Foglio di esercizi n. 3 - e-Learning

Calcolo delle Probabilità 2016/17 – Foglio di esercizi 3†
Variabili aleatorie e distribuzioni.
Si consiglia di svolgere in particolare gli esercizi n. 1, 4, 7, 8, 9, 12.
Esercizi “teorici”
Esercizio 1 (Conservazione della legge). Siano X, Y due variabili aleatorie a valori nello
stesso spazio misurabile (E, E) con la stessa legge: µX = µY . Sia ϕ : (E, E) → (F, F)
un’applicazione misurabile, a valori in uno spazio misurabile generico. Si mostri che ϕ(X) e
ϕ(Y ) sono variabili aleatorie con la stessa legge.
[È necessario che X e Y siano definite sullo stesso spazio di probabilità?]
Esercizio 2. Siano X, Y due variabili aleatorie, definite sullo stesso spazio di probabilità
(Ω, A, P) e a valori nello stesso spazio misurabile (E, E). Assumiamo che X e Y siano q.c.
uguali, ossia P(X = Y ) = 1. Si mostri che X e Y hanno la stessa legge.
Esercizio 3. Siano µ e ν due probabilità sullo stesso spazio misurabile (E, E). Per α ∈ [0, 1]
definiamo la combinazione convessa
γα (B) := αµ(B) + (1 − α)ν(B) .
(a) Si mostri che γα è una probabilità su (E, E), per ogni α ∈ [0, 1].
(b) Supponiamo d’ora in avanti che (E, E) = (R, B(R)). Si esprima la funzione di
ripartizione di γα in termini di quelle di µ e ν.
(c) Assumiamo che µ sia una probabilità discreta, mentre ν sia assolutamente continua su
R. Che cosa si può dire su γα ? È discreta / assolutamente continua?
Esercizi “pratici”
Esercizio 4. Si calcoli la funzione di ripartizione delle seguenti probabilità notevoli su R, e
se ne disegni il grafico.
(a) µ = U ([a, b]) (uniforme continua nell’intervallo [a, b] ⊆ R).
(b) ν = Geo(p) (geometrica di parametro p ∈ (0, 1)).
[Sugg. Si osservi che Fν (x) è costante a tratti.]
Esercizio 5. Si considerino 3 urne identiche, ognuna contenente una pallina rossa e quattro
palline verdi. Ci sono tre giocatori, ciascuno dei quali estrae una pallina da un’urna distinta.
Un montepremi di 300 Euro viene diviso tra i giocatori che estraggono la pallina rossa.
(a) Sia X il numero di Euro vinti da ogni giocatore vincente (X = 0 se nessun giocatore
estrae la pallina rossa). Determinare la densità discreta di X.
(b) Si consideri uno dei tre giocatori, chiamiamolo Tizio, e sia Y il numero di Euro vinti
da Tizio. Si determini la densità discreta di Y .
†
Ultima modifica: 20 ottobre 2016.
2
Esercizio 6. Un gioco a premi ha un montepremi di 512 euro. Vengono poste ad un
concorrente 10 domande. Ad ogni risposta errata il montepremi viene dimezzato. Alla prima
risposta esatta il concorrente vince il montepremi rimasto. Se non si dà alcuna risposta
esatta non si vince nulla.
Un certo concorrente risponde esattamente ad ogni domanda con probabilità p ∈ (0, 1),
indipendentemente dalle risposte alle altre domande. Indicando con X la vincita di questo
concorrente, si determini la distribuzione di X.
Esercizio 7. Sia F : R → [0, 1] la seguente funzione:


0,
x < 0,




1/2,
0 ≤ x < 1,

F (x) = 2/3,
1 ≤ x < 2,



11/12,
2
≤ x < 3,



1,
x ≥ 3.
(a) Mostrare che F è la funzione di ripartizione di una probabilità µ su (R, B(R)).
(b) Calcolare µ({x}) per ogni x ∈ R.
(c) Calcolare µ ( 21 , +∞) , µ (2, 4] , µ (1, 2) , µ (−∞, 3) .
Sia ora X una variabile aleatoria di legge µ.
(d) Determinare la densità discreta di X.
(e) Determinare la probabilità degli eventi {X >
{X > 3}.
1
2 },
{2 < X ≤ 4}, {1 < X < 2},
Esercizio 8 (Esercizio 3 del terzo appello 2012/13). Isacco lancia freccette contro un
bersaglio circolare di raggio 24cm, diviso in tre regioni A, B, C da due circonferenze di
raggio 8cm e 16cm, come in figura.
C
B
A
0
8 16 24
A ogni freccetta lanciata corrisponde un punteggio, determinato nel modo seguente:
• 15 punti se la freccetta colpisce la regione A;
• 5 punti se colpisce la regione B;
• 3 punti se colpisce la regione C;
• 0 punti se manca il bersaglio.
(a) Quando Isacco è riposato, le sue freccette non mancano mai il bersaglio e finiscono
in un punto scelto uniformemente dello stesso. Si determini la probabilità che una
freccetta cada in ciascuna delle regioni A, B, C.
3
(b) Detto X il punteggio ottenuto in un lancio da Isacco quando è riposato, si determini
la legge di X.
(c) Quando Isacco è stanco, manca il bersaglio il 20% delle volte, mentre quando colpisce
il bersaglio le sue freccette finiscono in un punto scelto uniformemente dello stesso.
Detto Y il punteggio ottenuto in un lancio da Isacco quando è stanco, si determini la
legge di Y (per esempio esprimendola in funzione della legge di X).
Esercizio 9. Sia X una variabile aleatoria con distribuzione U (0, 1).
(a) Per λ ∈ (0, ∞) fissato, si determini la distribuzione della variabile aleatoria
1
Y := − log X ,
λ
mostrando che è assolutamente continua e riconoscendola come notevole.
(b) Si calcoli la distribuzione della variabile aleatoria
1
Z :=
X
Essa è assolutamente continua?
Esercizio 10. Si consideri lo spazio misurabile (Ω, A) = ([0, 1], B([0, 1])) munito della
probabilità uniforme continua (ossia la misura di Lebesgue ristretta a [0, 1]). Si definisca la
funzione X(ω) = 1[0, 1 ] (ω) − 1[ 2 ,1] (ω).
2
3
(a) Si mostri che X è una variabile aleatoria reale discreta e se ne determini la legge.
(b) Si esibisca uno spazio di probabilità discreto (Ω0 , A0 , P0 ) e una variabile aleatoria X 0
definita su questo spazio che abbia la stessa legge di X.
Esercizio 11. Un’urna contiene n ≥ 1 palline bianche e 2 palline rosse. Si eseguono
estrazioni ripetute senza reimmissione. Introduciamo la variabile aleatoria
X := numero di palline bianche estratte prima di estrarre una pallina rossa.
Si mostri che X(Ω) = {0, 1, . . . , n} e che la densità discreta di X è data da
2
(n − k + 1) ,
∀k ∈ X(Ω) .
pX (k) =
(n + 2)(n + 1)
[Sugg.: Può essere utile calcolare innanzitutto la probabilità dell’evento “le prime k palline
estratte sono tutte bianche”.]
Esercizio 12. Si supponga di avere un mazzo di n chiavi diverse. Dovendo aprire una
serratura di cui si ha la chiave, si provano a caso le chiavi una dopo l’altra, mettendo da
parte quelle già provate, fino a che non si è trovata la chiave giusta. Sia X il numero di
chiavi che devo provare per aprire la serratura.
(a) Determinare la legge di X.
(b) Fissato un intero k tra 1 e n, si esprima l’evento “devo controllare almeno k chiavi”
usando X e se ne calcoli la probabilità pn,k .
(c) Supponendo di non avere trovato la chiave al primo tentativo, qual è la probabilità di
trovarla al secondo? Si esprima la probabilità richiesta usando X e la si calcoli.
(d) Come cambiano le risposte precedenti, se non si mettono da parte le chiavi già provate?