Gli insiemi - Math Unipd

Insiemi
Insiemi
Definizione:
Definizione:Un
Uninsieme
insiemeèèuna
unacollezione
collezionedidioggetti
oggettiindividuati
individuatida
dauna
una
Determinata
Determinataspecificazione.
specificazione.
Esempio1: i ragazzi del corso di agraria nati nel 1990 formano un
insieme.
Esempio 2: i ragazzi del corso di agraria che sono simpatici non
formano un insieme.
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1
Insiemi
Insiemi
Definizione:
Definizione:Gli
Glioggetti
oggettididiun
uninsieme
insiemesono
sonodetti
dettielementi
elementidi
diun
uninsieme.
insieme.
ATT!! Un insieme può contenere un numero finito o infinito di elementi
o anche nessun elemento!
Definizione:
Definizione:L'insieme
L'insiemeche
chenon
noncontiene
contieneelementi
elementièèdetto
dettoinsieme
insiemevuoto
vuoto
EEviene
vieneindicato
indicatocon
conililsimbolo:
simbolo:ØØ
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2
Insiemi
Insiemi
➢
➢
➢
Gli insiemi si indicano con le lettere maiuscole:
A, B, C, …
Gli elementi che fanno parte dell'insieme si indicano con
le lettere minuscole:
a, b, c, …
Per indicare l'appartenenza o la non appertenenza di un
elemento ad un insieme usiamo la seguente simbologia:
a ∈ A oppure a ∉ A
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3
Insiemi
Insiemi
Vi sono diversi modi per descrivere quali sono gli
elementi di unsieme:
➔
Rappresentazione tabulare
➔
Rappresentazione grafica
➔
Rappresentazione caratteristica
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4
Insiemi:
Insiemi: rappresentazione
rappresentazionetabulare
tabulare
Vengono elencati tutti gli elementi dell'insieme tra parentesi
graffe:
Esempio 1
L'insieme A costituito dalle cifre del numero 1100:
A={1,0} e non A={1,1,0,0}
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5
Insiemi:
Insiemi: rappresentazione
rappresentazionegrafica
grafica
Vengono racchiusi tutti gli elementi all'interno di una riga chiusa:
Esempio 1
L'insieme A costituito dalle cifre del numero 1100:
A
1
0
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6
Insiemi:
Insiemi: rappresentazione
rappresentazionegrafica
grafica
Enunciare una proprietà oggettiva comune a tutti gli elementi
(proprietà caratteristica):
Esempio 1
L'insieme A costituito dalle cifre del numero 1100:
A={x | x è un numero intero e 0≤x≤1}
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Insiemi:
Insiemi: insiemi
insiemiuguali
uguali
Definizione:
Definizione:
Due
A=B
Dueinsiemi
insiemisisidicono
diconouguali,
uguali,eesisiscrive
scrive
A=B
se
secontengono
contengonogli
glistessi
stessiidentici
identicielementi.
elementi.
Se
Sedue
dueinsiemi
insieminon
nonsono
sonouguali
ugualisisiscrive
scrive
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A≠
A≠BB
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Insiemi:
Insiemi: sottoinsieme
sottoinsieme
Definizione:
Definizione:
Diciamo
Diciamoche
chel'insieme
l'insiemeBBèèSOTTOINSIEME
SOTTOINSIEMEdell'insieme
dell'insiemeAA
Esempio: A={1,2,3} B={2,3} B ⊆ A e A⊈ B
Definizione:
Definizione:
Diciamo
Diciamoche
chel'insieme
l'insiemeBBèèSOTTOINSIEME
SOTTOINSIEMEPROPRIO
PROPRIOdell'insieme
dell'insiemeAA
Se
Seogni
ognielemento
elementodidiBBèècontenuto
contenutoininAAma
maesiste
esisteun
unelemento
elementodidiAAche
che
Non
Nonappartiene
appartieneaaB.
B.InInsimboli:
simboli:BB⊂⊂AA
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Insiemi:
Insiemi: sottoinsieme
sottoinsieme
A={a,b,c}
B={b,c}
D={a,b,{x,y}}
E={b,{x,y}}
B
➔b
➔E
➔
A , a A, d A, A
D, {x,y}
D
D
B
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Insiemi:
Insiemi: sottoinsieme
sottoinsieme
A={a,b,c}
B={b,c}
D={a,b,{x,y}}
E={b,{x,y}}
B⊂ A , a∈ A, d∉ A, A ⊈ B
➔b∈ D, {x,y} ∈ D
➔E ⊂ D
➔
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Insiemi:
Insiemi:
sottoinsieme
algebra
Insiemi:
Insiemi:
sottoinsieme
algebra
Unione
Unione: : AA∪∪B={x|
B={x|xx∈∈AAooxx∈∈B}
B}
Intersezione
Intersezione: :A∩B={x|x
A∩B={x|x∈∈AAeexx∈∈B}
B}
Differenza
Differenza: :A\B={x|x
A\B={x|x∈∈AAeexx∉∉B}
B}
A\B
A\Bviene
vienedetto
dettocomplememtare
complememtaredi
diBBrispetto
rispettoad
adAA
Esempi:
A={1,2,3,4} B={1,2,5,6}
A∪B={1,2,3,4,5,6}
A∩B={1,2}
A\B={3,4}
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Insiemi:
Insiemi:
sottoinsieme
algebra
Insiemi:
Insiemi:
sottoinsieme
algebra
Alcune
Alcuneproprietà:
proprietà:
Commutativa
Commutativa: : AAUUB=B
B=BUUAA A∩B=B∩A
A∩B=B∩A
Associativa
Associativa: : (AU
(AUB)
B)UUC=A
C=AUU(B
(BUUC)
C)
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
Distributiva
Distributiva: : AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC)
AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC)
A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C)
A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C)
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Insiemi:
Insiemi:
sottoinsieme
algebra
Insiemi:
Insiemi:
sottoinsieme
algebra
Prodotto
Prodottocartesiano
cartesianoxx: :
AxB={(a,b)|
AxB={(a,b)|aa∈∈AAeebb∈∈B}
B}
Esempio:
Esempio:
A={0,1,2}
A={0,1,2}B={a,b}
B={a,b}
AxB={(0,a),(0,b),(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}
AxB={(0,a),(0,b),(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}
Da
Danotare
notareche
cheiningenere
genereAxB
AxB≠≠BxA
BxA
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Insiemi
Insiemi numerici
numerici
Un insieme A si può chiamare insieme di numeri se su di esso sono
definite certe operazioni che godono di opportune proprietà:
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Insiemi
Insiemi numerici:
numerici: proprietà
proprietà
Le proprietà che devono valere sono le seguenti:
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Insiemi
Insiemi numerici:
numerici: naturali
naturali
={0,1,2,3,4,...}
Tale insieme numerico è dotato di una relazione d'ordine
indicata con il simbolo di disuguaglianza ≤ o
disuguaglianza stretta <
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Insiemi
Insiemi numerici:
numerici: naturali
naturali
SiSichiama
chiamaRELAZIONE
RELAZIONED'ORDINE
D'ORDINEsu
suun
uninsieme
insiemeSSuna
unaRELAZIONE
RELAZIONERRche
che
gode
delle
seguenti
proprietà:
gode delle seguenti proprietà:
1)1)riflessività:
riflessività:per
perogni
ogni aa∈∈SSvale
valeaaRRaa
2)2)antisimmetria:
antisimmetria:per
perogni
ognia,b
a,b∈∈SS se
seaRb
aRb eebRa,
bRa,allora
alloraa=b
a=b
3)3)transitività:
per
ogni
a,b,c
∈
S
se
vale
aRb
e
bRc,
allora
transitività: per ogni a,b,c ∈S se vale aRb e bRc, alloravale
valeanche
ancheaRc
aRc. .
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Insiemi
Insiemi numerici:
numerici: naturali
naturali
SiSichiama
chiamaRELAZIONE
RELAZIONED'ORDINE
D'ORDINEsu
suun
uninsieme
insiemeSSuna
unaRELAZIONE
RELAZIONERRche
che
gode
delle
seguenti
proprietà:
gode delle seguenti proprietà:
1)1)riflessività:
riflessività:per
perogni
ogni aa∈∈SSvale
valeaaRRaa
2)2)antisimmetria:
antisimmetria:per
perogni
ognia,b
a,b∈∈SS se
seaRb
aRb eebRa,
bRa,allora
alloraa=b
a=b
3)3)transitività:
per
ogni
a,b,c
∈
S
se
vale
aRb
e
bRc,
allora
transitività: per ogni a,b,c ∈S se vale aRb e bRc, alloravale
valeanche
ancheaRc
aRc. .
Una proprietà che indichiamo con R, tale che presi due elementi
a,b∈S si verifica sempre che o (a,b) soddisfa la proprietà
Oppure (a,b) non soddisfa la proprietà
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Insiemi
Insiemi numerici:
numerici: naturali
naturali
={0,1,2,3,4,...}
Si introducono due operazioni aritmetiche:
+: NxN ------> N
*: NxN ------> N
Ma cosa possiamo dire relativamente alla soluzione
Di equazioni di primo grado?
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Insiemi
Insiemi numerici:
numerici: interi
interi
Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
Tale insieme numerico è dotato di una relazione d'ordine
indicata con il simbolo di disuguaglianza ≤ o
disuguaglianza stretta <.
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Insiemi
Insiemi numerici:
numerici: interi
interi
Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
Tale insieme è dotato di una relazione d'ordine indicata
con il simbolo di disuguaglianza ≤ o disuguaglianza
stretta <.
Si introducono due operazioni aritmetiche:
+: NxN ------> N
*: NxN ------> N
Anche qui non tutte le equazioni di primo
Grado a coefficienti interi hanno soluzione
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Insiemi
Insiemi numerici:
numerici: razionali
razionali
Si introducono due operazioni aritmetiche:
+: NxN ------> N
Attenzione:
*: NxN ------> N
Le equazioni di primo grado
Hanno sempre soluzione
Non è così invece per le equazioni
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Di secondo grado
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Insiemi
Insiemi numerici:
numerici: razionali
razionali
La rappresentazione in forma di rapporto non è univoca. Risulta univocamente definita
solo quando il numeratore e il denominatore sono primi tra loro.
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Insiemi
Insiemi numerici:
numerici: razionali
razionali
RAPPRESENTAZIONE DECIMALE: un numero razionale è rappresentato o con
un numero finito di cifre decimali, oppure con una sequenza illimitata periodica di cifre
decimali:
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Insiemi
Insiemi numerici:
numerici: razionali
razionali
NOTAZIONE ESPONENZIALE:
123,456 = 1,23456 * 102=12,3456 * 101=...
0,12345 = 12,3456 * 10-2=1,23456 * 10-1=...
NOTAZIONE ESPONENZIALE NORMALIZZATA :
123,456= 0,123456 * 103
0,000123= 0,123 * 10 -3
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Insiemi
Insiemi numerici:
numerici: razionali
razionali
NOTAZIONE ESPONENZIALE SCIENTIFICA:
123,456 = 1,23456 * 102=1,23456E2
0,12345 = 1,23456 * 10-1=1,23456E-1
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Insiemi
Insiemi numerici:
numerici: irrazionali
irrazionali
Sono numeri che non possono essere rappresentati come rapporto tra
due numeri interi, esempi:
Dimostriamo che
non è un numero razionale.
Supponiamo, per assurdo che esista un numero razionale q tale che
q2=2 con q=±m/n (forma irriducibile).
q2=(±m/n)2=2 quindi m2=2n2 con m e n numeri interi. Quindi 2 divide m2 e
di conseguenza 2 divide m, perciò m=2r, m2=4r2=2n2, di conseguenza
2 divide n e quindi assurdo perchè avevamo supposto m e n primi tra
loro.
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Insiemi
Insiemi numerici:
numerici: irrazionali
irrazionali
RAPPRESENTAZIONE DECIMALE:
Un numero irrazionale è rappresentato da un numero non finito
e non periodico di cifre.
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Insiemi
Insiemi numerici:
numerici: reali
reali
L'insieme R dei numeri reali è l'unione dell'insieme dei numeri
razionali e dei numeri irrazionali. Quindi:
N⊂Z⊂Q⊂ R
algebrico
ordine
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30
radicali
radicali
RADICALI:
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31
radicali
radicali
Esercizi
.
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Corrispondenza
Corrispondenza R
R -- retta
retta
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33
Corrispondenza
Corrispondenza R
R -- retta
retta
Preso un generico segmento arbitrario u come unità di misura è possibile stabilire la
seguente relazione tra R e i punti della retta: ad ogni reale x facciamo corrispondere
un punto P che disti da O (rispetto u) il numero x privato del segno:
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34
Valore
Valore assoluto
assoluto
VALORE ASSOLUTO:
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35
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36
valore
valore assoluto
assoluto
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37
valore
valore assoluto
assoluto
Esercizi:
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38
potenze
potenze
POTENZA AD ESPONENTE INTERO:
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39
potenze
potenze
POTENZA AD ESPONENTE RAZIONALE:
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40
potenze
potenze
POTENZA AD ESPONENTE REALE:
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Sistema
Sistema ampliato
ampliato dei
dei reali
reali
Introduciamo R*: SISTEMA AMPLIATO DEI NUMERI REALI
R* = R U {±∞}
Il comportamento di ±∞ rispetto alle operazioni algebriche (e
anche rispetto all'ordinamento) è definito dalle seguenti regole:
1) -∞<x<+∞ per ogni x in R
2)+∞+x=+∞ e -∞+x=-∞ per ogni x in R
3)+∞+∞=+∞ e -∞-∞=-∞
4)x(±∞)=±∞ per ogni x>0 in R
5)x(±∞)=+∞ per ogni x<0 in R
6)(±∞)*(±∞)=+∞ e (±∞)*(+∞)=-∞
Non sono definiti:
+∞-∞
0(+∞) 0(-∞)
0(-∞) 0(+∞)
±∞/±∞
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43
Sistema
Sistema ampliato
ampliato dei
dei reali
reali
Introduciamo R*: SISTEMA AMPLIATO DEI NUMERI REALI
R* = R U {±∞}
Il comportamento di ±∞ rispetto alle operazioni algebriche (e
anche rispetto all'ordinamento) è definito dalle seguenti regole:
1) -∞<x<+∞ per ogni x in R
2)+∞+x=+∞ e -∞+x=-∞ per ogni x in R
3)+∞+∞=+∞ e -∞-∞=-∞
Forme indeterminate!!
4)x(±∞)=±∞ per ogni x>0 in R
5)x(±∞)=+∞ per ogni x<0 in R
6)(±∞)*(±∞)=+∞ e (±∞)*(+∞)=-∞
Non sono definiti:
+∞-∞
0(+∞) 0(-∞)
0(-∞) 0(+∞)
±∞/±∞
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44
Intervalli
Intervalli di
di R
R
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45
Intervalli
Intervalli di
di R
R
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46
Intervalli
Intervalli di
di R
R
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47
Intervalli
Intervalli di
di R
R
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48
esercizi
Massimo
Massimo di
di un
un insieme
insieme di
di reali
reali
M maggiorante di A
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49
Minimo
Minimo di
di un
un insieme
insieme di
di reali
reali
m minorante di A
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50
Massimo
Massimo ee Minimo
Minimo
Insiemi - Corso di matematica - Alessia Ceccato
51
Insiemi
Insiemi limitati
limitati
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52
Estremo
Estremo superiore
superiore
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53
Estremo
Estremo inferiore
inferiore
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54
Estremanti
Estremanti
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55
Estremanti
Estremanti
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Esercizi
56
Massimo
Massimo ee Minimo
Minimo
Esempio2 : consideriamo il seguente insieme B
Max=?
Min=?
Maggiorante=?
Minorante=?
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57
esercizi
Massimo
Massimo ee Minimo
Minimo
Esempio2 : consideriamo il seguente insieme B
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58
esercizi
Massimo
Massimo ee Minimo
Minimo
Esempio3 : consideriamo il precedente insieme B, e sia
C=[0,1)\B
Max=?
Min=?
Maggiorante=?
Minorante=?
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59
esercizi
Massimo
Massimo ee Minimo
Minimo
Esempio3 : consideriamo il precedente insieme B, e sia
C=[0,1)\B
Sup C= 1
Inf C=0=min C
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60
esercizi