INTEGRALE INDEFINITO DI UNA FUNZIONE
SIMONE ALGHISI
1. Introduzione
Abbiamo imparato a determinare la derivata di una funzione y = f (x) ed abbiamo anche osservato che la derivata, se esiste, è unica. Se f1 (x) e f2 (x) sono due funzioni derivabili e c1 , c2 ∈ R,
allora
D [c1 f1 (x) + c2 f2 (x)] = c1 f10 (x) + c2 f20 (x) ,
cioè la derivata di una combinazione lineare di funzioni è la combinazione lineare delle derivate delle
funzioni. Per questo motivo diciamo anche che l’operatore di derivazione è lineare. Tratteremo ora
il problema inverso: data una funzione y = f (x), determinare una funzione F (x) che ammette come
derivata proprio f (x). Una tale funzione F (x) la chiameremo primitiva di f (x).
(1.1) Esempio Determinare una primitiva della funzione y = x2 .
Soluzione. Il problema richiede di trovare una funzione y = F (x) tale che F 0 (x) = f (x) = x2 .
Riflettendo qualche secondo si può capire che una possibile funzione potrebbe essere F1 (x) = x3 /3,
infatti:
x2
= x2 = f (x) .
F10 (x) = 3 ·
3
Sappiamo che anche le funzioni F (x) = x3 /3 + c (con k ∈ R) sono delle primitive per la funzione
data. In generale, se una funzione ammette una primitiva F (x), essa non è unica. ♣
(1.2) Osservazione Sia y = f (x) una funzione. Se y = F (x) è una primitiva di y = f (x) anche
y = F (x) + c è una primitiva della funzione y = f (x), essendo c una costante arbitraria.
Dimostrazione. Poichè la derivata di una costante è nulla, si ha
D [F (x) + c] = F 0 (x) + 0 = f (x) .
(1.3) Osservazione Sia y = f (x) una funzione. Supponiamo che y = F (x) ed y = G(x) siano
due primitive di y = f (x). Allora F e G differiscono per una costante.
Dimostrazione. Per ipotesi si ha F 0 (x) = f (x) e G0 (x) = f (x), quindi F 0 (x) = G0 (x). Se due
funzioni hanno la medesima derivata, sappiamo che esso devono differire per una costante (corollario
al Teorema di Lagrange), quindi deve esistere una costante c tale che F (x) = G(x) + c.
Quindi, se una funzione y = F (x) è una primitiva di y = f (x), y = F (x) + c è la primitiva più
generale e rappresenta tutte e sole le funzioni la cui derivata è uguale a y = f (x). Questa primitiva
generale prende il nome di integrale indefinito di f (x) e si rappresenta con il simbolo
Z
f (x) dx ,
1
2
SIMONE ALGHISI
che si legge “integrale di f (x) in dx” e che contiene in sè la costante arbitraria c ∈ R. La funzione
f (x) si chiama funzione integranda. Per definizione, si ha dunque:
Z
f (x) dx = F (x) + c ⇔ F 0 (x) = f (x) .
La precedente definizione evidenzia che:
(1) l’integrale indefinito di una funzione y = f (x) rappresenta la totalitá di tutte e sole le
funzioni la cui derivata è f (x);
(2) l’integrale indefinito può essere considerato come operatore inverso della derivata perchè
associa alla funzione integranda f (x) l’insieme di tutte e sole le funzioni primitive di f (x)
stessa.
Riprendendo l’Esempio (1.1), scriveremo ora
Z
x3
x2 dx =
+ c, c ∈ R.
3
Vale inoltre il seguente
(1.4) Teorema Siano a, b ∈ R, a < b e f : [a; b] → R una funzione continua. Allora f ammette
sempre primitive.
Si osservi che mentre l’operazione di derivazione non può applicarsi a tutte le funzioni continue,
l’operazione inversa può invece applicarsi a tutte le funzioni continue in un intervallo.
Sono immediate le seguenti proprietá degli integrali indefiniti:
(1) se k è una costante qualunque, si ha:
Z
Z
kf (x) dx = k f (x) dx ,
cioè: l’integrale del prodotto di una costante per una funzione continua è uguale al prodotto
della costante per l’integrale della funzione;
(2) se f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x) sono n funzioni continue, si ha:
Z
Z
Z
Z
[f1 (x) + f2 (x) + · · · + fn (x)] dx = f1 (x) dx + f2 (x) dx + · · · + fn (x) dx ,
cioè: l’integrale di una somma di funzioni continue è uguale alla somma degli integrali delle
singole funzioni.
2. Integrali indefiniti immediati
Se mediante le nozioni giá acquisite nel calcolo differenziale si riconosce che y = f (x) è la derivata
della funzione y = g(x), l’integrale indefinito di y = f (x) è immediato, essendo:
Z
f (x) dx = g(x) + c ,
con c ∈ R costante arbitraria. É appunto cosı́ che si ottengono i seguenti integrali, che vanno
imparati a memoria:
Z
xα+1
xα dx =
+c
per α ∈ R con α 6= −1 ,
α+1
Z
1
dx = ln |x| + c ,
x
Z
sen x dx = − cos x + c ,
INTEGRALE INDEFINITO DI UNA FUNZIONE
Z
cos x dx = sen x + c ,
Z
Z
1
dx
=
1 + tg2 x dx = tg x + c ,
2
cos x
Z
Z
1
1 + ctg2 x dx = − ctg x + c ,
dx
=
2
sen x
Z
ax
ax dx =
+ c,
ln a
Z
ex dx = ex + c ,
Z
1
√
dx = arcsen x + c = − arccos x + c ,
1 − xZ2
1
dx = arctg x + c .
1 + x2
(2.1) Esempio Calcolare i seguenti integrali indefiniti:
Z
Z √
2x + 5
3
I1 =
dx ,
I2 =
5x + 2x4 − x2 dx .
x
Soluzione. Iniziamo con il primo integrale.
Z Z
Z
Z
5
1
5
I1 =
2+
dx = 2 dx +
dx = 2x + 5
dx = 2x + 5 ln |x| + c .
x
x
x
Per quanto riguarda il secondo integrale si ha:
Z
Z
Z
2
3 √
5
3
I2 = 5 x dx + 2 x4 dx − x2/3 dx = x2 + x5 − x x2 + c .
2
5
5
♣
Vogliamo ora generalizzare le formule date precedentemente. Osserviamo che
[f (x)]α+1
1
D
=
(α + 1)[f (x)]α+1−1 · f 0 (x) = [f (x)]α · f 0 (x) .
α+1
α+1
Segue che
Z
[f (x)]α+1
f 0 (x) · [f (x)α ] dx =
+ c.
α+1
In modo analogo si ha:
1
|f (x)| 0
f 0 (x)
D [ln |f (x)|] =
·
· f (x) =
,
|f (x)| f (x)
f (x)
quindi
Z 0
f (x)
dx = ln |f (x)| + c .
f (x)
Ragionando come negli esempi appena visti, si possono dedurre le seguenti regole di derivazione:
Z
f 0 (x) · cos f (x) dx = sen f (x) + c ,
Z
f 0 (x) · sen f (x) dx = − cos f (x) + c ,
Z
Z
f 0 (x)
dx = f 0 (x) · 1 + tg2 f (x) dx = tg f (x) + c ,
2
cos f (x)
3
4
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f 0 (x)
dx = − ctg f (x) + c .
sen2 f (x)
Z
Z
af (x)
+ c,
ln a
Z
f 0 (x) · af (x) dx =
Z
f 0 (x) · ef (x) dx = ef (x) + c ,
f 0 (x)
p
dx = arcsen f (x) + c = − arccos f (x) + c ,
1 − [f (x)]2
Z
f 0 (x)
dx = arctan f (x) + c .
1 + [f (x)]2
(2.2) Esempio Calcolare il seguente integrale indefinito:
Z
6
x · x2 − 5 dx .
6
Soluzione. Posto f (x) = x2 − 5, notiamo che x2 − 5 = [f (x)]6 . É necessario avere come fattore
moltiplicativo all’interno dell’integrale la derivata della funzione f (x), cioè f 0 (x) = 2x. Si noti che
6
non è richiesta la derivata della funzione x2 − 5 , ma solo la derivata della base della potenza. Si
verifica facilmente che f 0 (x) = 2x. Possiamo allora ragionare come segue:
7
7
Z
Z
6
6
x2 − 5
1 x2 − 5
1
2
2
2x · |x {z
− 5} dx = ·
+c=
+ c.
x · x − 5 dx =
2 |{z}
2
7
14
0
f (x)
f (x)
♣
(2.3) Esempio Calcolare il seguente integrale indefinito:
Z
√
8x + 9 dx .
Soluzione. É possibile ragionare come nell’Esempio (2.2). Infatti:
p
Z
Z
Z
√
(8x + 9)3
1
1 (8x + 9)3/2
1/2
1/2
8x + 9 dx = (8x + 9)
dx =
8(8x + 9) dx =
+c=
+ c.
8
8
3/2
12
♣
(2.4) Esempio Calcolare i seguenti integrali indefiniti:
Z
Z
2x − 3
2x + 1
√
I1 =
dx
,
I
=
dx ,
2
2
2
x2 + x
(x − 3x + 1)
Z
I3 =
cos x(1 + 2 sen x) dx .
Soluzione. Iniziamo con il calcolare I1 . Si osservi che il numeratore N (x) = 2x − 3 è proprio la
derivata della base della potenza che si trova nel denominatore D(x). Allora:
−1
Z
−2
x2 − 3x + 1
1
2
I1 = (2x − 3) x − 3x + 1
dx =
+c=− 2
+ c.
−1
(x − 3x + 1)
INTEGRALE INDEFINITO DI UNA FUNZIONE
5
Per il secondo integrale il ragionamento è simile. Osservando che D[x2 + x] = 2x + 1 si ha:
1/2
Z
p
−1/2
x2 + x
2
I2 = (2x + 1) x + x
dx =
+ c = 2 x2 + x + c .
1/2
Per il terzo integrale, poichè 2 sen x + 1 = (2 sen x + 1)1 e D[2 sen x + 1] = 2 cos x, si ha:
Z
1
1 (1 + 2 sen x)2
1
I3 =
2 cos x(1 + 2 sen x) dx = ·
+ c = (1 + 2 sen x)2 + c .
2
2
2
4
♣
(2.5) Esempio Calcolare i seguenti integrali indefiniti:
Z
Z
2
I1 = 2x cos x dx ,
I2 = (x + 1) sen x2 + 2x dx ,
Z
I3 =
cos x esen x dx .
Soluzione. Per il primo integrale, poichè 2x è la derivata di x2 , abbiamo:
I1 = sen x2 + c .
Per il secondo integrale, poichè la derivata di x2 + 2x è 2x + 2, dobbiamo moltiplicare e dividere la
funzione integranda per 2, ottenendo:
Z
1
1
(2x + 2) sen x2 + 2x dx = − cos x2 + 2x + c .
2
2
Nell’ultimo integrale, poichè la derivata di sen x è esattamente cos x, si ha:
Z
I3 = cos x esen x dx = esen x + c .
♣
(2.6) Esempio Calcolare i seguenti integrali indefiniti:
Z
Z
sen(2x)
3
I1 = cos x · sen x dx ,
I2 =
dx ,
sen2 x
Soluzione. Il primo integrale è immediato poichè è della forma
Z
I3 =
R
sen x
dx .
cos4 x
f 0 (x)[f (x)]α dx, quindi
sen4 x
+ c.
4
Per quanto riguarda il secondo integrale, si osservi che D[sen2 x] = 2 sen x cos x = sen(2x), quindi
Z
2 sen x cos x
I2 =
dx = ln(sen x)2 + c = 2 ln | sen x| + c .
sen2 x
Per il terzo integrale si ha:
Z
Z
− sen x
1
1
−4
I3 = sen x · (cos x) dx = −
dx = (cos x)−3 + c =
+ c.
4
cos x
3
3 cos3 x
♣
I1 =
(2.7) Esempio Calcolare i seguenti integrali indefiniti:
Z
Z
x
2
I1 =
dx ,
I2 =
dx .
2
3+x
(x + 1)3
6
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Soluzione. Si ha
Z
1
I1 = 2
3 1+
2
dx =
2
x
3
3
Z
1+
1
√x
3
Z
2 √
2 dx = · 3
3
√1
3
1+
√x
3
√
x
2 3
arctan √ + c .
2 dx =
3
3
Z 1
1
x+1 − 1
dx =
dx
=
−
(x + 1)3
(x + 1)2 (x + 1)3
Z
Z
1
1
−2
= (x + 1) dx + (x + 1)−3 dx = −
+
+ c.
x + 1 2(x + 1)2
Z
I2 =
♣
(2.8) Esempio Calcolare i seguenti integrali indefiniti:
Z
Z 2
1
x +3
I1 =
I2 =
dx ,
2 dx ,
x2 + 1
x ln x
Z
I3 =
ex
√
dx .
4 − e2x
Soluzione. Iniziando con il primo integrale, si ha:
Z
1
1
I1 =
· (ln x)−2 dx = −(ln x)−1 + c = −
+ c.
x
ln x
Integrando il secondo integrale, si ha:
Z 2
Z Z
x +1 + 2
2
1
I2 =
dx
=
1
+
dx
=
x
+
2
dx = x + 2 arctan x + c .
x2 + 1
1 + x2
1 + x2
Infine:
Z
I3 =
ex
q
2 1−
e2x
4
1
dx =
2
Z
ex
q
1−
Z
dx =
ex 2
2
ex /2
ex
q
dx
=
arcsin
+ c.
x 2
2
1 − e2
♣
(2.9) Esempio Calcolare il seguente integrale indefinito:
Z
2 cos x + sen(2x)
dx .
2 sen x + sen2 x
Soluzione. Osservando che il numeratore è esattamente la derivata del denominatore, si ha
Z
2 cos x + sen(2x)
dx = ln 2 sen x + sen2 + c .
2
2 sen x + sen x
♣
(2.10) Esempio Calcolare il seguente integrale indefinito:
Z
1
dx .
2
sen x cos2 x
Soluzione. Ricordando che sen2 x + cos2 x = 1 (prima relazione fondamentale della Goniometria),
si ha
1
sen2 x + cos2 x
1
1
=
=
+
,
2
2
2
2
2
sen x cos x
sen x cos x
cos x sen2 x
INTEGRALE INDEFINITO DI UNA FUNZIONE
quindi:
Z
1
dx =
2
sen x cos2 x
Z 1
1
+
2
cos x sen2 x
Z
dx =
1
dx +
cos2 x
Z
7
1
dx = tg x − ctg x + c .
sen2 x
♣
(2.11) Esempio Calcolare i seguenti integrali indefiniti:
Z
Z
x
I1 =
dx ,
I2 = sen2 x dx .
x+1
Soluzione. Poichè
x+1 − 1
x+1
1
1
x
=
=
−
=1−
,
x+1
x+1
x+1 x+1
x+1
1
ed osservando che nella funzione x+1
il numeratore è la derivata del denominatore, si ha:
Z Z
Z
Z
1
1
x
dx =
1−
dx =
dx −
dx = x − ln |x + 1| + c .
I1 =
x+1
x+1
x+1
q
Per il secondo integrale è utile ricordare le formule di bisezione del seno: sen x = ± 1−cos(2x)
,e
2
quindi:
Z
Z
Z
Z
1
1 − cos(2x)
2
dx =
dx − cos(2x) dx =
I2 = sen x dx =
2
2
Z
x 1 1
x sen(2x)
= − ·
2 cos(2x) dx = −
+ c.
2 2 2
2
4
♣
(2.12) Esempio Calcolare i seguenti integrali:
Z p
I1 = x 1 + x2 dx ,
Z
√
4x + 1 dx .
Soluzione. Si ha
q
(x2 + 1)3
Z
1/2
3/2
1
12
2x 1 + x2
dx =
1 + x2
+c=
+ c.
2
23
3
Per il secondo integrale si ha
p
Z
Z
(4x + 1)3
1
12
1/2
1/2
3/2
I2 = (4x + 1) dx =
4(4x + 1) dx =
(4x + 1) + c =
+ c.
4
43
6
♣
I1 =
(2.13) Esempio Calcolare i seguenti integrali:
Z
I1 = sen2 x cos3 x dx ,
Z
I2 =
sen4 x cos3 x dx .
Soluzione. Iniziando dall’integrale I1 , si ha
Z
Z
I1 = sen2 x cos2 x cos x dx = sen2 x 1 − sen2 x cos x dx =
8
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Z
sen3 x sen5 x
2
= sen x cos x dx − sen4 x cos x dx =
−
+ c.
3
5
Il calcolo del secondo integrale è simile, infatti
Z
Z
4
2
I2 = sen x cos x cos x dx = sen4 x 1 − sen2 x cos x dx =
Z
Z
=
sen4 x cos x dx −
Z
sen6 x cos x dx =
sen5 x sen7 x
−
+ c.
5
7
♣
(2.14) Esempio Calcolare i seguenti integrali indefiniti:
Z
Z
I1 = ctg x dx ,
I2 =
Soluzione. Ricordando che ctg x =
cos x
sen x ,
Z
I1 =
x
dx .
x − 10
si ha
cos x
dx = ln | sen x| + c .
sen x
Per il secondo integrale si ha
Z
Z Z
x−10 + 10
10
1
I2 =
dx =
1+
dx = x + 10
dx = x + 10 ln |x − 10| + c .
x − 10
x − 10
x − 10
♣
(2.15) Esempio Calcolare il seguente integrale indefinito:
Z
cos3 x dx .
Soluzione. Notando che cos3 x = cos x · cos2 x, si ha
Z
Z
Z
cos3 x dx = cos x · cos2 x dx = cos x 1 − sen2 x dx =
Z
Z
1
= cos x dx − cos x sen2 x dx = sen x − sen3 x + c .
3
♣
(2.16) Esempio Tra tutte le primitive
della funzione f (x) = cos x sen2 x, determinare quella il
π
cui grafico passa per il punto P 6 ; 1 .
Soluzione. Troviamo l’insieme di tutte le primitive della funzione y = f (x).
Z
Z
sen3 x
+ c.
f (x) dx = cos x sen2 x dx =
3
3
Dobbiamo determinare la costante additiva c ∈ R in modo tale che la funzione F (x) = sen3 x + c
1
passi per P . Si deve quindi imporre che F (π/6) = 1, cioè 24
+ c = 1, da cui c = 23
24 . La primitiva
3
richiesta è quindi F (x) = sen3 x + 23
.
♣
24
