Scheda 1.c. Pitagora e Fermat

Scheda 1. Il regno dei numeri: la matematica
Scheda 1.a. Il Platonismo in matematica
Un’impostazione platonistica è adottata dal matematico tedesco GOTTLOB FREGE (18481925), secondo cui i numeri non sono definiti dalla mente umana in virtù di un processo di
astrazione, ma sono entità ideali esistenti oggettivamente ed indipendentemente dalla nostra
attività intellettuale. Frege combina l’interpretazione platonistica del numero ad un approccio
logicistico nei confronti della matematica, in base al quale occorre:
a) Definire in termini puramente logici i concetti della matematica pura (in particolare quelli
considerati “primitivi” e, tra questi, quello di “numero naturale”);
b) Derivare le “verità” della matematica pura a partire da principi meramente logici mediante
ragionamenti esplicitati.
c)
La riduzione del concetto di numero naturale a una combinazione di nozioni puramente logiche
è attuata da Frege mediante la definizione del concetto di numero in termini di “classi” (insiemi),
con la conseguente espulsione dell’intuizione dalla matematica. La matematica è riducibile
all’aritmetica, che, a sua volta, è ricondotta alla logica: tutti gli enti matematici sono
combinazioni di numeri naturali; i numeri naturali (e, quindi, gli enti matematici) sono enti
di natura logica (classi). I numeri naturali non sono caratteristiche di oggetti, ma sono
caratteristiche di concetti, ossia caratteristiche di classi di oggetti: ad esempio, sette
non è una caratteristica degli nani di Biancaneve, ma della classe dei nani di Biancaneve). I
numeri naturali sono i numeri cardinali finiti: il cardinale di una classe infatti specifica il
numero di oggetti che appartengono a quella classe. Ma la definizione fregeana di numero
naturale utilizza la relazione logica di “equinumerosità” tra classi, senza ricorrere al concetto
“cardinale”: equinumerose sono le classi i cui elementi possono essere posti in relazione
biunivoca. Mediante la relazione di equinumerosità è possibile definire il concetto di numero
cardinale: infatti, ogni numero cardinale è la classe di tutte le classi equinumerose (il
due la classe di tutte le coppie, il tre la classe di tutte le terne,…). L’impostazione fregeana entrò
completamente in crisi in seguito alla scoperta, nel 1902, da parte del matematico e logico
inglese BERTRAND RUSSELL (1872-1970) di antinomie, ossia contraddizioni, che si generavano
all’interno di tale sistema.
Scheda 1.b. Concettualismo e costruttivismo
Nel tentativo di mediare tra queste due opposte impostazioni, descrittiva e costitutiva
(definite,anche, rispettivamente, “platonistica” e “concettualistica”), si situa l’elaborazione della
“teoria ramificata dei tipi” di Bertrand Russell, basata su una gerarchia di tipi: oggetti di tipo 1
(oggetti individuali), oggetti di tipo 2 (classi di individui), oggetti di tipo 3 (classi di classi di
individui), …
Un’impostazione dichiaratamente costruttivistica è invece quella presentata dalla matematica
intuizionistica degli olandesi JAN LUITZEN BROUWER (1881-1966) e AREND HEYTING (18981980), che rifiutano il concetto di una totalità infinita a partire da un processo generativo.
Scheda 1.c. Pitagora e Fermat
Il problema può essere posto in relazione con il cosiddetto teorema di Pitagora (peraltro già
conosciuto dai Babilonesi) che afferma che il quadrato costruito sull’ipotenusa di un triangolo
rettangolo è uguale alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Esistono infinite terne
pitagoriche (x, y, z) per le quali vale x2+y2=z2 e il cui rapporto x:y:z è tale che un triangolo i cui
lati siano in una siffatta relazione è necessariamente rettangolo.
L’equazione x2+y2=z2 considerata dal teorema di Pitagora è un caso particolare, per n=2, della
più generale xn+yn=zn. Come osservò PIERRE FERMAT (1601-1665), magistrato di Tolosa, che si
dilettava ad altissimo livello di matematica, nelle sue Osservazioni sull’Aritmetica di Diofanto,
matematico greco del II secolo d.C., non esiste nessun numero intero positivo, maggiore di 2,
tale che xn+yn=zn. In altri termini, è possibile ottenere un quadrato dato come somma di due
quadrati, ma non è possibile ottenere un cubo come somma di due cubi (x3+y3=z3), o, in
generale, una potenza di grado superiore al secondo come somma di altre due potenze dello
stesso grado. E’ il celebre Ultimo teorema di Fermat.di cui il matematico francese non offrì la
soluzione, pur asserendo di aver scoperto una dimostrazione “veramente mirabile”, ma di non
poterla riportare per motivi di spazio.
Per più di trecento anni, alcuni tra i maggiori matematici si sono affannati su questo teorema.
Esso fu dimostrato per n=4 dallo stesso Fermat, per n=3 dal tedesco LEONHARD EULER (17011783) nel 1770, per n= 5 dal tedesco PETER DIRICHLET (1805-1859) e dal francese ADRIENMARIE LEGENDRE (1752-1833) nel 1825; nel 1847 il francese GABRIEL LAMÉ (1795-1870)
comunicò all’Accademia delle Scienze di Parigi di aver trovato una dimostrazione generale, che
si rivelò essere poi errata. Nel 1857 il tedesco EDUARD KUMMEL (1810-1893) riuscì a dimostrarlo
per tutti i numeri minori di 100. Nel 1983 il computer aveva controllato il teorema per n uguale
ad un milione, nel 1992 per n uguale a quattro milioni: ma, per quanti siano quattro milioni,
sono niente nei confronti dell’infinità dei numeri. Finalmente, nel 1995, un matematico inglese,
ANDREW WILES, sulla base della teoria dei campi di Galois e di ricerche di matematici
contemporanei, è pervenuto alla dimostrazione generale dell’Ultimo teorema.
Scheda 1.d. I numeri primi
Relativamente alla divisibilità dei numeri un
ruolo rilevante è svolto dai numeri primi. Un
numero è primo se è divisibile solo per
l’unità e per se stesso. Ad esempio, sono
numeri primi 1, 2 (l’unico numero primo
pari), 3, 5, 7, 11, …, mentre non lo sono 4,
6, 8, 9, … che risultano dal prodotto di
numeri primi. Come sono distribuiti i numeri
primi tra i naturali? A questo problema, che
ha impegnato da sempre i matematici, non è
stata ancora fornita una risposta conclusiva.
Sin dai tempi di EUCLIDE (III secolo a.C.), si
sa che i numeri primi sono infiniti, anche se
nessuno, sinora, è riuscito a determinare
una funzione in grado di precisarne la
successione numerica. L’importanza dei
numeri primi è
legata al
teorema
fondamentale dell’aritmetica, formulato
da Euclide negli Elementi, secondo il quale
qualsiasi numero naturale maggiore di 1 è
esprimibile univocamente come prodotto di
numeri
primi
(in
altri
termini,
la
scomposizione in numeri primi è unica).
Scheda 1.e. Ampliamento dei numeri
razionali
Il problema dell’ampliamento dell’insieme dei
razionali
(indicato
con
Q)
in
direzione
dell’insieme dei numeri reali (designato con R) è
affrontato,
nel
corso
dell’Ottocento,
dai
matematici tedeschi RICHARD DEDEKIND (18311916) e GEORG CANTOR (1845-1918). Dedekind
ricorre al metodo della “partizione” dei numeri
razionali: si dividono tutti i razionali in due
classi, sì che ogni numero della prima classe sia
minore di ogni numero della seconda: ad
esempio, 4 è la partizione in cui, nella prima
classe, sono tutti gli irrazionali minori di 4 e,
nella seconda classe, tutti gli irrazionali maggiori
di 4. Definite le operazioni algebriche per le
partizioni suddette, è possibile definire i numeri
irrazionali: ad esempio, è irrazionale quel
numero rappresentato come partizione in cui la
prima classe contiene tutti i numeri razionali il
cui quadrato è minore di 2 e la seconda classe
contiene tutti i razionali il cui quadrato è
maggiore di 2. L’insieme dei razionali e degli
irrazionali forma l’insieme dei reali.
Scheda 1.f. I numeri complessi
Mediante i numeri complessi è possibile estrarre la radice quadrata da un numero negativo,
introducendo un’unità immaginari, i, che, elevata al quadrato, dà –1. Ogni numero reale può
essere espresso forma a+bi, con a e b reali qualunque. Una rappresentazione geometrica dei
numeri complessi fu proposta nel 1797 dal norvegese CASPAR WESSEL (1745-1818) mediante
vettori (vedi figure lato). A sua volta, anche l’insieme dei numeri complessi può essere
ulteriormente ampliato nel dominio dei numeri ipercomplessi, a patto di rinunciare ad alcune
proprietà formali.
Scheda 1.g. Equinumerosità dei naturali e dei razionali
Come ha dimostrato Georg Cantor, sebbene possa sembrare che i numeri naturali
(comprendenti i pari e i dispari) siano più numerosi dei soli numeri pari, i naturali possono
essere posti in corrispondenza biunivoca con i numeri pari e, pertanto, i due insiemi posseggono
lo stesso numero di elementi. Un insieme che può essere posto in corrispondenza biunivoca con
l’insieme dei naturali è definito numerabile.
Equinumerosità dei Naturali e dei Razionali
1/1 , 2/1 , 1/2 , 1/3 , 3/1 , 4/1 ,
1
2
3
4
5
6
Scheda 1.h. Gli assiomi di Peano
1. Nel 1889 il matematico italiano Giuseppe Peano (1858-1932) definisce la successione dei
numeri naturali per mezzo di cinque assiomi, in sono presenti tre concetti primitivi: numero,
zero, successore di un numero. I cinque assiomi di Peano, da cui è possibile costruire tutta
l’aritmetica, sono:
1. Zero è un numero
2. Il successore di ogni numero è un numero
3. Non esistono due numeri con lo stesso successore
4. Zero non è il successore di nessun numero
Ogni proprietà che appartiene allo zero e al successore di ogni numero che gode di quella
proprietà appartiene a tutti i numeri. (principio di induzione matematica).
Scheda 1.i. Il metodo diagonale
Anche l’insieme infinito dei numeri razionali può sembrare molto più grande di quello degli
interi; ad esempio, tra due naturali 0 e 1 esistono infiniti numeri razionali (per questo l’insieme
dei razionali è detto denso). Nel 1874 Georg Cantor dimostrò invece che i numeri razionali
possono essere posti in relazione biunivoca con gli interi, mediante un procedimento definito
“diagonale”. Si elencano tutti i possibili razionali creando una matrice nelle cui righe il
numeratore è sempre lo stesso e il denominatore è crescente, e nelle cui colonne il numeratore
è crescente e il denominatore è lo stesso numero. Ogni razionale può essere associato con un
intero seguendo il percorso indicato dalle frecce. L’insieme dei razionali risulta essere ordinabile
e in relazione con l’insieme dei naturali, quindi numerabile. Invece, i reali sono un insieme denso
ma non numerabile
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
…
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
2
…
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
6
3
7
3
…
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
6
4
7
4
…
1
5
2
5
3
5
4
5
5
5
6
5
7
5
…
…
…
…
…
…
…
…
Il metodo diagonale di Cantor