Compito di Fisica 2 27 Febbraio 2014 (1) Una carica elettrica statica

Compito di Fisica 2 27 Febbraio 2014
(1) Una carica elettrica statica è distribuita su un guscio sferico di raggio interno R1 =2cm e esterno R2 = 4cm. La
densità volumetrica di carica interna al guscio ha andamento ρ = a + br , con r distanza dal centro, a =
0.01mC/m3; b = 10-3 C/m4 . (a) Trovare l’espressione del campo elettrico in tutto lo spazio. (b) Calcolare, per r <
R1, il potenziale elettrico e la densità di energia elettrica del sistema.
(2) Un lungo condensatore cilindrico con un conduttore interno di raggio a = 1cm ed esterno di raggio b =2cm
contiene un dielettrico con costante dielettrica relativa dipendente da r: ε r = εr (r). La
differenza di potenziale tra le armature del condensatore è V = 20V. Calcolare quale
funzione deve assumere ε r (r) perché la densità di energia nel condensatore sia costante e
calcolare il campo elettrico in tali condizioni.
a
(3) Nei due conduttori di lunghezza indefinita, paralleli e separati dalla distanza 2a ( a =
I
8cm), scorre la medesima corrente I = 10A. Un anello circolare di materiale conduttore di
raggio a giace nel piano dei due fili, tra di essi, ed è isolato da essi. Determinare il
2a
coefficiente di mutua induzione tra il conduttore circolare ed i due fili.
(4) Nel circuito di figura il condensatore ( C = 10µF) ha piani circolari di raggio r0
=3cm separati dalla distanza d, R =10kΩ. A t = 0, con Q0 =1nC carica sulle
armature del condensatore, viene chiuso l’interruttore. (a) Determinare il campo
elettrico ed il campo magnetico tra i due piani del condensatore per t>0 . (b)
Determinare la densità di energia elettromagnetica nel condensatore e
l’espressione del vettore di Poynting.
R
T
5a) Si vuole dimensionare un magnete costruito con filo di rame avvolto in N spire
intorno ad un nucleo di ferro (permeabilità magnetica µ >> µ0) sagomato come in
figura. Esso deve produrre un campo B pari a 104 Gauss in un traferro x = 0.01m,
di area A = ab con a=0.1m; b = 0.2m. (a) Calcolare la potenza richiesta ed il peso
necessario di rame (resistività del rame ρ = 2x10-6 1/Ωm ; densità d=8 g/cm3,
massima densità di corrente Jmax = 103A/cm2 ). (b) Determinare la forza di
attrazione tra i due poli del magnete.
x
a
b
5b. Un motore, con un rendimento η = 17%, fornisce in un ciclo un lavoro W =
160 J. Consideriamo il gas come perfetto e biatomico (cv = 5R/2, n = 0.05 moli).
Il ciclo è costituito da due trasformazioni adiabatiche, dallo stato 1 allo stato 2 e
I
I
da 3 a 4, e da due trasformazioni isocore a volume V1 = 1000 cm3 e V2 = 125 cm3
; le temperature degli stati 1 e 2 sono rispettivamente T1 = 300 K e T2 = 500 K. a)
Calcolare la quantità di calore assorbita e ceduta durante il ciclo. Stabilire se il ciclo è o meno reversibile. b)
determinare per quale delle due trasformazioni (3-4) e (1-2) si produce la maggiore variazione di entropia in
valore assoluto.
I
Soluzioni
∙
1. ∮
=
=
→
r < R1 E = 0
R1 < r < R2 → 4
*
=
)# ! −
R> R2 →
=
0 =
=
"
%
+
,
&+ !
.
+
'
%
+
−
4
"
!# −
=
"
%
&+ !
#
'
'
%
−
&( →
&-.
con:
+
*
4
= 4 ) 1 # − 1 # +
#
,
1 − 1 - = 4.1x10-8 C.
La densità di energia è nulla: u = ½ ε0 E2 = 0 . Ponendo V(∞) = 0 abbiamo:
Per r < R1
2
+
=
3
=
=
3
+
=
*
)# 1 − 1
,
+
1 # − 1 # - = 2x103 V.
2. data la densità di carica libera lineare λ sulla superficie delle armature, abbiamo:
67 6
4
. La densità di energia nel condensatore è costante: 9
costante
=−
→
@
,+ A* +
>
=
6
→
con A costante. 2 =
+
<
3. Campo magnetico in P : C
=
D E
=H C
Considerato, x = a-r; J = P
7
−
+
4.
D E*
.
W
D E
*A
2J
−
F G =
F=
5
=−
∙:=
−
>
5
=
;+
=
<
→? = −
=
;
= +
@
5+
<
>
+
=
, + A*+
< .
*
F G = HG∙
,
*
=
4
V *
=
P
. Flusso del campo magnetico:
y
K7 L
1
1
H M +
2 7
2 −
*
O 2J
a
.
x
I
abbiamo:
I
r dr
2a-r
K7 L * 1
H M
+
2 7
−Q
1
OP
+Q
−Q
Q.
RSTU ! & = 2K7 L → M = 2µ0a = 2x10-5 H.
*
= X1 = −
magnetico vale:
7
Y.
1
YZ
→ 0 = 07 T AZ/\ . Poiché inoltre
∮ G ∙ ^_ = K7 67
Y` a
YZ
: → 2
=
C = K7 67
]
=
Ya
YZ
.
+
T AZ/\ con τ = RC. Per il campo
→ C ,c = −
D
\
a
T AZ/\ .
9 = 67
d+
+
= 67
D
5 a. ∮ g h = iL →
µ >>µ0 abbiamoi =
L = kl, 1 =
o = 2k
mn
d
d
D
D E
Q+
d
D
+
D
!1 +
\+
&;
D
| fG| =
a+
j − Q = iL . Considerando il termine
d
D
+
d
D
j − Q trascurabile perchè
Q . (a) La potenza dissipata sulla resistenza viene calcolata come: P = I2R con
. Poiché L = 2 (a+b) N abbiamo: o = 2
>
con direzione radiale
\
Q . La massa di rame è pari a: p = 2
+
+
k l i = 2k
il = 2
+
l
+
d
Q.
D q
d
D E
Q →
(b) La forza di attrazione tra i due poli, considerato che la sezione del traferro è A, è data da: r = l
5b (a)
0> =
s
t
D
.
= 941.18k ; 0W = w − 0> = 781.18k.
∆z{ = ∆z*|, + ∆z}~}Z•|* ≥ 0
∆Ssistema = 0
d+
con uguaglianza se il ciclo è reversibile. Poiché il sistema compie un ciclo
→ ∆z*|, = −∆z~}‚ƒ‚
•
…
…
……
= −UR„ )hU ! " & + hU ! % &- = −UR„ hU ! " % &. Devo determinare devo
…
…
……
+
'
+ '
calcolare T3 e T4 per valutare l’argomento nel logaritmo. Sapendo che per le due trasformazioni isocore, 2→3
e 4→1 , in cui vengono scambiaM rispeNvamente i calori QA e QC , si ha Q = ∆Ui , abbiamo:
† =
A.‡
ˆƒ‰
.
……
+ † = 1052.04‹; †# = ˆƒŒ + † = 1406.10‹ . Otteniamo perciò !…" …% & < 1 e quindi:
‰
+ '
∆z{ = ∆z*|, > 0 , quindi la trasformazione è irreversibile.
(b) Poiché vale: ∆zƒ~ƒ•‚ = ∆z
abbiamo: ∆z
+ ∆z
+ ∆z# = − ∆z
#
#
+ ∆z# + ∆z
+ ∆z
= 0 , avendo già mostrato che ∆z
> 0 quindi ∆z# > −∆z
.
#
+ ∆z
< 0,