Il Piccolo Teorema di Fermat
L’enunciato di questo teorema compare in una lettera indirizzata da
Fermat ad un amico. Esso afferma che, se p è un numero primo, ed a
è un intero positivo qualunque, allora il numero
a p- a
è divisibile per p. In realtà vale un risultato più forte: se p non divide
a, allora
a p-1 – 1
è divisibile per p.
La dimostrazione fu data nel 1736 da Eulero, che nel 1760
generalizzò il teorema. Egli introdusse la funzione φ, detta totiente:
per ogni intero positivo n, indicò con φ(n) il numero di interi
compresi fra 1 e n-1 che non hanno, con n, divisori comuni non
banali. Egli provò che, per qualsiasi intero positivo a coprimo
rispetto ad n il numero
a φ(n) - 1
è divisibile per n. Questo enunciato contiene il Piccolo Teorema di
Fermat, in quanto, per ogni numero primo p, si ha che φ(p)=p-1.
Osservazioni aggiuntive
Supponiamo che la fattorizzazione del numero n sia
n = p q β r γ ··· s δ,
dove p, q, r, … , s sono una successione finita di primi a due a due
distinti, e
sono una successione finita di numeri interi
positivi.
Il totiente di n è allora espresso dalla formula:
φ(n) = n (1-1/p)(1-1/q)(1-1/r) ···(1-1/s),
Il Piccolo Teorema di Fermat fornisce un metodo per verificare se
un dato numero naturale n è composto, senza bisogno di cercarne
i divisori. Si può provare a calcolare il valore di an – a per vari
interi a: se se ne trova uno per il quale an – a non è divisibile per n,
allora si è certi che n non è un numero primo. Purtroppo non è
possibile utilizzare lo stesso criterio per individuare numeri primi:
infatti esistono numeri naturali n per i quali an – a è sempre
divisibile per n, senza che n sia primo. Dal 1992 sappiamo che i
numeri n siffatti sono infiniti.
Il più piccolo di questi è n = 561 = 3 187.
