C7. Circonferenza e cerchio

C7. Circonferenza e cerchio
C7.1 Introduzione ai luoghi geometrici
Un luogo geometrico è l’insieme dei punti del piano che godono di una proprietà detta proprietà caratteristica del
luogo geometrico.
Esempio
L’asse di un segmento è il luogo dei punti del piano equidistanti dagli estremi del segmento.
Si era definito precedentemente l’asse di un segmento come la retta passante per il punto medio del segmento e
perpendicolare al segmento stesso. Ora si è data una differente definizione di asse di un segmento. Per essere sicuri
che le due definizioni coincidano bisogna dimostrare i teoremi seguenti.
Teorema C7.1a
La retta passante per il punto medio di un segmento AB e perpendicolare ad esso è formata da punti equidistanti dagli
estremi del segmento AB.
Teorema C7.1b
I punti equidistanti da A e B sono tutti e soli quelli che si trovano sulla retta passante per il punto medio del segmento
e perpendicolare al segmento stesso.
Le dimostrazioni dei due teoremi sono abbastanza semplici e sono lasciate per esercizio.
D
B
A
M
Fig. C7.1
Asse di un segmento.
Esempio
La bisettrice di un angolo è il luogo dei punti del piano equidistanti dai lati dell’angolo.
Anche in questo caso si era definita precedentemente la bisettrice come la retta che divide un angolo in due angoli
congruenti. Per essere sicuri che le due definizioni coincidano è necessario dimostrare i teoremi seguenti.
Teorema C7.1c
La retta che divide in due parti congruenti un angolo è formata dai punti equidistanti dai lati dell’angolo.
Teorema C7.1d
I punti equidistanti dai lati dell’angolo formano una retta che divide l’angolo in due parti congruenti.
Anche in questo caso le due dimostrazioni vengono lasciate per esercizio.
Fig. C7.2
Bisettrice di un angolo.
I luoghi geometrici verranno approfonditi in geometria analitica, quando si introdurranno le coordinate cartesiane nel
piano.
C7.2 Circonferenza e cerchio
Dato un punto O e un segmento r si dice circonferenza di centro O e raggio r l’insieme dei punti del piano tali che
OP=r.
Dato un punto O e un segmento r si dice cerchio di centro O e raggio r l’insieme dei punti del piano tali che OP≤r.
Teoria
C7-1
Circonferenza.
Cerchio.
Fig. C7.3
Circonferenza e cerchio.
Un punto è detto interno alla circonferenza se la distanza tra il punto e il centro è minore del raggio. Un punto è detto
esterno alla circonferenza se la distanza tra il punto e il centro è maggiore del raggio. In base alle definizioni di punti
interni ed esterni il cerchio è l’insieme formato sia dai punti della circonferenza che da quelli interni ad essa.
Anche se risulta ovvio non è dimostrabile dalle definizioni precedenti e si deve prendere la seguente affermazione
come assioma.
Assioma: ogni segmento avente come estremi un punto interno e uno esterno alla circonferenza interseca la
circonferenza in un solo punto.
Costruzione
Dati tre punti A, B e C non allineati trovare la circonferenza passante per i tre punti.
Procedimento:
•
Determinare l’asse del segmento AB.
•
Determinare l’asse del segmento BC.
•
Determinare l’intersezione degli assi dei segmenti AB e BC. Il punto trovato p il centro della circonferenza.
•
Il raggio è il segmento avente come estremi il centro e uno qualunque dei punti A, B o C.
Teorema
Esiste una sola circonferenza passante per tre punti non allineati.
DIMOSTRAZIONE
La dimostrazione non è altro che la costruzione precedente, in quanto tale costruzione permette, in base a tre punti
non allineati, di determinare l’unica circonferenza passante per essi.
Costruzione dell’asse del segmento AB
Costruzione dell’asse del segmento BC
L’intersezione degli assi dei due segmenti è il centro della circonferenza.
Fig. C7.4
Costruzione della circonferenza passante per 3 punti.
Teoria
C7-2
Osservazione
Si applichi il procedimento per trovare la circonferenza passante per tre punti se gli stessi sono allineati. In questo
caso si trova che gli assi dei segmenti AB e BC risultano essere paralleli e pertanto non si intersecano in alcun punto.
Per tale ragione non esiste una circonferenza passante per 3 punti allineati.
C7.3 Diametri e corde
La circonferenza ha un centro di simmetria, che è il centro della circonferenza, e nella figura C7.5 è indicato con O. Il
segmento che ha come estremi due punti della circonferenza è detto corda. Nella figura C7.5 il segmento CD è una
corda. Se una corda passa per il centro allora è detta diametro. Nella figura C7.5 il segmento AB è un diametro.
D
C
A
O
B
Fig. C7.5
Diametro e corda.
In base
•
•
•
•
alle definizioni precedenti si può affermare che:
Il diametro è il doppio del raggio.
Tutti i diametri di una circonferenza sono congruenti tra loro.
Ogni diametro è asse di simmetria della circonferenza.
Tra tutte le corde di una circonferenza il diametro è quella maggiore.
Teorema C7.3a
Data una qualsiasi corda AB di una circonferenza di centro C il suo asse di simmetria passa per il centro della
circonferenza.
IPOTESI: la retta r è asse di simmetria della corda AB.
TESI: C∈r.
B
A
M
C
r
Fig. C7.6
Il centro della circonferenza appartiene all’asse
di simmetria di una qualsiasi corda.
DIMOSTRAZIONE
L’asse del segmento AB è formato dai punti equidistanti da A e B per quanto detto nei teoremi C7.1a e C7.1b. Il centro
è equidistante da A e da B per definizione di circonferenza, quindi esso appartiene all’asse del segmento.
Teorema C7.3b
Il diametro perpendicolare a una corda la divide a metà.
IPOTESI: AB è perpendicolare a CD.
TESI: CH≅HD.
DIMOSTRAZIONE: Il triangolo COH e il triangolo OHD sono rettangoli, hanno il cateto OH in comune e OC≅OD perché
sono entrambi raggi. Per i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli avendo congruenti un cateto e l’ipotenusa i
triangoli COH e OHD sono congruenti. Essendo congruenti lo sono tutti i loro angoli e lati, e in particolare lo sono
quindi anche CH e HD. ■
A
D
C
H
O
B
Fig. C7.7
Teorema del diametro perpendicolare a una corda.
Teoria
C7-3
Teorema C7.3c
La perpendicolare a una corda passante per il centro di una circonferenza è l’asse della corda.
IPOTESI: AB è perpendicolare a CD, O∈AB.
TESI: AB è l’asse di CD.
DIMOSTRAZIONE: Sia H il punto di intersezione tra AB e CD. Dal fatto che OC e OD sono raggi della stessa
circonferenza segue che OC≅OD, dunque il triangolo OCD è isoscele sulla base CD e OH è l’altezza del triangolo
isoscele OCD poiché per ipotesi AB⊥CD. In un triangolo isoscele l’altezza relativa alla base è anche mediana, da cui
segue che CH≅HD. La retta passante per A e B risulta dunque essere perpendicolare a CD e passante per il punto
medio di CD, dunque essa è l’asse di CD.
A
D
C
H
O
B
Fig. C7.8
Teorema del diametro perpendicolare a una corda.
Teorema C7.3d
Se due corde sono congruenti allora esse hanno la stessa distanza dal centro.
IPOTESI: CD≅EF, CD e EF corde di una circonferenza avente centro O, OH⊥CD, OG⊥EF.
TESI: OH≅OG.
A
D
C
H
E
G
O
B
F
Fig. C7.9
Due corde congruenti hanno la stessa distanza dal centro.
DIMOSTRAZIONE
Per i teoremi precedenti G e H sono i punti medi di EF e CD rispettivamente.
Dal fatto che CD≅EF per ipotesi segue che CH ≅ 1 C D ≅ 1 AB ≅ EG .
2
2
Si considerino ora i triangoli COH e EGO. Essi hanno congruenti:
•
OC≅OE perché sono entrambi raggi della stessa circonferenza.
•
CH≅EG come appena dimostrato.
ˆ
ˆ ≅ OGE
•
O HC
perché sono entrambi angoli retti per i teoremi precedenti.
I due triangoli sono dunque congruenti per criteri di congruenza dei triangoli rettangoli e dunque hanno congruenti
tutti i lati e tutti gli angoli. In particolare risulta OH≅OG.
Teorema C7.3e
Se due corde hanno la stessa distanza dal centro allora sono congruenti.
IPOTESI: OH≅OG, CD e EF corde di una circonferenza avente centro O, OH⊥CD, OG⊥EF.
TESI: CD≅EF.
A
D
C
H
E
G
O
B
F
Fig. C7.10
Due corde aventi la stessa distanza dal centro sono congruenti.
DIMOSTRAZIONE
Si considerino ora i triangoli COH e EGO. Essi hanno congruenti:
•
OC≅OE perché sono entrambi raggi della stessa circonferenza.
•
OH≅OG per ipotesi.
Teoria
C7-4
ˆ
ˆ ≅ OGE
•
O HC
perché sono entrambi angoli retti per i teoremi precedenti.
I due triangoli sono dunque congruenti per i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli e dunque hanno congruenti
tutti i lati e tutti gli angoli. In particolare risulta CH≅EG. Da ciò segue che CD≅2CH≅2EG≅EF.
Il seguente teorema ha una dimostrazione un po’ più elaborata che si omette.
Teorema C7.3f
Se una corda ha distanza maggiore dal centro rispetto a un’altra allora la sua lunghezza è minore.
IPOTESI: OH<OG.
TESI: CD>EF.
A
D
C
H
E
O
G
B
F
Fig. C7.11
Due corde aventi distanze differenti dal centro.
C7.4 Angoli al centro
ˆ è l’angolo al centro.
Ognuno degli angoli che ha come lati due raggi è detto angolo al centro. In figura C7.12 COD
Le parti della circonferenza delimitate dai due punti C, D appartenenti alla circonferenza è detta arco. In figura C7.12
uno degli archi di circonferenza è segnato non tratteggiato, mentre l’altro è segnato tratteggiato.
Se come corda si prende un diametro allora l’arco è detto semicirconferenza.
La parte di cerchio delimitata da un angolo al centro prende il nome di settore circolare.
D
C
O
Fig. C7.12
Angolo al centro.
Osservazione
Ad ogni angolo al centro corrisponde una corda e un arco.
Ad ogni corda corrisponde un angolo al centro e un arco.
Ad ogni arco corrisponde un angolo al centro e una corda.
Osservazione
Riferendosi alla stessa circonferenza valgono le seguenti affermazioni:
•
Ad angoli al centro congruenti corrispondono archi congruenti e corde congruenti.
•
A corde congruenti corrispondono angoli al centro congruenti e archi congruenti.
•
Ad archi congruenti corrispondono angoli al centro congruenti e corde congruenti.
D
C
O
Fig. C7.13
Corde, archi e angoli al centro congruenti.
Teoria
C7-5
C7.5 Posizioni reciproche tra retta e circonferenza
Se una retta ha distanza dal centro della circonferenza minore del raggio si dice che la retta è secante.
In questo caso la retta interseca la circonferenza in due punti.
Se una retta ha distanza dal centro della circonferenza uguale al raggio si dice che la retta è tangente.
In questo caso la retta interseca la circonferenza in un punto detto punto di tangenza.
Se una retta ha distanza dal centro della circonferenza maggiore del raggio si dice che la retta è esterna.
In questo caso la retta non interseca la circonferenza.
r
r
retta secante
r
retta esterna
retta tangente
Fig. C7.14
Rette secanti, tangenti, esterne.
Osservazione
Risulta ovvio dalle definizioni precedenti che:
•
Il raggio passante per il punto di tangenza è perpendicolare alla retta tangente.
•
Dato un raggio si tracci la perpendicolare ad esso passante per il punto del raggio sulla circonferenza. La retta
tracciata è una retta tangente.
r
B
O
s
A
C
Fig. C7.15
Rette tangenti a una circonferenza condotte da
un punto esterno ad essa.
Per un punto esterno alla circonferenza passano sempre due rette tangenti, come risulta chiaro dalla figura C7.15. In
questo caso i segmenti indicati con AB e AC in figura C7.15 sono detti segmenti di tangente.
Per un punto sulla circonferenza passa una e una sola retta tangente, per l’osservazione precedente.
Per un punto interno alla circonferenza non passano rette tangenti.
Teorema C7.5a
Condotte le rette tangenti a una circonferenza per un punto esterno ad essa i segmenti di tangenza sono congruenti.
IPOTESI: r, s sono le rette tangenti a una circonferenza C passanti per un punto A esterno ad essa. r∩ C=B, s∩ C=C.
TESI: AB≅AC.
DIMOSTRAZIONE
Si considerino i triangoli ABO e ACO. Essi hanno congruenti:
•
OB≅OC perché raggi della stessa circonferenza
•
OA≅OA perché in comune
ˆ A perché angoli retti per le osservazioni precedenti.
ˆ ≅ OC
•
O BA
Per i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli essi sono congruenti, dunque hanno congruenti tutti gli angoli e tutti i
lati. In particolare AB≅AC.
La dimostrazione precedente permette di dimostrare anche il seguente teorema.
Teorema C7.5b
Condotte le rette tangenti a una circonferenza per un punto esterno ad essa la retta passante per il punto esterno ad
essa e per il centro della circonferenza è la bisettrice dell’angolo formato dalle rette tangenti.
Teoria
C7-6
C7.6 Angolo alla circonferenza
Si è già definito l’angolo al centro. Si dice angolo alla circonferenza l’angolo convesso che ha il vertice sulla
circonferenza e i due lati secanti la circonferenza oppure uno secante e l’altro tangente. In figura C7.16 l’angolo alla
ˆ , ed ha come lati due rette secanti la circonferenza, mentre l’angolo al centro è AOB
ˆ . In figura
circonferenza è ACB
ˆ , ma ha come lati una retta secante ed una tangente, mentre l’angolo
C7.17 l’angolo alla circonferenza è sempre ACB
ˆ .
al centro è AOC
B
C
C
O
B
O
A
A
Fig. C7.16
Angolo al centro e angolo alla circonferenza.
Due rette secanti passanti per C.
Fig. C7.17
Angolo al centro e angolo alla circonferenza.
Una retta secante e una tangente passanti per C.
Teorema C7.6a
In una circonferenza l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza.
ˆ angolo al centro e BAC
ˆ angolo alla circonferenza.
IPOTESI: BOC
ˆ ≅2 BAC
ˆ .
TESI: BOC
DIMOSTRAZIONE
La dimostrazione va fatta per casi, a seconda di dove si trovino i punti A, B e C sulla circonferenza.
ˆ ≅ BOD
ˆ .
I caso: DOC
A
O
B
D
C
Fig. C7.18
Teorema degli angoli al centro e degli
angoli alla circonferenza. Caso I.
Il triangolo AOC è isoscele, in quanto i lati OA e OC sono entrambi raggi e quindi sono congruenti.
ˆ + AOC
ˆ ≅ π . Ma anche
ˆ + ACO
La somma degli angoli interni di un triangolo è uguale a un angolo piatto, quindi OAC
ˆ ≅ AOC
ˆ + DOC
ˆ ≅ π . Da ciò segue che OAC
ˆ ≅ DOC
ˆ . Ma OAC
ˆ sono congruenti perché AOC è isoscele.
ˆ + ACO
ˆ e ACO
AOD
ˆ . Ma OAC
ˆ è la metà di BOC
ˆ . Quindi BOC
ˆ ≅ 2 ⋅ BAC
ˆ ≅ DOC
ˆ è la metà di BAC
ˆ e DOC
ˆ .
Vale dunque 2 ⋅ OAC
ˆ .
II caso: O è interno all’angolo BAC
A
O
D
B
C
Fig. C7.19
Teorema degli angoli al centro e degli
angoli alla circonferenza. Caso II.
ˆ e che 2 ⋅ OAB
ˆ .
ˆ ≅ DOC
ˆ ≅ DOB
Analogamente al caso precedente si dimostra che 2 ⋅ OAC
(
)
ˆ ≅ DOB
ˆ + DOC
ˆ ≅ 2 ⋅ OAC
ˆ + 2 ⋅ OAB
ˆ ≅ 2 OAC
ˆ + OAB
ˆ ≅ 2 ⋅ BAC
ˆ .
Da ciò segue che BOC
Teoria
C7-7
III caso: O∈AC.
A
O
C
B
Fig. C7.20
Teorema degli angoli al centro e degli
angoli alla circonferenza. Caso II.
Il triangolo AOB è isoscele sulla base AB in quanto AO≅BO in quanto raggi. Come nel primo caso si ha:
(
)
ˆ ≅ AOC
ˆ − AOB
ˆ ≅ AOC
ˆ − π − 2 ⋅ OAB
ˆ ≅ π − π + 2 ⋅ OAB
ˆ ≅ 2 ⋅ OAB
ˆ .
BOC
ˆ .
IV caso: O è esterno all’angolo BAC
A
O
D
C
B
Fig. C7.21
Teorema degli angoli al centro e degli
angoli alla circonferenza. Caso IV.
ˆ ≅ 2 ⋅ CAD
ˆ ≅ 2 ⋅ BAD
ˆ e BOD
ˆ .
Per quanto detto precedentemente valgono COD
(
)
ˆ ≅ BOD
ˆ − COD
ˆ ≅ 2 ⋅ BAD
ˆ − 2 ⋅ CAD
ˆ ≅ 2 BAD
ˆ − CAD
ˆ
ˆ .
≅ 2 ⋅ BAC
Da ciò segue che BOC
Il teorema appena dimostrato è importante perché permette di dimostrare agevolmente i seguenti corollari.
Corollario C7.6b
Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti tra loro.
Fig. C7.22
Angoli alla circonferenza che
insistono sullo stesso arco.
DIMOSTRAZIONE
Tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono tutti congruenti a metà dell’angolo al centro,
quindi sono tutti congruenti tra loro. (Figura C7.22).
Corollario C7.6c
I triangoli inscritti in una circonferenza aventi come lato il diametro sono tutti rettangoli.
Fig. C7.23
Angoli che insistono su un diametro.
DIMOSTRAZIONE
Tutti gli angoli inscritti in una semicirconferenza sono metà dell’angolo al centro che è un angolo piatto, quindi sono
tutti angoli retti. (Figura C7.23). Gli angoli che insistono su un diametro sono quindi tutti retti.
Teoria
C7-8
Costruzione
A partire da una circonferenza di centro O e da un punto A esterno ad essa tracciare le rette tangenti alla circonferenza
passanti per A.
Procedimento:
•
Si determina il punto medio M del segmento OA.
Si traccia la circonferenza di centro il punto medio M e raggio OM.
•
•
La circonferenza di centro M e raggio OM interseca la circonferenza di centro O in due punti S e T. Le rette
tangenti sono quelle passanti per A e S e per A e T.
Fig. C7.24
Costruzione delle rette tangenti a una
circonferenza per un punto esterno a d essa.
Esercizio svolto
Determinare gli angoli del quadrilatero in figura C7.25.
Fig. C7.25
Angoli di un quadrilatero.
ˆ ≅ 58° e COD
ˆ ≅ 82° e l’angolo OBA
ˆ ≅ 40° .
I dati del problema sono gli angoli al centro BOC
Teoria
C7-9
RISOLUZIONE
Il triangolo ABO è isoscele sulla base AB, e da ciò segue che gli angoli alla base sono congruenti, quindi anche
ˆ ≅ 40° . Dal fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto segue che
OAB
ˆ ≅ 180° − 2 ⋅ 40° ≅ 100° . E’ ora possibile determinare anche l’angolo al centro AOD
ˆ per differenza considerando
BOA
ˆ ≅ 360° − 100° − 58° − 82° ≅ 120° .
l’angolo giro di centro O. AOD
ˆ ≅ 58° si possono
Si consideri ora il triangolo isoscele BOC sulla base BC. Sapendo che l’angolo al centro BOC
ˆ ≅ OCB
ˆ ≅ (180° − 58° ) : 2 ≅ 61° .
determinare gli angoli OBC
ˆ ≅ 82° si possono
Si consideri ora il triangolo isoscele COD sulla base CD. Sapendo che l’angolo al centro COD
ˆ ≅ OCD
ˆ ≅ (180° − 82°) : 2 ≅ 49° .
determinare gli angoli ODC
ˆ ≅ 120° si possono
Si consideri ora il triangolo isoscele AOD sulla base AD. Sapendo che l’angolo al centro AOD
ˆ ≅ OAD
ˆ ≅ (180° − 120° ) : 2 ≅ 30° .
determinare gli angoli ODA
Ora si possono determinare i quattro angoli interni del quadrilatero:
ˆ ≅ BCO
ˆ + OCD
ˆ ≅ 61° + 49° ≅ 110° .
ˆ ≅ ABO
ˆ + OBC
ˆ ≅ 40° + 61° ≅ 101° . BCD
ABC
ˆ ≅ CDO
ˆ + ODA
ˆ ≅ 49° + 30° ≅ 79° . DAB
ˆ ≅ DAO
ˆ + OAB
ˆ ≅ 30° + 40° ≅ 70° .
CDA
C7.7 Posizioni reciproche di due circonferenze
Due circonferenze sono dette esterne se non hanno punti di intersezione e i centri di ognuna delle due circonferenze
sono punti esterni rispetto all’altra circonferenza.
Fig. C7.26
Circonferenze esterne.
Due circonferenze sono dette tangenti esternamente se hanno un punto di intersezione e i centri di ognuna delle
due circonferenze sono punti esterni rispetto all’altra circonferenza.
Fig. C7.27
Circonferenze tangenti esternamente.
Due circonferenze sono dette secanti se hanno due punti di intersezione.
Fig. C7.28
Circonferenze secanti.
Due circonferenze sono dette tangenti internamente se hanno un punto di intersezione e il centro di una è un punto
interno all’altra.
Fig. C7.29
Circonferenze tangenti internamente.
Teoria
C7-10
Due circonferenze sono dette interne se non hanno punti di intersezione e il centro di una è un punto interno all’altra.
Fig. C7.30
Circonferenze interne.
Un caso particolare di circonferenze interne è quando i centri coincidono. In tal caso le circonferenze sono dette
concentriche.
Fig. C7.31
Circonferenze concentriche.
Teorema
Si indichino con O e O’ i centri di due circonferenze e con r e r’ i loro raggi. In tal caso valgono le seguenti doppie
implicazioni:
•
Le circonferenze sono esterne se e solo se OO’>r+r’.
•
Le circonferenze sono tangenti esternamente se e solo se OO’≅r+r’.
•
Le circonferenze sono secanti se e solo se r-r’<OO’<r+r’.
•
Le circonferenze sono tangenti internamente se e solo se OO’≅r-r’.
•
Le circonferenze sono interne se e solo se OO’<r-r’.
•
Le circonferenze sono concentriche se e solo se O≅O’.
La dimostrazione è omessa.
C7.8 Poligoni inscritti e circoscritti
Un poligono è inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza.
In questo caso si dice che la circonferenza è circoscritta al poligono.
Fig. C7.32
Poligono inscritto in una circonferenza.
Un poligono è circoscritto a una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza.
In questo caso si dice che la circonferenza è inscritta nel poligono.
Fig. C7.33
Poligono circoscritto ad una circonferenza.
Teoria
C7-11
Non tutti i poligoni sono inscrivibili o circoscrivibili a una circonferenza.
I triangoli sì, sono tutti sia circoscrivibili che inscrivibili a una circonferenza, mentre per i poligoni è necessario
verificare se valgono le seguenti condizioni di circoscrivibilità e inscrivibilità.
Teorema C7.8a (condizioni di inscrivibilità di un poligono)
Un poligono è inscrivibile in una circonferenza se e solo se tutti gli assi di simmetria dei suoi lati si incontrano in un
punto.
DIMOSTRAZIONE
⇒) Se un poligono è inscrivibile a una circonferenza allora i suoi vertici appartengono tutti alla circonferenza, pertanto
il centro ha la stessa distanza da tutti i vertici. L’asse di simmetria di ogni lato è formato dai punti equidistanti dai
vertici, e se il centro ha la stessa distanza da tutti i lati allora appartiene a tutti gli assi di simmetria.
⇐) Se tutti gli assi di simmetria si incontrano in un punto allora, per definizione di asse di simmetria, tale punto è
equidistante da tutti i vertici, e questo punto è dunque il centro della circonferenza.
Teorema C7.8b (condizioni di circoscrivibilità di un poligono)
Un poligono è circoscrivibile ad una circonferenza se e solo se tutte le bisettrici dei suoi angoli si incontrano in un
punto.
DIMOSTRAZIONE
⇒) Se un poligono è circoscrivibile ad una circonferenza allora i suoi lati sono tutti tangenti alla circonferenza. Per il
teorema C7.5b la retta passante per un punto esterno alla circonferenza e per il centro della stessa è la bisettrice
dell’angolo formato dalle rette tangenti, quindi tutte le bisettrici passano per il centro.
⇐) Se tutte le bisettrici si incontrano in un punto allora questo punto è equidistante da tutte le rette tangenti. Esso è
dunque il centro della circonferenza e il raggio è la distanza tra questo punto e una qualsiasi delle rette tangenti.
Per quanto riguarda in particolare i quadrilateri è possibile fissare delle condizioni per l’inscrivibilità che possono essere
più semplici da verificare.
Teorema C7.8c (condizioni di inscrivibilità di un quadrilatero)
Un quadrilatero è inscrivibile in una circonferenza se e solo se gli angoli opposti sono supplementari.
DIMOSTRAZIONE
⇒) Dato il quadrilatero ABCD inscritto in una circonferenza di centro O si vuole mostrare che gli angoli opposti sono
supplementari.
Fig. C7.34
Condizioni di inscrivibilità di un quadrilatero.
ˆ ≅ 2 ⋅ ADC
ˆ ≅ 2 ⋅ ABC
ˆ mentre l’angolo concavo AOC
ˆ . Da ciò segue
In riferimento alla figura C7.34 l’angolo convesso AOC
(
)
ˆ concavo + AOC
ˆ convesso ≅ 2 ⋅ ABC
ˆ + 2 ⋅ ADC
ˆ ≅ 2 ABC
ˆ + ADC
ˆ ≅ 2π . Da ciò segue che ABC
ˆ + ADC
ˆ ≅π.
che 2π ≅ AOC
⇐) Se gli angoli opposti sono supplementari si vuole mostrare che il quadrilatero ABCD è inscrivibile in una
circonferenza.
Fig. C7.35
Condizioni di inscrivibilità di un quadrilatero.
Teoria
C7-12
ˆ≅π e B
ˆ+D
ˆ ≅ π . Esiste sicuramente una circonferenza passante per A, B e C. Si vuole mostrare che anche
Siano  + C
D appartiene alla stessa circonferenza. Supponiamo per assurdo che non vi appartenga.
In questo caso si prolunghi CD fino a incontrare la circonferenza in un punto E. Il quadrilatero ABCE è inscritto in una
ˆ≅π e B
ˆ +ˆ
ˆ+D
ˆ≅π e B
ˆ +ˆ
E ≅ π . Da B
E≅π
circonferenza, pertanto gli angoli opposti sono supplementari, ossia  + C
ˆ≅ˆ
E . Non possono esistere due punti, uno sulla circonferenza e uno al suo interno (o esterno) tali che
segue che D
ˆ
ˆ
D ≅ E , pertanto i punti D ed E coincidono e quindi D appartiene alla circonferenza.
Teorema C7.8d (condizioni di circoscrivibilità di un quadrilatero)
Un quadrilatero è circoscrivibile a una circonferenza se e solo se la somma di due lati opposti è congruente alla somma
degli altri due.
Fig. C7.36
Condizioni di circoscrivibilità di un quadrilatero.
⇒) Dato un quadrilatero circoscrivibile a una circonferenza si vuole dimostrare che AB+CD≅AD+BC.
Per il teorema C7.5a si sa che i segmenti di tangenza sono congruenti, per cui AH≅AE, DH≅DG, CG≅CF, BF≅BE.
Da ciò segue che AD+BC≅AH+DH+BF+CF≅AE+DG+BE+CG≅AB+CD.
Fig. C7.36
Condizioni di circoscrivibilità di un quadrilatero.
⇐) Sapendo che AB+CD≅AD+BC si consideri la circonferenza tangente per 3 dei 4 lati del quadrilatero ABCD, ossia
tangente a BC, CD e DA. Si deve dimostrare che anche il quarto lato è tangente alla circonferenza. Supponiamo per
assurdo che non lo sia, in tal caso esiste un punto I tale che il quadrilatero BCDI è circoscritto alla circonferenza. Da
ciò segue, per il punto precedente, che BI+CD≅BC+DI.
Sottraendo membro a membro AB+CD≅AD+BC e BI+CD≅BC+DI si ottiene AB+CD-BI-CD≅AD+BC-BC-DI, da cui segue
AB-BI≅AD-DI≅AI, ossia AI+BI≅AB. Ciò è assurdo perché per la disuguaglianza triangolare la somma di due lati in un
triangolo è sempre maggiore del terzo lato. Da ciò si deduce che non si poteva supporre che il quarto lato non fosse
tangente alla circonferenza, quindi anche il quarto lato è tangente alla circonferenza e quindi il quadrilatero è
circoscrivibile alla circonferenza.
C7.9 Poligoni regolari
Un poligono regolare è un poligono avente tutti i lati e tutti gli angoli congruenti.
Il poligono regolare di tre lati è il triangolo equilatero.
Il poligono regolare di quattro lati è il quadrato.
Il poligono regolare di cinque lati è il pentagono regolare.
Il poligono regolare di sei lati è l’esagono regolare.
Osservazioni
•
Tutti i poligoni regolari hanno tanti assi di simmetria quanti sono i loro lati.
•
Tutti i poligoni regolari con un numero pari di lati hanno un centro di simmetria.
•
Tutti i poligoni regolari sono inscrivibili in una circonferenza. Il punto di intersezione degli assi di simmetria è il
centro della circonferenza circoscritta ed è detto centro del poligono regolare.
•
Tutti i poligoni regolari sono circoscrivibili a una circonferenza. Il punto di intersezione degli assi di simmetria
è il centro della circonferenza inscritta ed è detto centro del poligono regolare.
Teoria
C7-13
Dato un poligono regolare si considerino la circonferenza inscritta e la circonferenza circoscritta ad esso.
Il raggio della circonferenza inscritta è detto apotema del poligono regolare. In figura C7.37 l’apotema del poligono
regolare è il segmento OH. Il raggio della circonferenza circoscritta è detto raggio del poligono regolare. In figura
C7.37 il raggio del poligono regolare è il segmento OE
Fig. C7.37
Raggio e apotema di un poligono regolare.
Teoria
C7-14