Approfondimento 1
Due lettere di Pierre de Fermat
(tratte da [11] Bottazzini … pagg. 56, 57)
1) Il teorema di Fermat
Uno dei più celebri teoremi di Fermat, spesso citato nei trattati di teoria dei numeri
come “il teorema di Fermat”, può oggi essere enunciato così:
Qualunque potenza Ap , con p primo, differisce di un numero intero di esponenti dalla
propria base, cioè
Ap A = Kp.
Poiché Ap A = A (Ap1 1) = Kp, se A non è multiplo di p lo sarà il fattore Ap1 1,
cioè Ap1 1 = Hp. Il teorema può allora essere enunciato nella forma:
Se p è un numero primo, qualunque potenza Ap1, la cui base A non sia multipla di p, è
un numero successivo a un multiplo di p.
La questione fu affrontata da Fermat in una lettera, scritta il 18 ottobre 1640 forse a
Frenicle de Bessy, in una visuale che, come il lettore noterà, è alquanto diversa.
Osserviamo che un teorema inverso di quello di Fermat sarebbe idoneo a distinguere
numeri primi da numeri composti. Tale è il teorema di E. Lucas (XIX secolo), che
afferma:
Se An 1 è divisibile per x, per n = x 1, e non è divisibile per x quando n è una parte
aliquota di x 1, x è un numero primo.
"Qualunque numero primo misura infallibilmente una delle potenze 1 di una qualsiasi
progressione e l’esponente di detta potenza è un sottomultiplo del numero primo dato
1. E, trovata la prima potenza che soddisfa il problema, tutte quelle i cui esponenti
sono multipli dell’esponente della prima, soddisfanno ugualmente il problema.
Ad esempio, sia data la progressione
1
2
3
4
5
6
3
9
27
81
243 729 ecc.
con gli esponenti di sopra.
Prendete, per esempio, il numero primo 13, esso misura la terza potenza 1, della quale
3 esponente è un sottomultiplo di 12 che è inferiore dell’unità rispetto a 13. E poiché
l’esponente di 729 che è 6 è multiplo del primo esponente 3, ne segue che 13 misura
anche la detta potenza di 729 1 1). E questa proposizione è generalmente vera in tutte le
progressioni e per tutti i numeri primi. Di ciò vi invierò la dimostrazione se non mi
sembrerà troppo lunga. Ma non è vero che ogni numero primo misura una potenza +1 in
ogni progressione."
PIERRE DE FERMAT, Lettera del 18 ottobre 1640
Nota 1) 93 1 = 13 · 56 e 13 1 = 3 · 4 .
2) Un’ipotesi sui numeri primi
Vengono comunemente chiamati “primi di Fermat” i numeri che si ottengono dalla
formula
n
f (n) = 2 2 1
per n = 1, 2, 3, 4. Oltre a verificare che questi quattro numeri sono primi, Fermat, nel
1654, formulo altresì l’ipotesi che, quale che sia il valore di n, f (n) sia sempre un
numero primo. Tale ipotesi fu smentita da Eulero il quale, nel 1732, scoprì che il valore
di f (n) per n = 5 è un numero composto.
Va osservato che non è neppure stato dimostrato che sia primo uno qualunque dei
numeri f (n) per n > 5.
"Le potenze quadrate di 2, aumentate dell’unità, sono sempre numeri primi.
Il quadrato di 2, aumentato dell’unità, fa 5 che è numero primo.
Il quadrato del quadrato fa 16 che, aumentato dell’unità, fa 17, numero primo.
Il quadrato di 16 fa 256 che, aumentato dell’unità, fa 257, numero primo.
Il quadrato di 256 fa 65536 che, aumentato dell’unità, fa 65537, numero primo.
E così all’infinito.
E’ una proprietà della cui verità vi posso garantire. La dimostrazione è molto difficile e
vi confesso che non l’ho ancora potuta trovare pienamente; non vi proporrei di cercarla,
se non ne fossi venuto a capo.
Questa proposizione serve all’invenzione dei numeri che stanno alle loro parti aliquote
in ragione data, cosa sulla quale ho fatto delle scoperte considerevoli."
PIERRE DE FERMAT, Lettera del 29 agosto 1654.
Approfondimento 2
Un problema di congruenze in un trattato d’abaco.
(tratto da [11] Bottazzini … pagg. 38, 42)
In molti trattati d’abaco i problemi mercantili si trovano alternati a problemi di carattere
ricreativo che costituiscono utili esercizi di aritmetica e che gli autori riportavano, come
afferma F. Ghaligai 1) , per “le sere di verno, quando si sta al fuoco, e mancano e’
ragionamenti acciocché si abbi a ragionare di qualche cosa”. Alcuni di tali problemi
sono da considerarsi dei “classici” che, con molte varianti, compaiono in tutti i trattati
più importanti. Osserviamo che spesso non sono necessari calcoli per la risoluzione, ma
solo abilità nell’organizzare il ragionamento.
Nota 1) Francesco Ghaligai è autore di una Pratica d’Aritmetica, pubblicata a Firenze
nel 1552.
"Anchora per chaso a uno furono rotte huova le quali aveva in uno paniere et quello che
lle ruppe volendole mendare domandò quante ell’erano. Et colui rispose no’llo sapere;
ma bene sapeva che anoverandole a 2 a 2 n’avanzava 1 et a 3 a 3 n’avanzava 2 et a 4 a 4
n’avanzava 3 et a 5 a 5 n’avanzava 4 et a 6 a 6 n’avanzava 5 et a 7 a 7 non avanzava
nessuno. Adimandasi quante erano l’uova. Ancora in questa dobbiamo im prima trovare
uno numero che partito per 2, 3, 4, 5, 6 non avanzi alchuno coè che avanzi nulla; che
anchora in questa sarà 60, dove se del 60 trarrai 1 resterà 59 el quale diviso per 2 avanza
1 et per 3 avanza 2 et per 4 avanza 3 et per 5 avanza 4 et per 6 avanza 5; dove se il detto
numero si potessi partire per 7 che non avanzassi nulla sarebbe quello cerchiamo. Ma,
perché non si può interamente dividere per 7, è di necessità sopra a 59 porre tante volte
60 che ssi possa partire per 7 et che avanzi nulla 2). Dove ponendo 60 sopra 59, fanno
119 che diviso per 7 avanza nulla; adunque 119 è un numero che diviso per 2 avanza 1
et diviso per 3 avanza 2 et diviso per 4 avanza 3 et diviso per 5 avanza 4 et diviso per 6
avanza 5 et diviso per 7 avanza nulla chome vogliavamo. Et volendone più è di bisognio
porre sopra a 119 sette volte 60 coè 420, che fa 539 et ancora questo 539 arà quelli
medesimi effetti che 119; et così infiniti se ne potrebbe trovare sempre agugnendo 420.
Ma tornando al chaso proposto dicho che a gudichare si debbe avere l’occhio al paniere
et secondo ch’egli è grande, dare giud[i]cio."
PIER MARIA CALANDRI, Tractato d’Abbacho, c.60r.
Nota 2) Si deve risolvere il sistema di congruenze
x 1 (mod 2)
x 2 (mod 3)
x 3 (mod 4)
x 4 (mod 5)
x 5 (mod 6)
x 0 (mod 7).
Si sfrutta la circostanza fortunata che i resti assegnati sono sempre uguali al divisore
diminuito di 1, vale a dire che tutte le congruenze, esclusa l’ultima, si possono scrivere
nella forma
x 1 (mod d)
con d = 2, 3, 4, 5, 6, da cui ovviamente risulta x+1 multiplo dei d, onde conviene
riferirsi al loro minimo comune multiplo.
