Sviluppi e derivate delle funzioni elementari
In queste pagine dimostriamo gli sviluppi del prim’ordine e le formule di derivazioni delle
principali funzioni elementari. Utilizzeremo le uguaglianze
lim f (−x) = lim f (y) e
x→±∞
y→∓∞
lim f (1/x) = lim± f (y)
x→±∞
y→0
di dimostrazione immediata in ipotesi naturali. Precisamente, per ciascuna di esse, esiste
(finito o meno) uno dei due membri se e solo se esiste l’altro e in caso di esistenza vale
l’uguaglianza. Queste formule sono casi particolarmente semplici di un risultato generale
di cambiamento di variabile nei limiti che non intendiamo introdurre.
1.
Le funzioni circolari
Iniziamo con un risultato facile, ma ben più preciso di quello dato tradizionalmente.
Lemma 1.1.
Valgono gli sviluppi
sin x = x + O(x3 ) e
cos x = 1 −
1 2
x + O(x4 ) per x → 0.
2
(1.1)
Per x ∈ (0, π/3) abbiamo
Dimostrazione.
sin x ≤ x ≤ tan x,
sin
x
x
≤
2
2
e
cos x ≥
1
.
2
Deduciamo
x 2
sin x
sin x
x
2 x
= x3
0 ≤ x − sin x ≤ tan x − sin x =
(1 − cos x) =
· 2 sin
≤
·2
cos x
cos x
2
1/2
2
e dunque la prima delle (1.1) limitatamente al limite destro. Siccome sin è una funzione
dispari, la stessa conclusione vale per il limite sinistro. La seconda segue immediatamente.
Abbiamo infatti
1 − cos x = 2 sin2
x
2
x
1
1
=2
+ O(x3 ) = x2 + O(x4 ) + O(x6 ) = x2 + O(x4 )
2
2
2
2
e basta riordinare.
Proposizione 1.2.
Valgono gli sviluppi del prim’ordine
sin x = x + o(x) e
cos x = 1 + o(x) per x → 0 .
(1.2)
Inoltre le funzioni sin e cos sono differenziabili in R e valgono le formule
sin0 (x0 ) = cos x0
e
cos0 (x0 ) = − sin x0
per ogni x0 ∈ R.
(1.3)
Sviluppi e derivate delle funzioni elementari
2
Dimostrazione. Gli sviluppi (1.2) seguono ovviamente dalle (1.1). Per dimostrare
le (1.3), calcoliamo gli sviluppi delle due funzioni circolari per x tendente al punto x0
generico. Abbiamo per h → 0
sin(x0 + h) = sin x0 cos h + cos x0 sin h
= sin x0 1 + o(h) + cos x0 h + o(h) = sin x0 + h cos x0 + o(h)
da cui la differenziabilità di sin in x0 e la prima delle (1.3). Analogamente
cos(x0 + h) = cos x0 cos h − sin x0 sin h
= cos x0 1 + o(h) − sin x0 h + o(h) = cos x0 − h sin x0 + o(h)
da cui la differenziabilità di cos in x0 e la seconda formula.
Osservazione 1.3.
Si noti che la prima delle (1.2) fornisce
sin x
x + o(x)
=
= 1 + o(1)
x
x
per x → 0
da cui
sin x
= 1.
x→0 x
lim
Questo è anche il significato della prima delle (1.3) con x0 = 0 . Notiamo che, nelle impostazioni tradizionali, questa è la formula che si dimostra per prima (e si usa parlare di
limite notevole). Noi, con una dimostrazione di due sole righe, abbiamo ottenuto la prima
delle (1.1), ben più precisa e significativa. Con una riga in più abbiamo poi dedotto la
seconda delle (1.1), pure particolarmente significativa. Queste due formule sono sostanzialmente sviluppi di ordine superiore (anziché del prim’ordine): la forma dei rispettivi resti,
infatti, suggerisce di interpretare le parti principali come polinomi di gradi ≤ 2 e ≤ 3
rispettivamente e di dichiarare le due formule sviluppi del secondo e del terzo ordine. Ciò
in quanto una formula del tipo (per h → 0 )
f (x0 + h) = P (h) + o(hn ),
in particolare
f (x0 + h) = P (h) + O(hn+1 ),
ove P è un polinomio di grado ≤ n , viene chiamata sviluppo di ordine n vicino a x0 .
2.
Il logaritmo
Questo paragrafo riguarda lo sviluppo e la derivata del logaritmo.
Lemma 2.1.
Valgono le formule
lim
x→+∞
1+
1 x
=e
x
e
lim
x→−∞
1+
1 x
= e.
x
(2.1)
Dimostrazione. Per dimostrare la prima facciamo un calcolo preliminare. Siano x reale
e n intero positivo tali che n ≤ x ≤ n + 1 . Allora 1/(n + 1) ≤ 1/x ≤ 1/n , da cui
1+
1 n 1 n 1 x 1 x 1 n+1
≤ 1+
≤ 1+
≤ 1+
≤ 1+
.
n+1
x
x
n
n
Sviluppi e derivate delle funzioni elementari
3
Vediamo ora che il primo e l’ultimo membro convergono a e per n → ∞. Infatti
1 n 1 −1
1 n+1
lim 1 +
= 1+
lim 1 +
=e·1=e
n→∞
n→∞
n+1
n+1
n+1
1 n 1
1 n+1
= lim 1 +
1+
= e · 1 = e.
lim 1 +
n→∞
n→∞
n
n
n
A questo punto siamo pronti a dimostrare la prima delle (2.1), cioè che per ogni ε > 0
esiste x0 > 0 tale che
1 x
≤ e + ε per ogni x ≥ x0 .
e−ε≤ 1+
x
Fissiamo dunque ε > 0 . Per quanto detto sopra esistono numeri naturali m e m0 tali che
1 n+1
1 n
e−ε≤ 1+
≤e+ε e e−ε≤ 1+
≤e+ε
n
n+1
rispettivamente per ogni n ≥ m e per ogni n ≥ m0 . Prendiamo allora x0 = max{m, m0 }
e supponiamo x ≥ x0 . Detta n la parte intera di x , abbiamo n ≥ m, n ≥ m0 e
n ≤ x ≤ n + 1 . Concludiamo che
1 n 1 x 1 n+1
e−ε≤ 1+
≤ 1+
≤ 1+
≤e+ε
n+1
x
n
e la prima delle (2.1) è dimostrata. Deduciamo facilmente la seconda:
y − 1 −y
y y
1 x
1 −y
lim 1 +
= lim 1 −
= lim
= lim
x→−∞
y→+∞
y→+∞
y→+∞ y − 1
x
y
y
y
y−1
1
1
1
= lim 1 +
= lim 1 +
1+
= e · 1 = e.
y→+∞
y→+∞
y−1
y−1
y−1
Proposizione 2.2.
Valgono lo sviluppo e la formula
ln(1 + x) = x + o(x)
Dimostrazione.
per x → 0
e
ln0 (x0 ) =
1
x0
per ogni x0 > 0 .
La combinazione delle (2.1) implica
(1 + x)1/x = e + o(1)
per x → 0± dunque per x → 0.
Prendendo il logaritmo deduciamo
1
ln(1 + x) = ln e + o(1) per x → 0.
x
D’altra parte ln è continua in e e vale 1 in tal punto. Dunque
ln e + o(1) = 1 + o(1) per x → 0 .
Combinando otteniamo la prima delle (2.2). Per x0 > 0 generico abbiamo
h
+ o(h)
ln(x0 + h) = ln x0 + ln 1 + (h/x0 ) = ln x0 +
x0
cioè seconda delle (2.2).
per h → 0
(2.2)
Sviluppi e derivate delle funzioni elementari
3.
4
L’esponenziale e le funzioni collegate
Iniziamo dalla funzione esponenziale exp : x 7→ ex , x ∈ R.
Proposizione 3.1.
Valgono lo sviluppo e la formula
ex = 1 + x + o(x) per x → 0
e
exp0 (x0 ) = ex0
per ogni x0 ∈ R .
(3.1)
Dimostrazione. Possiamo dare varie dimostrazioni. Anche se è possibile dimostrare
direttamente la seconda delle (3.1), vediamo come questa discenda immediatamente dalla
prima. Se, infatti, quest’ultima è già nota, nel caso di un punto x0 generico abbiamo
ex0 +h = ex0 eh = ex0 1 + h + o(h) = ex0 + ex0 h + o(h) per h → 0
cioè la seconda delle (3.1).
Alternativamente, visto già il logaritmo, basta dimostrare la differenziabilità dell’esponenziale. La (3.1), infatti, segue poi dal teorema sulle funzioni composte: dall’identità
exp(ln y) = y per ogni y > 0 deduciamo exp0 (ln y) ln0 (y) = 1 per ogni y > 0 , da cui
exp0 (x0 ) =
1
1
=
= exp x0
1/ exp x0
ln (exp x0 )
0
per ogni x0 ∈ R.
Per quanto riguarda la differenziabilità della funzione esponenziale, la via più breve consiste
nell’applicazione diretta di qualche risultato generale sulle funzioni inverse e ne abbiamo
almeno due. Il primo, classico, è il seguente:
Siano I un intervallo, f : I → R una funzione differenziabile
con derivata mai nulla e I 0 = f (I) . Allora I 0 è un intervallo,
f è iniettiva e f −1 : I 0 → I è differenziabile.
(3.2)
Il secondo, molto più generale e in ipotesi minime, è il seguente:
Siano I, I 0 ⊆ RN intorni di x0 , y0 ∈ RN rispettivamente e
f : I → I 0 biiettiva tale che y0 = f (x0 ). Si supponga che f
sia differenziabile in x0 , dfx0 : RN → RN sia un isomorfismo e
f −1 sia continua in y0 . Allora f −1 è differenziabile in y0 .
(3.3)
Tali risultati sono entrambi applicabili.
Diamo infine una dimostrazione diretta della prima delle (3.1) che, come abbiamo
osservato, implica la seconda. Per lo sviluppo (2.2) del logaritmo abbiamo
x
x
= lim
=1
x→0 x + o(x)
x→0 ln(1 + x)
lim
e ora deduciamo che exp0 (0) = 1 . Fissato ε > 0 ad arbitrio, dobbiamo trovare δ > 0
tale che
eh − 1
−
1
≤ ε per 0 < |h| ≤ δ .
h
Sviluppi e derivate delle funzioni elementari
5
Fissiamo dunque ε > 0 . Per quanto appena dimostrato troviamo σ > 0 tale che
x
− 1 ≤ ε per 0 < |x| ≤ σ .
ln(1 + x)
Siccome la funzione exp è continua in 0 , esiste δ > 0 tale che |eh − 1| ≤ σ non appena
|h| ≤ δ . Sia ora 0 < |h| ≤ δ e si definisca x = eh − 1 . Allora 0 < |x| ≤ σ , da cui
eh − 1
x
− 1 = − 1 ≤ ε
h
ln(1 + x)
e la prima delle (3.1) è dimostrata.
Osservazione 3.2. Nella dimostrazione precedente abbiamo sostanzialmente dato una
dimostrazione diretta della formula
eh − 1
x
= lim
x→0 ln(1 + x)
h→0
h
lim
che corrisponde al cambiamento di variabile x = eh − 1 . La stessa idea è il nocciolo delle
dimostrazioni usuali dell’enunciato (3.2): anziché la differenziabilità, si dimostra l’esistenza
della derivata finita calcolando il limite del rapporto incrementale. In tal modo si dimostra
direttamente anche la formula della derivata di f −1
(f −1 )0 (y) =
1
f 0 (f −1 (y))
per ogni y ∈ I 0
vale a dire, in due punti x0 e y0 legati dalla relazione y0 = f (x0 ) le derivate di f e
rispettivamente di f −1 sono reciproche fra loro. Ciò ha un chiaro significato geometrico:
la simmetria rispetto alla prima bisettrice, che scambia i grafici delle due funzioni, scambia
anche le tangenti e dunque le rispettive pendenze sono reciproche fra loro.
Corollario 3.3.
Valgono gli sviluppi del prim’ordine
sinh x = x + o(x) e
cosh x = 1 + o(x) per x → 0 .
(3.4)
Inoltre le funzioni sinh e cosh sono differenziabili in R e valgono le formule
sinh0 (x0 ) = cosh x0
e
cosh0 (x0 ) = sinh x0
per ogni x0 ∈ R .
(3.5)
Dimostrazione. Basta scrivere le due funzioni iperboliche attraverso l’esponenziale e
applicare quanto dimostrato per quest’ultima. A titolo esemplificativo abbiamo
cosh x =
1 + x + o(x) + 1 − x + o(x)
ex + e−x
=
= 1 + o(x)
2
2
Corollario 3.4.
per x → 0 .
Per ogni α reale vale lo sviluppo
(1 + x)α = 1 + αx + o(x) per x → 0 .
(3.6)
Sviluppi e derivate delle funzioni elementari
6
Inoltre la funzione fα : x 7→ xα , x > 0 , è differenziabile e vale la formula
fα0 (x0 ) = αxα−1
0
per ogni x0 > 0 .
(3.7)
Dimostrazione. Lo sviluppo (3.6) coincide con la (3.7) con x0 = 1 . Ora la (3.7) nel
caso generale si ottiene osservando che
xα = eα ln x
per ogni x > 0
e applicando il Teorema di derivazione delle funzioni composte:
f 0 (x0 ) = eα ln x0
α
α
= xα
= αx0α−1 .
0
x0
x0
Osservazione 3.5. In vari casi particolari la funzione fα ha prolungamenti “naturali”,
cioè definiti dalla stessa formula, a domini più ampi, prolungamenti che continuiamo a
denotare con fα con abuso di notazioni. In tali casi la formula di derivazione vale in
ipotesi più generali su x0 . Cosı̀, se α è un intero, nella definizione del valore fα (x)
possiamo supporre x 6= 0 anziché x > 0 e la (3.7) vale per ogni x0 6= 0 . Infatti
α
α−1
α
= xα
(x0 + h)α = xα
h + o(h)
0 1 + (h/x0 ) + o(h) = x0 + αx0
0 1 + (h/x0 )
per h → 0
e ciò per ogni x0 6= 0 . Se poi α è intero > 1 , il tutto si estende al caso x0 = 0 , dato che
fα0 (0) è nulla. Analogamente, se α è reale > 1 non intero, possiamo definire il valore fα (x)
per x ≥ 0 e la (3.7) vale anche in 0 per lo stesso motivo. Al contrario, se 0 < α < 1 ,
possiamo ancora supporre x ≥ 0 nella definizione del valore fα (x) , ma la formula di
derivazione vale solo per x0 > 0 . Si noti però che essa perde sı̀ di significato se x0 = 0 in
quanto α − 1 < 0 , ma che, nello stesso tempo, fα0 (0) = +∞ .
