Scheda 1. Il regno dei numeri: la matematica Scheda 1.a. Il Platonismo in matematica Un’impostazione platonistica è adottata dal matematico tedesco GOTTLOB FREGE (18481925), secondo cui i numeri non sono definiti dalla mente umana in virtù di un processo di astrazione, ma sono entità ideali esistenti oggettivamente ed indipendentemente dalla nostra attività intellettuale. Frege combina l’interpretazione platonistica del numero ad un approccio logicistico nei confronti della matematica, in base al quale occorre: a) Definire in termini puramente logici i concetti della matematica pura (in particolare quelli considerati “primitivi” e, tra questi, quello di “numero naturale”); b) Derivare le “verità” della matematica pura a partire da principi meramente logici mediante ragionamenti esplicitati. c) La riduzione del concetto di numero naturale a una combinazione di nozioni puramente logiche è attuata da Frege mediante la definizione del concetto di numero in termini di “classi” (insiemi), con la conseguente espulsione dell’intuizione dalla matematica. La matematica è riducibile all’aritmetica, che, a sua volta, è ricondotta alla logica: tutti gli enti matematici sono combinazioni di numeri naturali; i numeri naturali (e, quindi, gli enti matematici) sono enti di natura logica (classi). I numeri naturali non sono caratteristiche di oggetti, ma sono caratteristiche di concetti, ossia caratteristiche di classi di oggetti: ad esempio, sette non è una caratteristica degli nani di Biancaneve, ma della classe dei nani di Biancaneve). I numeri naturali sono i numeri cardinali finiti: il cardinale di una classe infatti specifica il numero di oggetti che appartengono a quella classe. Ma la definizione fregeana di numero naturale utilizza la relazione logica di “equinumerosità” tra classi, senza ricorrere al concetto “cardinale”: equinumerose sono le classi i cui elementi possono essere posti in relazione biunivoca. Mediante la relazione di equinumerosità è possibile definire il concetto di numero cardinale: infatti, ogni numero cardinale è la classe di tutte le classi equinumerose (il due la classe di tutte le coppie, il tre la classe di tutte le terne,…). L’impostazione fregeana entrò completamente in crisi in seguito alla scoperta, nel 1902, da parte del matematico e logico inglese BERTRAND RUSSELL (1872-1970) di antinomie, ossia contraddizioni, che si generavano all’interno di tale sistema. Scheda 1.b. Concettualismo e costruttivismo Nel tentativo di mediare tra queste due opposte impostazioni, descrittiva e costitutiva (definite,anche, rispettivamente, “platonistica” e “concettualistica”), si situa l’elaborazione della “teoria ramificata dei tipi” di Bertrand Russell, basata su una gerarchia di tipi: oggetti di tipo 1 (oggetti individuali), oggetti di tipo 2 (classi di individui), oggetti di tipo 3 (classi di classi di individui), … Un’impostazione dichiaratamente costruttivistica è invece quella presentata dalla matematica intuizionistica degli olandesi JAN LUITZEN BROUWER (1881-1966) e AREND HEYTING (18981980), che rifiutano il concetto di una totalità infinita a partire da un processo generativo. Scheda 1.c. Pitagora e Fermat Il problema può essere posto in relazione con il cosiddetto teorema di Pitagora (peraltro già conosciuto dai Babilonesi) che afferma che il quadrato costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Esistono infinite terne pitagoriche (x, y, z) per le quali vale x2+y2=z2 e il cui rapporto x:y:z è tale che un triangolo i cui lati siano in una siffatta relazione è necessariamente rettangolo. L’equazione x2+y2=z2 considerata dal teorema di Pitagora è un caso particolare, per n=2, della più generale xn+yn=zn. Come osservò PIERRE FERMAT (1601-1665), magistrato di Tolosa, che si dilettava ad altissimo livello di matematica, nelle sue Osservazioni sull’Aritmetica di Diofanto, matematico greco del II secolo d.C., non esiste nessun numero intero positivo, maggiore di 2, tale che xn+yn=zn. In altri termini, è possibile ottenere un quadrato dato come somma di due quadrati, ma non è possibile ottenere un cubo come somma di due cubi (x3+y3=z3), o, in generale, una potenza di grado superiore al secondo come somma di altre due potenze dello stesso grado. E’ il celebre Ultimo teorema di Fermat.di cui il matematico francese non offrì la soluzione, pur asserendo di aver scoperto una dimostrazione “veramente mirabile”, ma di non poterla riportare per motivi di spazio. Per più di trecento anni, alcuni tra i maggiori matematici si sono affannati su questo teorema. Esso fu dimostrato per n=4 dallo stesso Fermat, per n=3 dal tedesco LEONHARD EULER (17011783) nel 1770, per n= 5 dal tedesco PETER DIRICHLET (1805-1859) e dal francese ADRIENMARIE LEGENDRE (1752-1833) nel 1825; nel 1847 il francese GABRIEL LAMÉ (1795-1870) comunicò all’Accademia delle Scienze di Parigi di aver trovato una dimostrazione generale, che si rivelò essere poi errata. Nel 1857 il tedesco EDUARD KUMMEL (1810-1893) riuscì a dimostrarlo per tutti i numeri minori di 100. Nel 1983 il computer aveva controllato il teorema per n uguale ad un milione, nel 1992 per n uguale a quattro milioni: ma, per quanti siano quattro milioni, sono niente nei confronti dell’infinità dei numeri. Finalmente, nel 1995, un matematico inglese, ANDREW WILES, sulla base della teoria dei campi di Galois e di ricerche di matematici contemporanei, è pervenuto alla dimostrazione generale dell’Ultimo teorema. Scheda 1.d. I numeri primi Relativamente alla divisibilità dei numeri un ruolo rilevante è svolto dai numeri primi. Un numero è primo se è divisibile solo per l’unità e per se stesso. Ad esempio, sono numeri primi 1, 2 (l’unico numero primo pari), 3, 5, 7, 11, …, mentre non lo sono 4, 6, 8, 9, … che risultano dal prodotto di numeri primi. Come sono distribuiti i numeri primi tra i naturali? A questo problema, che ha impegnato da sempre i matematici, non è stata ancora fornita una risposta conclusiva. Sin dai tempi di EUCLIDE (III secolo a.C.), si sa che i numeri primi sono infiniti, anche se nessuno, sinora, è riuscito a determinare una funzione in grado di precisarne la successione numerica. L’importanza dei numeri primi è legata al teorema fondamentale dell’aritmetica, formulato da Euclide negli Elementi, secondo il quale qualsiasi numero naturale maggiore di 1 è esprimibile univocamente come prodotto di numeri primi (in altri termini, la scomposizione in numeri primi è unica). Scheda 1.e. Ampliamento dei numeri razionali Il problema dell’ampliamento dell’insieme dei razionali (indicato con Q) in direzione dell’insieme dei numeri reali (designato con R) è affrontato, nel corso dell’Ottocento, dai matematici tedeschi RICHARD DEDEKIND (18311916) e GEORG CANTOR (1845-1918). Dedekind ricorre al metodo della “partizione” dei numeri razionali: si dividono tutti i razionali in due classi, sì che ogni numero della prima classe sia minore di ogni numero della seconda: ad esempio, 4 è la partizione in cui, nella prima classe, sono tutti gli irrazionali minori di 4 e, nella seconda classe, tutti gli irrazionali maggiori di 4. Definite le operazioni algebriche per le partizioni suddette, è possibile definire i numeri irrazionali: ad esempio, è irrazionale quel numero rappresentato come partizione in cui la prima classe contiene tutti i numeri razionali il cui quadrato è minore di 2 e la seconda classe contiene tutti i razionali il cui quadrato è maggiore di 2. L’insieme dei razionali e degli irrazionali forma l’insieme dei reali. Scheda 1.f. I numeri complessi Mediante i numeri complessi è possibile estrarre la radice quadrata da un numero negativo, introducendo un’unità immaginari, i, che, elevata al quadrato, dà –1. Ogni numero reale può essere espresso forma a+bi, con a e b reali qualunque. Una rappresentazione geometrica dei numeri complessi fu proposta nel 1797 dal norvegese CASPAR WESSEL (1745-1818) mediante vettori (vedi figure lato). A sua volta, anche l’insieme dei numeri complessi può essere ulteriormente ampliato nel dominio dei numeri ipercomplessi, a patto di rinunciare ad alcune proprietà formali. Scheda 1.g. Equinumerosità dei naturali e dei razionali Come ha dimostrato Georg Cantor, sebbene possa sembrare che i numeri naturali (comprendenti i pari e i dispari) siano più numerosi dei soli numeri pari, i naturali possono essere posti in corrispondenza biunivoca con i numeri pari e, pertanto, i due insiemi posseggono lo stesso numero di elementi. Un insieme che può essere posto in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei naturali è definito numerabile. Equinumerosità dei Naturali e dei Razionali 1/1 , 2/1 , 1/2 , 1/3 , 3/1 , 4/1 , 1 2 3 4 5 6 Scheda 1.h. Gli assiomi di Peano 1. Nel 1889 il matematico italiano Giuseppe Peano (1858-1932) definisce la successione dei numeri naturali per mezzo di cinque assiomi, in sono presenti tre concetti primitivi: numero, zero, successore di un numero. I cinque assiomi di Peano, da cui è possibile costruire tutta l’aritmetica, sono: 1. Zero è un numero 2. Il successore di ogni numero è un numero 3. Non esistono due numeri con lo stesso successore 4. Zero non è il successore di nessun numero Ogni proprietà che appartiene allo zero e al successore di ogni numero che gode di quella proprietà appartiene a tutti i numeri. (principio di induzione matematica). Scheda 1.i. Il metodo diagonale Anche l’insieme infinito dei numeri razionali può sembrare molto più grande di quello degli interi; ad esempio, tra due naturali 0 e 1 esistono infiniti numeri razionali (per questo l’insieme dei razionali è detto denso). Nel 1874 Georg Cantor dimostrò invece che i numeri razionali possono essere posti in relazione biunivoca con gli interi, mediante un procedimento definito “diagonale”. Si elencano tutti i possibili razionali creando una matrice nelle cui righe il numeratore è sempre lo stesso e il denominatore è crescente, e nelle cui colonne il numeratore è crescente e il denominatore è lo stesso numero. Ogni razionale può essere associato con un intero seguendo il percorso indicato dalle frecce. L’insieme dei razionali risulta essere ordinabile e in relazione con l’insieme dei naturali, quindi numerabile. Invece, i reali sono un insieme denso ma non numerabile 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 … 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 … 1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3 7 3 … 1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4 7 4 … 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5 7 5 … … … … … … … … Il metodo diagonale di Cantor