + o () (x) )x<c .
x<c ) (x)
x<c
lim
In tal caso, l’infinito/infinitesimo p (x) = ) (x)k è detto parte principale di f rispetto a ).
• Fissato ) (x), i numeri k ed , se esistono, sono unici (e quindi anche p (x)).
• La definizione dà anche i modi per determinare k e p (x), se esistono.
Esempio (limiti notevoli).
• Per x $ 0, si ha sin x log (1 + x) ex 1 x :
sono tutti infinitesimi di ordine 1 rispetto ad x nell’origine, con parti principali p (x) = x.
• Per x $ 0, si ha cos x 1 = 12 x2 + o (x2 ) :
la funzione f (x) = cos x 1 è un infinitesimo di ordine 2 rispetto ad x nell’origine, con
parte principale p (x) = 12 x2 .
• Per x $ 0, si ha loga (1 + x) 1
x,
ln a
ax 1 (ln a) x e (1 + x)k 1 kx (k 9= 0) :
sono tutti infinitesimi di ordine 1 rispetto ad x nell’origine, rispettivamente con parti
principali p (x) =
1
x,
ln a
p (x) = (ln a) x e p (x) = kx.
s
Esempio. Se possibile, confrontare gli infinitesimi f (x) = tan x + 2 x e ) (x) = x per
x $ 0+ e determinare ordine e parte principale di f rispetto a ).
Esempio. Se possibile, determinare ordine di infinito e parte principale per x $ +4 di
s
3x7 + 7x3 1
f (x) =
x2 x + 1
rispetto al campione ) (x) = x.
Esempio. Se possibile, determinare ordine di infinito e parte principale per x $ +4 di
f (x) = e3x+2 rispetto ai campioni ) (x) = x e (x) = ex .
La scelta del campione ) è del tutto arbitraria.
Convenzionalmente, ricade sugli infiniti/infinitesimi più semplici:
• per x $ ±4, l’infinito e l’infinitesimo campione standard sono
) (x) = x e ) (x) =
1
x
• per x $ x0 5 R oppure x $ x±
0 , l’infinito e l’infinitesimo campione standard sono
) (x) =
1
x x0
e ) (x) = x x0 .
A volte è necessario considerare ordini k non interi (v. esempio più in basso). In tali casi:
• per x $ 4 si sostituiscono i campioni x e
• per x $ x0 o x $ x3
0 si sostituiscono
1
1
con |x| e
x
|x|
1
1
e |x x0 |.
ed x x0 con
x x0
|x x0 |
s
Ad esempio, l’infinitesimo f (x) = |x| ha ovviamente ordine
1
2
rispetto a |x| per x $ 0,
mentre non ha ordine rispetto a x per x $ 0, perché
s
s
|x|
|x|
1
1
lim+ k = lim+ x 2 3k 5 R \ {0} se e solo se k = , ma lim3 1/2 non esiste
x<0
x<0
x<0
x
2
x
(x1/2 non è definito per x < 0).
Similitudine locale tra funzione e parte principale
Supponiamo che f ammetta parte principale p rispetto ad un dato campione ).
1 Poiché f p per x $ c, f (x) e p (x) hanno lo stesso segno nell’intorno bucato di c e
sono intercambiabili nei limiti di prodotti e rapporti (principio di equivalenza).
2 Poiché f = p+o ()k ) per x $ c, p (x) è una buona approssimazione numerica di f (x)
nell’intorno bucato di c. Infatti l’errore relativo tra f (x) e p (x) è dato da
o () (x)k )x<c
o () (x)k )x<c
f (x) p (x)
= infinitesimo per x $ c.
=
x<c
f (x)
f (x)
) (x)k
3 Se f è infinitesima, i grafici di f e p si confondono nell’intorno bucato di c e l’aderenza
tra i due è tanto migliore quanto maggiore è l’ordine di infinitesimo k. Infatti si ha
f (x) p (x) = o () (x)k )x<c = infinitesimo di ordine superiore a ) (x)k per x $ c.
6
f (x) = 1 cos x = 12 x2 + o (x2 )x<0 ;
5
p (x) = 12 x2 (rispetto a x);
4
3
-4
-2
2
f (x) p (x) = o (x2 )x<0 infinitesimo
1
di ordine superiore a x2 per x $ 0.
0 0
2
4
x
Non vale precisamente nello stesso modo per gli infiniti:
18
16
14
f (x) = 4 + x + sin x = x + o (x)x<+" ;
12
10
8
6
p (x) = x (rispetto a x).
4
2
0 0
2
4
6
x
8
10
12
14
Asintoti obliqui
Definizione. La retta y = mx + q è asintoto obliquo destro per una funzione f se
m 9= 0
e
lim (f (x) mx q) = 0.
x<+"
Tale limite significa che la distanza dei punti con la stessa ascissa x sulla retta e sul
grafico di f è infinitesima per x $ +4.
Analogamente per gli asintoti obliqui sinistri (sostituendo 4 al posto di +4).
Un asintoto obliquo sia destro che sinistro è detto completo.
Proposizione (calcolo di asintoti obliqui). La retta y = mx + q è asintoto obliquo
destro per f se e solo se valgono entrambe le seguenti condizioni:
f (x)
= m finito e non nullo
x<+"
x
(i) lim
(ii) lim (f (x) mx) = q finito.
x<+"
Analogamente per gli asintoti obliqui sinistri.
Osservazione. La (i) significa che f (x) è un infinito di ordine 1 rispetto ad x (cioè
f (x) mx, cioè f (x) = mx + o (x)), ma ciò non è su!ciente a!nché f abbia asintoto
obliquo (serve anche la condizione (ii)).
f (x) = x + log x non ha asintoti obliqui
f (x) = x + sin x non ha asintoti obliqui
12
10
10
8
8
6
6
4
4
2
0 0
-2
2
2
4
x
6
8
10
0 0
f (x) x per x $ +4, ma
lim (f (x) x) = lim log x = +4
x<+"
x<+"
2
4
x
6
8
10
f (x) x per x $ ±4, ma
lim (f (x) x) = lim sin x non esiste
x<±"
x<±"