Indice

Indice
I
Strutture
1
1 Insiemi e numeri
1.1 Insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Sottoinsiemi . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Operazioni . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Proprietà delle operazioni . . . .
1.2 Numeri: introduzione intuitiva . . . . .
1.3 Struttura d’ordine di R . . . . . . . . .
1.3.1 Massimi e minimi . . . . . . . . .
1.3.2 Estremi superiore e inferiore . . .
1.3.3 Densità . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Potenze e logaritmi . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Potenze . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Logaritmi . . . . . . . . . . . . .
1.5 La retta reale estesa . . . . . . . . . . .
1.6 Postilla: la nascita del metodo deduttivo
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3
3
3
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25
25
26
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Edgeworth
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43
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43
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51
3 Struttura lineare
3.1 Sottospazi vettoriali di Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Indipendenza e dipendenza lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Combinazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
55
58
60
2 Struttura cartesiana e Rn
2.1 Prodotti cartesiani e Rn . .
2.2 Operazioni in Rn . . . . . .
2.3 Struttura d’ordine in Rn . .
2.4 Applicazioni . . . . . . . . .
2.4.1 Scelte statiche . . .
2.4.2 Scelte intertemporali
2.5 Ottimi paretiani . . . . . .
2.5.1 De…nizione . . . . .
2.5.2 Massimi e massimali
2.5.3 Frontiera paretiana e
2.5.4 Postilla debole . . .
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scatola di
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viii
INDICE
3.4
3.5
3.6
Sottospazi generati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Basi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Basi di sottospazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Struttura euclidea
4.1 Valore assoluto e norma
4.1.1 Prodotto interno
4.1.2 Valore assoluto .
4.1.3 Norma . . . . . .
4.2 Ortogonalità . . . . . .
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5 Struttura topologica
5.1 Distanze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Intorni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Tassonomia dei punti di Rn rispetto a un insieme
5.3.1 Punti interni e di frontiera . . . . . . . . .
5.3.2 Punti di accumulazione . . . . . . . . . .
5.4 Insiemi aperti e chiusi . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Stabilità insiemistica . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6 Insiemi compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Chiusura e convergenza . . . . . . . . . . . . . .
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II
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62
64
69
Funzioni
6 Funzioni
6.1 Il concetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 Scelte statiche . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Scelte intertemporali . . . . . . . . . . .
6.3 Proprietà generali . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Controimmagini e curve di livello . . . .
6.3.2 Algebra delle funzioni . . . . . . . . . .
6.3.3 Composizione . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Classi di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1 Funzioni iniettive, suriettive e biiettive .
6.4.2 Funzioni inverse . . . . . . . . . . . . .
6.4.3 Funzioni limitate . . . . . . . . . . . . .
6.4.4 Funzioni monotone . . . . . . . . . . . .
6.4.5 Funzioni concave e convesse (anteprima)
6.4.6 Funzioni separabili . . . . . . . . . . . .
6.5 Funzioni elementari su R . . . . . . . . . . . . .
6.5.1 Funzioni polinomiali . . . . . . . . . . .
6.5.2 Funzioni esponenziali e logaritmiche . .
6.5.3 Funzioni trigonometriche e periodiche .
6.6 Massimi e minimi di funzione (anteprima) . . .
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146
147
148
148
149
151
157
ix
INDICE
6.7
6.8
Domini e restrizioni . . . . . . . . . . . . .
Gran …nale: preferenze e utilità . . . . . . .
6.8.1 Preferenze . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.2 Utilità Paretiana . . . . . . . . . . .
6.8.3 Esistenza e preferenza lessicogra…ca
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161
164
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7 Cardinalità
7.1 In…nito attuale e potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Funzioni biiettive e cardinalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Un vaso di Pandora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
169
170
176
8 Successioni
8.1 Il concetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Lo spazio delle successioni . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Applicazione: scelte intertemporali . . . . . . . . . . .
8.4 Immagini e classi di successioni . . . . . . . . . . . . .
8.5 Limiti: esempi introduttivi . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Limiti e comportamento asintotico . . . . . . . . . . .
8.6.1 Convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.2 Limiti per eccesso e per difetto . . . . . . . . .
8.6.3 Divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6.4 Topologia di R e de…nizione generale di limite .
8.7 Proprietà dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7.1 Monotonia e convergenza . . . . . . . . . . . .
8.7.2 Il Teorema di Bolzano-Weierstrass . . . . . . .
8.8 Algebra dei limiti e limiti notevoli . . . . . . . . . . .
8.8.1 Le (molte) certezze . . . . . . . . . . . . . . . .
8.8.2 Alcuni limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . .
8.8.3 Forme di indeterminazione per i limiti . . . . .
8.8.4 Tabelle riassuntive . . . . . . . . . . . . . . . .
8.8.5 Ma quante sono le forme di indeterminazione?
8.9 Criteri di convergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.10 La condizione di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.11 Il numero di Nepero . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.12 Ordini di convergenza e di divergenza . . . . . . . . .
8.12.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.12.2 Algebra dell’o piccolo . . . . . . . . . . . . . .
8.12.3 Equivalenza asintotica . . . . . . . . . . . . . .
8.12.4 Terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.12.5 Scale di in…niti . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.13 Successioni in Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
179
179
182
184
184
187
187
188
190
191
192
194
196
197
201
201
204
205
208
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220
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x
INDICE
9 Serie numeriche
9.1 Il concetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Tre classiche serie . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2 Utilità intertemporale con orizzonte in…nito . .
9.2 Proprietà elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Serie con termini positivi . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Criterio di convergenza del confronto . . . . . .
9.3.2 Criterio di convergenza del rapporto: preludio .
9.3.3 Criterio di convergenza del rapporto . . . . . .
9.3.4 Criterio di convergenza della radice . . . . . . .
9.3.5 Un primo sviluppo in serie . . . . . . . . . . . .
9.4 Serie con termini di segno qualsiasi . . . . . . . . . . .
9.4.1 Convergenza assoluta . . . . . . . . . . . . . .
9.4.2 Serie con i segni alternati . . . . . . . . . . . .
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245
247
247
249
10 Limiti di funzioni
10.1 Esempi introduttivi . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Funzioni scalari . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1 Limiti bilaterali . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.2 Limiti unilaterali . . . . . . . . . . . . . .
10.2.3 Relazioni tra limiti unilaterali e bilaterali
10.2.4 Gran …nale . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.5 Asintoti orizzontali e verticali . . . . . . .
10.3 Funzioni di più variabili . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Proprietà dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Algebra dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.1 Forme di indeterminazione per i limiti . .
10.6 Limiti elementari e limiti notevoli . . . . . . . . .
10.6.1 Limiti elementari . . . . . . . . . . . . . .
10.6.2 Limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . .
10.7 Ordini di convergenza e di divergenza . . . . . .
10.7.1 Algebra dell’o piccolo . . . . . . . . . . .
10.7.2 Equivalenza asintotica . . . . . . . . . . .
10.7.3 Terminologia . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7.4 Il solito bestiario . . . . . . . . . . . . . .
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11 Funzioni continue
11.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Discontinuità . . . . . . . . . . . . .
11.3 Operazioni e composizione . . . . . .
11.4 Zeri ed equilibri . . . . . . . . . . . .
11.4.1 Zeri . . . . . . . . . . . . . .
11.4.2 Equilibri . . . . . . . . . . . .
11.5 Teorema di Weierstrass (anteprima)
11.6 Teorema dei valori intermedi . . . .
11.7 Limiti e continuità degli operatori .
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xi
INDICE
11.8 Continuità uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
III
Analisi lineare e non lineare
311
12 Funzioni e operatori lineari
12.1 Funzioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 De…nizione e prime proprietà . . . . . .
12.1.2 Rappresentazione . . . . . . . . . . . . .
12.2 Matrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.1 Operazioni tra matrici . . . . . . . . . .
12.2.2 Prodotto di matrici . . . . . . . . . . . .
12.3 Operatori lineari . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3.1 De…nizione e prime proprietà . . . . . .
12.3.2 Rappresentazione . . . . . . . . . . . . .
12.3.3 Matrici e operazioni . . . . . . . . . . .
12.4 Rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1 Operatori lineari . . . . . . . . . . . . .
12.4.2 Rango di matrici . . . . . . . . . . . . .
12.4.3 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.4 Procedimento gaussiano di eliminazione
12.5 Operatori invertibili . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.1 Invertibilità . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5.2 Matrice inversa . . . . . . . . . . . . . .
12.6 Determinanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.1 De…nizione . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.2 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6.3 Teorema di Laplace . . . . . . . . . . .
12.6.4 Inverse e determinanti . . . . . . . . . .
12.6.5 Algoritmo di Kronecker . . . . . . . . .
12.7 Sistemi lineari quadrati . . . . . . . . . . . . .
12.8 Sistemi lineari generali . . . . . . . . . . . . . .
12.9 Risoluzione di sistemi: metodo di Cramer . . .
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374
13 Funzioni concave
13.1 Insiemi convessi . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2 Funzioni concave . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3.1 Funzioni concave e insiemi convessi . .
13.3.2 Disuguaglianza di Jensen e continuità
13.4 Funzioni quasi concave . . . . . . . . . . . . .
13.5 Principio di diversi…cazione . . . . . . . . . .
13.6 Gran …nale: l’equazione di Cauchy . . . . . .
13.6.1 Varianti notevoli . . . . . . . . . . . .
13.6.2 Capitalizzazione . . . . . . . . . . . .
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xii
INDICE
14 Problemi di ottimo
14.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . .
14.1.1 La fortuna del principiante
14.1.2 Proprietà . . . . . . . . . .
14.1.3 Consumo e produzione . . .
14.2 Esistenza: Teorema di Weierstrass
14.2.1 Enunciato . . . . . . . . . .
14.2.2 Dimostrazione 1 . . . . . .
14.2.3 Dimostrazione 2 . . . . . .
14.3 Estremi locali . . . . . . . . . . . .
14.4 Concavità e quasi concavità . . . .
IV
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Calcolo di¤erenziale
15 Derivate
15.1 De…nizione . . . . . . . . . . . . . .
15.1.1 Osservazioni . . . . . . . . . .
15.2 Interpretazione geometrica . . . . . .
15.3 Funzione derivata . . . . . . . . . . .
15.4 Derivate unilaterali . . . . . . . . . .
15.5 Derivabilità e continuità . . . . . . .
15.6 Derivate delle funzioni elementari . .
15.7 Algebra delle derivate . . . . . . . .
15.8 La regola della catena . . . . . . . .
15.9 Derivata di funzioni inverse . . . . .
15.10Formulario . . . . . . . . . . . . . .
15.11Di¤erenziabilità e linearità . . . . . .
15.11.1 Di¤erenziale . . . . . . . . . .
15.11.2 Di¤erenziabilità e derivabilità
15.11.3 Di¤erenziabilità e continuità
15.12Derivate di ordine superiore . . . . .
407
407
412
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16 Derivazione parziale
16.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.1 Operatore derivata . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.2 Ceteris paribus: utilità e produttività marginali
16.2 Di¤erenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.2.1 Di¤erenziabilità e derivabilità . . . . . . . . . .
16.2.2 Di¤erenziale totale . . . . . . . . . . . . . . . .
16.3 Regola della catena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4 Derivate parziali di ordine superiore . . . . . . . . . .
16.5 Funzioni implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.5.1 Teorema di Dini . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.5.2 Curve di livello e saggi marginali . . . . . . . .
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INDICE
xiii
17 Metodi di¤erenziali
17.1 Estremi e punti critici . . . . . . . . . . . . . .
17.1.1 Preambolo . . . . . . . . . . . . . . . .
17.1.2 Teorema di Fermat . . . . . . . . . . . .
17.1.3 Ottimi liberi: incipit . . . . . . . . . . .
17.2 Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . .
17.3 Proprietà di continuità della derivata . . . . . .
17.4 Monotonia e derivabilità . . . . . . . . . . . . .
17.5 Condizioni su¢ cienti per estremi . . . . . . . .
17.5.1 Estremi locali . . . . . . . . . . . . . . .
17.5.2 Ricerca di estremi locali . . . . . . . . .
17.5.3 Ottimi liberi: caso scalare . . . . . . . .
17.5.4 Estremi globali . . . . . . . . . . . . . .
17.6 Teorema e regola di de l’Hospital . . . . . . . .
17.6.1 Forme di indeterminazione 0=0 e 1=1
17.6.2 Altre forme di indeterminazione . . . .
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525
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529
18 Approssimazione
18.1 Approssimazione polinomiale di Taylor . . . . .
18.1.1 Sviluppi polinomiali . . . . . . . . . . .
18.1.2 Teorema di Taylor . . . . . . . . . . . .
18.1.3 Taylor e limiti . . . . . . . . . . . . . .
18.2 Proposizione omnibus per estremi locali . . . .
18.3 Procedura omnibus di ricerca di estremi locali .
18.3.1 Caso di funzioni due volte derivabili . .
18.3.2 Caso di funzioni derivabili in…nite volte
18.4 Sviluppo di Taylor: caso vettoriale . . . . . . .
18.4.1 Forme quadratiche . . . . . . . . . . . .
18.4.2 Sviluppo di Taylor . . . . . . . . . . . .
18.4.3 Condizioni del secondo ordine . . . . . .
18.4.4 Ottimi liberi: caso vettoriale . . . . . .
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19 Concavità e di¤erenziabilità
19.1 Caso scalare . . . . . . . . . . . . . . . .
19.1.1 Corde e tangenti . . . . . . . . .
19.2 Caso vettoriale: cenni . . . . . . . . . .
19.3 Condizione del primo ordine (anteprima)
19.4 Ottimizzazione concava (anteprima) . .
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20 Studio di funzioni
573
20.1 Flessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
20.2 Asintoti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575
20.3 Studio di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
xiv
INDICE
21 Ottimizzazione locale vincolata
21.1 Introduzione . . . . . . . . . . .
21.2 Il problema . . . . . . . . . . .
21.3 Un vincolo . . . . . . . . . . . .
21.4 Metodo di Lagrange . . . . . .
21.5 Problema del consumatore . . .
V
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Integrazione
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Appendici
A Far
A.1
A.2
A.3
A.4
A.5
di conto: Analisi combinatoria
Generalità . . . . . . . . . . . . . .
Permutazioni . . . . . . . . . . . .
Disposizioni . . . . . . . . . . . . .
Combinazioni . . . . . . . . . . . .
Binomio di Newton . . . . . . . . .
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587
588
588
594
598
603
22 Integrale secondo Riemann
22.1 Plurirettangoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2 De…nizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2.1 Funzioni positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.2.2 Funzioni di segno qualsiasi . . . . . . . . . . . . . . .
22.2.3 Tutto si tiene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.3 Criteri di integrabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.4 Classi di funzioni integrabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.4.1 Funzioni a scala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.4.2 Approccio analitico e approccio geometrico . . . . . .
22.4.3 Funzioni continue e funzioni monotone . . . . . . . . .
22.5 Proprietà dell’integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.6 Teorema fondamentale del Calcolo integrale . . . . . . . . . .
22.6.1 Funzioni primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.6.2 Formulario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.6.3 Il Primo Teorema fondamentale del calcolo integrale .
22.6.4 Il Secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale
22.7 Proprietà dell’integrale inde…nito . . . . . . . . . . . . . . . .
22.8 Cambiamento di variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.9 Funzioni integrabili in forma chiusa . . . . . . . . . . . . . . .
22.10Integrali impropri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.10.1 Intervalli illimitati d’integrazione: generalità . . . . .
22.10.2 Intervalli illimitati d’integrazione: proprietà e criteri .
22.10.3 Integrale di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22.10.4 Funzioni illimitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
VI
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INDICE
xv
B Richiami di trigonometria
685
B.1 Generalità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685
B.2 Concerto d’archi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687
B.3 Perpendicolarità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 689
C Elementi di logica intuitiva
C.1 Proposizioni e operazioni .
C.2 Equivalenza logica . . . .
C.3 Teoremi e dimostrazioni .
C.3.1 Generalità . . . . .
C.3.2 Reductio . . . . .
C.3.3 Terminologia . . .
C.4 Predicati e quanti…catori .
C.4.1 Generalità . . . . .
C.4.2 Algebra . . . . . .
C.4.3 Esempio . . . . . .
C.5 Induzione . . . . . . . . .
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