Programma - Dipartimento di Matematica

Istituzioni di Matematiche (F47 e F58)
Prerequisiti
Algebra elementare: monomi, polinomi, funzioni razionali, potenze, radici, esponenziali e logaritmi.
Risoluzione di equazione e disequazioni elementari.
Il concetto di funzione: funzioni elementari, loro grafici, interpretazione grafica di disequazioni.
Elementi di geometria analitica del piano: retta, circonferenza, parabola.
Elementi di trigonometria: funzioni seno, coseno e tangente, formule di addizione.
Elementi di insiemistica.
I prerequisiti al corso sono trattati nei corsi Minimat.
Programma a.a. 2011-2012 (estratto dal programma di Matematica del Continuo)
Numeri reali, razionali ed interi. Confronto tra razionali ed irrazionali: insiemi numerabile e non
numerabili. Massimo e minimo di un sottoinsieme della retta reale, estremo superiore ed estremo
inferiore.
Numeri naturali: principio di induzione, proprietà definitivamente vere.
Successioni di numeri reali: proprietà e sottosuccessioni.
Limiti di successioni: nozione di limite, unicità del limite e passaggio alle sottosuccessioni, limitatezza
delle successioni convergenti, teorema del confronto. Operazioni sui limiti e casi di indecisione,
confronto tra infiniti, criteri del rapporto e della radice, nozione di o piccolo e utilizzo, nozione di
asintotico e utilizzo. Regolarità delle successioni monotone, numero di Nepero. Altri simboli di
Landau: O grande, Omega grande, Theta grande e loro utilizzo nel confronto tra successioni.
Funzioni continue: nozione di continuità ed interpretazione grafica, discontinuità. Nozione di limite per
funzioni e relazione con la continuità. Continuità e discontinuità delle funzioni elementari: razionali,
esponenziali, logaritmi, modulo, gradini, parte intere e frazionarie. Cambio di variabili nei limiti e
limite della funzione composta. Teorema degli zeri e Teorema di Weierstrass.
Calcolo differenziale: nozione di derivata, approssimazione lineare e tangente ad una cur-va. Calcolo
della derivata delle funzioni elementari. Punti angolosi e cuspidi. Operazioni con le derivate. Teoremi
di Fermat, Rolle, Lagrange e sue applicazioni. Teorema di De l’Hôpital e confronto di infiniti. Formula
di Taylor e sue applicazioni. Problemi di ottimizza-zione.
Calcolo integrale: calcolo delle aree, approssimazione e metodo di esaustione. Integrale di Riemann:
definizione di integrale definito, classi di funzioni integrabili, proprietà dell’integra-le definito.
Teorema della media integrale e teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrali indefiniti e loro
calcolo: integrazione per sostituzione, per parti, di razionali fratte. Integrazione generalizzata o
impropria: definizione, esempi notevoli.
Materiale di riferimento
Matematica Assistita (http://ariel.unimi.it)
P. Marcellini, C. Sbordone, Calcolo, Liguori