CAPITOLO 3 LE SIMMETRIE

CAPITOLO 3
LE SIMMETRIE
3.1 Richiami di teoria
Definizione. Sia dato un punto C del piano; si chiama simmetria centrale di centro C (che
si indica con il simbolo sC ) la corrispondenza dal piano in sé che ad ogni punto P del piano
associa il punto P' in modo tale che sia:

3.1

CP   CP '.
Si noti che da questa definizione segue che il punto C è il punto medio del segmento PP'.
Figura 1
E' evidente che il corrispondente del centro C è il centro stesso; dunque il centro C è un punto
unito della simmetria sC .
I punti P e P' che si corrispondono nella simmetria centrale sC (cioè: sC P   P' ) si dicono
anche simmetrici rispetto al punto C.
Si noti che una simmetria centrale sC è una corrispondenza biunivoca dal piano in sé.
Esaminiamo ora alcune proprietà delle simmetrie centrali.
Anzitutto si noti che se sC (P) = P', allora sC (P') = P; in altri termini si ha per ogni punto P
del piano: sC ( sC (P)) = P.
Questo significa che la composizione di una simmetria centrale con se stessa è l'identità; ne
consegue che l'inversa della simmetria centrale sC è la simmetria stessa, cioè:
3.2
1
sC  sC .
Tale fatto si esprime anche dicendo che la simmetria centrale è una corrispondenza
involutoria.
Si dimostra che ogni simmetria centrale è un'isometria e che ogni simmetria centrale
trasforma una retta r in una retta ad essa parallela.
Essendo la simmetria centrale un'isometria, si ha che essa gode di tutte le proprietà
geometriche delle isometrie (vedere il capitolo 1).
Anche per studiare alcune proprietà delle simmetrie centrali, può essere conveniente riferire il
piano ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali xOy; in tal modo, data una simmetria
centrale sC , si possono trovare le equazioni che permettono di ottenere le coordinate del
punto sC (P) = P' = (x', y') tramite le coordinate del punto P = (x, y).
Sia il centro della simmetria centrale sC : C = (a, b).
Sia P = (x, y) e sia il suo corrispondente P' = (x', y').
Allora si hanno le seguenti equazioni che esprimono le coordinate del punto P' tramite quelle
del punto P:
3.3
 x '  2a  x

 y '  2b  y.
Le 3.3 sono anche chiamate le equazioni della simmetria centrale.
  1 0 2a 


Osserviamo che  0  1 2b  è la matrice associata alla simmetria centrale di
0 0 1


equazioni 3.3. Si vede immediatamente che è un’isometria diretta.
Nel caso in cui il centro C è l'origine (0, 0) degli assi cartesiani, dalle 3.3 si ottengono le
equazioni della simmetria centrale di centro l'origine degli assi:
3.4
 x'   x

 y'   y
 1 0 0


la cui matrice associata è  0  1 0 
 0 0 1


Figura 2
Si è visto che il centro è un punto unito della simmetria centrale; usando le equazioni 3.3 si
può dimostrare che il centro è l'unico punto unito della simmetria centrale.
Definizione. Due figure F ed F' si dicono simmetriche rispetto al punto C se esiste una
simmetria centrale sC tale che: F '  sC F .
Figura 3
Poiché ogni simmetria centrale è una isometria (congruenza), si ha che due figure simmetriche
rispetto ad un punto sono congruenti.
Definizione. Una figura F si dice simmetrica rispetto ad un punto C se essa è la
corrispondente di se stessa nella simmetria centrale sC , cioè: F  sC F .
Il punto C si chiama anche il centro di simmetria della figura F.
Figura 4
Vediamo cosa accade effettuando la composizione di due simmetrie centrali.
Consideriamo due simmetrie centrali: sC con C = (a, b) avente equazioni
3.5
 x '  2a  x

 y '  2b  y
ed sC ' con C '  a1,b1  avente equazioni
3.6
 x"  2a1  x'

 y"  2b1  y '.
Consideriamo la composizione sC
o
sC ' di queste simmetrie centrali; per ottenere le equazioni
di questa composizione, si sostituisce nelle equazioni 3.6 le espressioni di x' e y' che si hanno
nelle 3.5; in tal modo si ottiene:
3.7
 x"  2a1  2a  x

 y"  2b1  2b  y.
Si noti che le equazioni 3.7 rappresentano le equazioni della traslazione di vettore u =
2a1  2ai  2b1  2bj.
Figura 5
Allo stesso risultato si perviene usando le matrici associate:
  1 0 2a1    1 0 2a   1 0 2a1  2a 


 

 0  1 2b1   0  1 2b  =  0 1 2b1  2b 
0 0
1   0 0 1   0 0
1 

Passiamo ora alle simmetrie assiali.
Per definire le simmetrie assiali viene usato il concetto di asse di un segmento.
Definizione. Data una retta a del piano, si chiama simmetria assiale di asse a (che si indica
con sa ) la corrispondenza dal piano in sé che ad ogni punto P della retta a associa lo stesso
punto P e ad ogni punto P non appartenente alla retta a associa il punto P' tale che la retta a è
l'asse del segmento PP'.
Figura 6
I punti P e P' che si corrispondono nella simmetria assiale sa (cioè tali che sa P   P' ) si
dicono anche simmetrici rispetto alla retta r.
Vediamo ora alcune proprietà delle simmetrie assiali.
Si noti anzitutto che una simmetria assiale sa è una corrispondenza biunivoca dal piano in sé.
Inoltre si ha che ogni simmetria assiale è un'isometria.
Essendo la simmetria assiale un'isometria, si ha che essa gode di tutte le proprietà geometriche
delle isometrie (vedere il capitolo 1).
Dalla definizione di simmetria assiale segue che tutti i punti del suo asse sono punti uniti,
mentre tutte le rette perpendicolari all'asse sono rette unite.
Infatti un qualunque punto di una retta r perpendicolare all'asse ha per corrispondente un
punto della retta r.
Supponiamo ora che sia: sa (P) = P'; allora si ottiene: sa (P') = P; in altri termini si ha per
ogni punto P del piano: sa ( sa (P)) = P.
Questo significa che la composizione di una simmetria assiale con se stessa, cioè sa
o
sa è
l'identità; ne consegue che l'inversa della simmetria assiale sa è la simmetria stessa, cioè:
1
sa  sa .
3.8
Dunque ogni simmetria assiale è una corrispondenza involutoria.
Anche per studiare alcune proprietà delle simmetrie assiali, può essere conveniente riferire il
piano ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali xOy; in tal modo, data una simmetria
assiale sa , è possibile trovare le equazioni che permettono di ottenere le coordinate del punto
sa (P) = P' = (x', y') tramite le coordinate del punto P = (x, y).
Le equazioni delle simmetrie assiali sono un po' più complicate di quelle delle simmetrie
centrali; consideriamo anzitutto alcuni casi particolari.
Supponiamo come primo caso che l'asse a della simmetria assiale sa sia l'asse delle ascisse;
sia P = (x, y) e sia il suo corrispondente P' = (x', y').
Allora le equazioni della simmetria assiale avente per asse l'asse delle ascisse sono le
seguenti:
3.9
 x  x'

 y   y'
1 0 0


la cui matrice associata è  0  1 0  .
0 0 1


Si dimostra che le equazioni della simmetria assiale avente per asse l'asse delle ordinate
sono le seguenti:
3.10
 1 0 0


 x   x'
la cui matrice associata è  0 1 0  .

 y  y'
 0 0 1


Si vede immediatamente che sono isometrie indirette.
Si dimostra che le equazioni della simmetria assiale sa , avente per asse una retta
parallela all'asse delle ascisse di equazione y = h, sono le seguenti:
3.11
 x'  x

 y '  2h  y
1 0 0 


la cui matrice associata è  0  1 2h  .
0 0 1 


Nello stesso modo si dimostra che le equazioni della simmetria assiale sa , avente per asse
una retta parallela all'asse delle ordinate di equazione x = k, sono le seguenti:
3.12
  1 0 2k 


 x '  2k  x
0
1
0
la
cui
matrice
associata
è


.
 y'  y
0 0 1


Figura 7
In generale si dimostra che le equazioni della simmetria assiale avente per asse la retta di
equazione y = mx + q sono le seguenti:
:

3.13


 x m 2  1  2my  2qm
x
'



1  m2

2
 y '  y m  1  2mx  2q .

1  m2


Si noti che le precedenti equazioni 3.9 e 3.11 sono un caso particolare di queste ultime
equazioni e si ottengono ponendo rispettivamente m = 0, q = 0 e m = 0, q = h.
Dalle equazioni 3.13 si ottengono come caso particolare le equazioni della simmetria assiale
avente per asse la bisettrice del primo e del terzo quadrante; poiché tale retta ha equazione
y = x, dobbiamo porre nelle 3.13: m = 1 e q = 0; si ottengono così le equazioni cercate:
3.14
 x'  y

 y'  x
0 1 0


la cui matrice associata è  1 0 0  .
0 0 1


Figura 8
Usando le equazioni della simmetria assiale si può dimostrare il seguente importante risultato:
la composizione di due simmetrie assiali con assi perpendicolari è una simmetria
centrale avente per centro il punto di intersezione dei due assi.
Nel caso particolare in cui le simmetria assiali hanno gli assi paralleli, allora la loro
composizione è una traslazione, come prova il seguente risultato: la composizione di due
simmetrie assiali con gli assi paralleli è una traslazione.
Dai precedenti risultati segue in particolare che la composizione di due simmetrie assiali non è
una simmetria assiale.
Un altro risultato riguardante la composizione di simmetrie assiali è il seguente: la
composizione di due simmetrie assiali con assi perpendicolari è commutativa.
Il risultato precedente è interessante poiché sappiamo che in generale la composizione di due
applicazioni non è commutativa (vedere l'esercizio 4 del capitolo 1).
Definizione. Due figure F ed F' si dicono simmetriche rispetto ad una retta a se esiste una
simmetria assiale s a tale che: F '  sa F .
Figura 9
Poiché ogni simmetria assiale è un'isometria (congruenza), si ha che due figure simmetriche
rispetto ad una retta sono congruenti.
Definizione. Una figura F si dice simmetrica rispetto ad una retta a se essa è la
corrispondente di se stessa nella simmetria assiale s a , cioè: F  sa F .
La retta a si chiama anche asse di simmetria della figura F.
Si noti che una figura, avente due assi di simmetria a e a' ortogonali, è anche simmetrica
rispetto al punto C di intersezione dei due assi di simmetria.
Figura 10
3.2 Esercizi svolti
1. Dimostrare che ogni simmetria centrale trasforma una retta r in una retta ad essa
parallela.
Sia data una retta r del piano e siano P e Q due punti distinti di questa retta; siano P' e Q' i
rispettivi corrispondenti per mezzo di una simmetria centrale; tali punti appartengono alla
retta r' che è la corrispondente della retta r.
Dalla dimostrazione dell'esercizio precedente si ha in particolare che i segmenti PQ e P'Q'
sono anche paralleli; ne consegue che le rette r ed r' sono parallele.
2. Dimostrare le equazioni 3.3 della simmetria centrale
Poiché C è il punto medio del segmento PP', si ha dalla formula del punto medio di un
segmento:
x  x'

a


2

b  y  y ' ,

2
da cui si ottengono le equazioni 3.3 della simmetria centrale sC di centro C = (a, b):
 x '  2a  x

 y '  2b  y.
3. Determinare la retta r' corrispondente della retta r di equazione y = 3x - 2 nella
simmetria avente per centro l'origine e verificare che r e r' sono parallele.
 x'   x
 y '   y.
La simmetria avente per centro l'origine ha equazioni 
L'equazione di r  è data da  y '  3(  x ')  2 , da cui si ha: y' = 3x' + 2.
Perciò le rette r e r' sono parallele, poiché hanno entrambe coefficiente angolare uguale a 3.
4. Dimostrare che il punto di incontro delle diagonali di un parallelogrammo è il suo
centro di simmetria.
Consideriamo il parallelogrammo ABCD e sia O il punto di incontro delle diagonali.
Consideriamo la simmetria di centro O.
Poiché, per una proprietà dei parallelogrammi, O è il punto medio delle diagonali AC e BD, si
ha che in questa simmetria al punto A corrisponde il punto C ed al punto B corrisponde il
punto D.
Dunque al lato AB corrisponde il lato CD ed al lato AD corrisponde il lato BC.
Di conseguenza il punto di intersezione delle diagonali di un parallelogrammo è il suo centro
di simmetria.
5. Dimostrare la formula 3.9.
Sia dato un punto P = (x, y) del piano e sia P' = (x', y') il suo corrispondente nella simmetria
assiale avente per asse l'asse delle ascisse.
Sia H la proiezione ortogonale del punto P sull'asse delle ascisse.
Il punto H = (x, 0) è il punto medio del segmento PP', perciò si ha: x' = x e y + y' = 0, da cui si
ottengono le equazioni 3.9 della simmetria assiale avente per asse l'asse delle ascisse:
 x  x'

 y   y '.
6. Dimostrare la formula 3.11.
Sia y = h l'equazione di una retta a parallela all'asse delle ascisse e consideriamo la simmetria
assiale di asse a.
Consideriamo un punto del piano P = (x, y) ed il suo corrispondente P' = (x', y').
Chiamato con H il piede della perpendicolare condotta dal punto P alla retta a, si ha: H = (x,
h).
Il punto H deve essere il punto medio del segmento PP'; dunque, dalla formula del punto
medio di un segmento si ottiene:
 x  x'
 2  x

 y  y '  h,
 2
da cui si hanno le equazioni 3.11 della simmetria assiale sa :
 x'  x

 y '  2h  y.
7. Dimostrare che la composizione di due simmetrie assiali con gli assi paralleli è una
traslazione.
Siano date due simmetrie assiali sa e sb con gli assi a e b paralleli; senza perdere in
generalità, possiamo considerare un sistema di riferimento cartesiano xOy in cui le rette a e b
sono parallele all'asse delle ordinate.
Supponiamo che le equazioni delle rette a e b siano rispettivamente:
x = h e x = k.
Usando le matrici associate alle simmetrie, si ha che:
  1 0 2k    1 0 2h   1 0 2k  2h 


 

0 
 0 1 0   0 1 0  = 0 1
 0 0 1   0 0 1  0 0
1 


 
che è proprio la matrice associata alla traslazione di vettore v = (2k – 2h)i.
8. Dimostrare che la composizione di due simmetrie assiali con assi perpendicolari è una
simmetria centrale avente per centro il punto di intersezione dei due assi.
Siano date due simmetrie assiali sa e sb con gli assi a e b perpendicolari; senza perdere in
generalità, possiamo considerare un sistema di riferimento cartesiano xOy in cui la retta a
coincida con l'asse delle ascisse e la retta b coincida con l'asse delle ordinate.
Sia P' = (x', y') il corrispondente del punto P = (x, y) tramite la simmetria assiale sa e sia P" =
(x", y") il corrispondente del punto P' = (x', y') tramite la simmetria assiale sb .
Tenendo conto delle equazioni 3.9 e 3.10, si ottiene:
 x'  x

 y'   y
e
 x"   x'

 y"  y '.
Sostituendo nella seconda equazione i valori di x' e y' della prima equazione, si ottengono le
equazioni della composizione sb
o
sa :
 x"   x

 y"   y,
che sono proprio le equazioni della simmetria centrale con il centro nell'origine degli assi
coordinati.
Si arriva allo stesso risultato usando le matrici associate.
9. Determinare il triangolo simmetrico del triangolo di vertici A = (1, 3), B = (2, 2),
C
= (0, -4) nella simmetria avente per asse la retta di equazione y = x.
 x'  y
 y '  x.
Sappiamo dalla formula 3.14 che la simmetria data ha equazioni: 
Si ha:
A  1,3 
 A'  3,1,
B  2,2 
B'  2,2,
C  0, 4 
C '   4,0,
Quindi il triangolo ABC viene trasformato nel triangolo di vertici A' = (3, 1), B' = (2, 2), C' =
(-4, 0).
3.3 Esercizi proposti
1. Dimostrare che due angoli opposti al vertice si corrispondono in una simmetria centrale.
2. ato il triangolo ABC si consideri il punto C' corrispondente di C nella simmetria avente
per centro il punto medio M del lato AB.
Dimostrare che i segmenti AC e BC' sono congruenti.
3. Nella simmetria assiale avente per asse la retta y = 0, alla retta r corrisponde la retta r' di
equazione 2x - y + 1 = 0. Determinare l'equazione di r.
R. 2x + y + 1 = 0.
4. Determinare, se esiste, la simmetria assiale rispetto ad una retta parallela all'asse y che
porta la curva di equazione x  3 y 2  2 y nella curva di equazione x  3 y 2  2 y  1.
1
R. Equazione dell'asse: x   .
2
5. Determinare sinteticamente, usando le simmetrie assiali, il centro della circonferenza che
passa per i punti A, B e C.
6. Il segmento AB, tramite una simmetria assiale di asse r, si trasforma nel segmento A'B' in
modo tale che, detto O il punto di incontro dei prolungamenti di AB e A'B', il triangolo AOA'
risulti equilatero.
Come è posto il segmento AB rispetto alla retta r?
R. La retta AB forma con la retta r un angolo di 30°.
7. I triangoli ABC e DEF di vertici A = (1, 2), B = (2, 1), C = (3, 3) e D = (3, -5), E = (2, -3),
F = (1, -4), si corrispondono in una simmetria. Quale?
R. Simmetria assiale con asse di equazione: y = -1.
8. Nella simmetria assiale avente per asse la bisettrice del primo e del secondo quadrante,
dimostrare che le circonferenze con i centri sulle bisettrici si trasformano in se stesse sebbene
abbiano due soli punti uniti.
9. Determinare il trasformato del rettangolo di vertici A = (-1, -1), B = (2, -1), C = (2, 1) e D
= (-2, 1) nella simmetria assiale avente per asse la bisettrice del primo e del terzo quadrante.
R. A' = (-1, -1), B' = (-1, 2), C' = (1, 2) e D' = (1, -2)
10. Determinare l'equazione della retta corrispondente alla retta di equazione y = 4x - 2
nella simmetria assiale avente per asse la retta di equazione y = 0.
R. y = -4x - 2.
11. Senza calcolare l'equazione di r', determinare il punto di intersezione P tra la retta r di
equazione y + 2x - 1 = 0 e la retta r' simmetrica di r rispetto all'asse y.
R. P = (0, 1).
12. Dati due triangoli ACD e BCD di vertici A = (-1, 0), B = (1, 0), con C e D appartenenti
all'asse delle y, dimostrare che l'asse y è asse di simmetria del quadrilatero ACBD.
13. Utilizzando le simmetrie, dimostrare che un qualunque punto dell'altezza relativa alla
base di un triangolo isoscele è equidistante dai lati.
14. Determinare le equazioni degli assi di simmetria del quadrato di vertici A = (2, 1), B =
(5, 1), C = (5, 4) e D = (2, 4).
R. y 
5
7
, x  , y  x  1, y   x  6.
2
2
15. Dato il triangolo ABC e indicato con C' il simmetrico di C rispetto al punto medio M del
segmento AB e con B' il simmetrico di B rispetto al punto medio L di AC, dimostrare che i tre
punti B' ,C', A sono allineati.
16. Data una simmetria assiale, esistono rette che non sono unite in questa simmetria?
E rette che non hanno punti uniti?
R. Sì; sì.
17. Dire se un triangolo equilatero ha il centro di simmetria.
R. No.
18. Dire se un triangolo equilatero ha assi di simmetria.
R. Sì.
19. Dire se un generico parallelogrammo ha assi di simmetria.
R. No.
20. Dire se un rettangolo ha assi di simmetria.
R. Sì.
21. Quanti assi di simmetria ha un quadrato?
R. Quattro.
22. Quanti assi di simmetria ha un generico trapezio isoscele?
R. Uno.
23. Quanti assi di simmetria ha la figura formata dall'unione di due rette incidenti?
R. Due.
24. Quanti assi di simmetria ha la figura formata dall'unione di due rette parallele?
R. Infiniti.
25. Dimostrare che una retta passante per il punto di incontro O delle diagonali di un
parallelogrammo interseca due lati opposti in due punti equidistanti da O.
26. Sia dato un parallelogrammo ABCD. Dimostrare che, se un parallelogrammo DEFG ha i
vertici opposti sui lati opposti di ABCD, allora i due parallelogrammi hanno lo stesso centro
di simmetria.
27. L'insieme delle simmetrie centrali, aventi un centro fissato, formano un gruppo rispetto
alla legge di composizione di funzioni?
R. Sì.
28. L'insieme di tutte le simmetrie centrali formano un gruppo rispetto alla legge di
composizione di funzioni?
R. No.